Loi bêta rectangulaire

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bêta rectangulaire
Image illustrative de l'article Loi bêta rectangulaire
Densité de probabilité (ou fonction de masse)
pour a=0 et b=1

Paramètres \scriptstyle \alpha > 0 paramètre de forme
\scriptstyle \beta > 0 paramètre de forme
\scriptstyle 0<\theta < 1paramètre de mélange
Support x \in ]a, b[\!
Densité de probabilité (fonction de masse) \scriptstyle \frac{\theta \Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}  \frac{(x - a)^{\alpha-1}  (b-x)^{\beta - 1} }{(b - a)^{\alpha + \beta + 1}} + \frac{1 - \theta}{b-a}
pour  x \in [a,b] .
Fonction de répartition  \theta I_z(\alpha,\beta) + \frac{(1-\theta)(x-a)}{b-a}
pour  \scriptstyle x \in [a,b] et \scriptstyle z=(x-a)/(b-a).
Espérance \scriptstyle a + (b-a) \left(\frac{\theta \alpha}{\alpha + \beta} + \frac{1-\theta}{2} \right)
Variance \scriptstyle (b-a)^2\left(\frac{\theta\,\alpha(\alpha+1)}{k(k+1)} +
\frac{1-\theta}{3} - \frac{\bigl(k+\theta(\alpha-\beta)\bigr)^2}{4k^2}\right)
k=\alpha+\beta

En théorie des probabilités et en statistique, la loi bêta rectangulaire est une loi de probabilité continue qui est la densité mélange de la loi bêta et de la loi uniforme continue. Les paramètres a et b sont les minimum et maximum du support de la loi. Cette loi diffère de la loi bêta car elle autorise une asymétrie qui place plus de poids aux extrémités du support de la loi. Ainsi c'est une loi bornée où les données aberrantes ont plus de chance d'apparaître que pour la loi bêta.

Caractérisation[modifier | modifier le code]

Fonction de densité[modifier | modifier le code]

Si les paramètres de la loi bêta sont \alpha et \beta, et si le paramètre de mélange est \theta, alors la loi bêta rectangulaire a pour densité de probabilité

 p(x|\alpha, \beta, \theta)=\begin{cases}
\frac{\theta \Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}
\frac{(x - a)^{\alpha-1}  (b-x)^{\beta - 1} }{(b - a)^{\alpha + \beta + 1}} + \frac{1 - \theta}{b-a}
   & \mathrm{pour}\ a \le x \le b, \\[8pt]
  0 & \mathrm{pour}\ x<a\ \mathrm{ou}\ x>b
  \end{cases}

\Gamma(\cdot) est la fonction Gamma.

Fonction de répartition[modifier | modifier le code]

La fonction de répartition est


  F(x|\alpha, \beta, \theta)= \theta I_z(\alpha,\beta) + \frac{(1-\theta)(x - a)}{b-a}

z=\dfrac{x-a}{b-a} et I_z(\alpha,\beta) est la fonction bêta incomplète régularisée.

Applications[modifier | modifier le code]

Gestion de projet[modifier | modifier le code]

La loi bêta est fréquemment utilisée pour l'étude du réseau PERT, des chemins critiques et d'autres méthodologies de gestion de projet pour caractériser la loi d'une durée d'activité[1].

En réseau PERT, les restrictions des paramètres de la loi bêta simplifient les calculs de l'espérance et de l'écart type :

 \begin{align}
  E(x) & {} = \frac{a + 4m + b}{6} \\
  \operatorname{Var} (x) & {} = \frac{(b-a)^2}{36}
\end{align}

a est le minimum, b est le maximum et m est le mode ou valeur la plus probable.

En fixant \theta plus petit que 1, on augmente l'incertitude de l'aspect rectangulaire de la loi. L'espérance ci-dessus devient alors :

  E(x) = \frac{\theta(a+4m+b) + 3(1-\theta)(a+b)}{6} .

Lorsque la gestion de projet amène une symétrie à la loi sous les conditions standards PERT, alors la variance est :

  \operatorname{Var} (x) = \frac{(b-a)^2 (3-2\theta)}{36}

alors que le cas asymétrique donne :

  \operatorname{Var} (x) = \frac{(b-a)^2(3-2\theta^2)}{36}.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) D. G. Malcolm, J. H. Roseboom, C. E. Clark et W. Fazar, « Application of a technique for research and development program evaluation », Operations Research, vol. 7,‎ 1959, p. 646–669