Fonction de masse (probabilités)

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En théorie des probabilités, la fonction de masse (ou encore loi de probabilité) est la fonction qui donne la probabilité pour qu'une variable aléatoire discrète soit exactement égale à une valeur donnée. Une fonction de masse se distingue d'une densité de probabilité en ceci que les densités de probabilité ne sont définies que pour des variables aléatoires continues, et que c'est leur intégrale sur un domaine qui a valeur de probabilité (et non leurs valeurs elles-mêmes).

Description mathématique

La loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète. Le support est composé des singletons {1}, {3} et {7} et les probabilités associées sont respectivement 0,20, 0,50 et 0,30. Un ensemble ne contenant pas ces points se voit attribuer une probabilité nulle.

Soit X une variable aléatoire discrète prenant les valeurs sur un espace de valeurs dénombrables  S ⊆ R. Alors, la fonction de masse  f_X(x)  pour X est donnée par

$f_X(x) = \begin{cases} \Pr(X = x), &x\in S,\\0, &x\in \mathbb{R}\backslash S.\end{cases}$

Les valeurs  f_X(x)  sont définies pour toutes les valeurs réelles, y compris celles qui ne sont jamais prises par X ; ces valeur se voient simplement assigner une probabilité nulle.

La fonction de masse doit par ailleurs se sommer à l'unité:

$\sum_{x \in S} f_X(x) = 1$

Utilisations

La fonction de masse permet:

• de calculer la fonction de répartition et, plus généralement, d'évaluer la probabilité d'un événement aléatoire. Il s'agit pour cela de décomposer cet événement en événements élémentaires et de sommer leur probabilités données par la fonction de masse;
• calculer les moments de la variable aléatoire X. Par exemple, l'espérance se donne par

$E(X) = \sum_{x \in S} x f_X(x)$

et la variance par

$Var(X) = \sum_{x \in S} [x-E(X)]^2 f_X(x)$

sous condition de convergence de ces séries.

Exemples

Soit X le résultat d'un lancer à pile ou face, identifiant 0 à pile et 1 à face ; la probabilité que X = x est de 0,5 sur l'espace des états {0, 1} (c'est une distribution de Bernoulli) ; la fonction de masse est

$f_X(x) = \begin{cases}\frac{1}{2}, &x \in \{0, 1\},\\0, &x \in \mathbb{R}\backslash\{0, 1\}.\end{cases}$

On constate que la somme des valeurs de la fonction de masse sur le support est bien égale à l'unité.

On peut définir des fonctions de masse pour toutes les variables aléatoires discrètes, comme les variables de distribution uniforme, binomiale, binomiale négative, géométrique, hypergéométrique, ou de Poisson.

Notes et références

• Johnson, N.L., Kotz, S., Kemp A. (1993), Univariate Discrete Distributions (2nd Edition). Wiley. ISBN 0-471-54897-9 (p. 36)