Loi inverse-gamma

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Inverse-gamma
Image illustrative de l'article Loi inverse-gamma
Densité de probabilité (ou fonction de masse)

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Fonction de répartition

Paramètres \alpha>0 paramètre de forme (réel)
\beta>0 paramètre d'échelle (réel)
Support x\in]0;\infty[\!
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{-\alpha - 1} \exp \left(\frac{-\beta}{x}\right)
Fonction de répartition \frac{\Gamma(\alpha,\beta/x)}{\Gamma(\alpha)} \!
Espérance \frac{\beta}{\alpha-1}\! pour \alpha > 1
Mode \frac{\beta}{\alpha+1}\!
Variance \frac{\beta^2}{(\alpha-1)^2(\alpha-2)}\! pour \alpha > 2
Asymétrie \frac{4\sqrt{\alpha-2}}{\alpha-3}\! pour \alpha > 3
Kurtosis normalisé 6\frac{5\,\alpha-11}{(\alpha-3)(\alpha-4)}\! pour \alpha > 4
Entropie \alpha\!+\!\ln(\beta\Gamma(\alpha))\!-\!(1\!+\!\alpha)\psi(\alpha)
Fonction génératrice des moments \frac{2\left(-\beta t\right)^{\!\!\frac{\alpha}{2}}}{\Gamma(\alpha)}K_{\alpha}\left(\sqrt{-4\beta t}\right)
Fonction caractéristique \frac{2\left(-i\beta t\right)^{\!\!\frac{\alpha}{2}}}{\Gamma(\alpha)}K_{\alpha}\left(\sqrt{-4i\beta t}\right)

Dans la Théorie des probabilités et en statistiques, la distribution inverse-gamma est une famille de lois de probabilité continues à deux paramètres sur la demi-droite des réels positifs. Il s'agit de l'inverse d'une variable aléatoire distribuée selon une distribution Gamma.

Caractérisation[modifier | modifier le code]

Densité de probabilité[modifier | modifier le code]

La densité de probabilité de la loi inverse-gamma est définie sur le support x > 0 par:


f(x; \alpha, \beta)
= \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}
(1/x)^{\alpha + 1}\exp\left(-\beta/x\right)

\alpha est un paramètre de forme et \beta un paramètre d'intensité, c'est-à-dire l'inverse d'un paramètre d'échelle.

Fonction de répartition[modifier | modifier le code]

La fonction de répartition est la fonction gamma régularisée :

F(x; \alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha,\beta/x)}{\Gamma(\alpha)} \!

où le numérateur est la fonction gamma incomplète et le dénominateur est la Fonction gamma.

Distributions associées[modifier | modifier le code]

  • Si X \sim \mbox{Inv-Gamma}(\alpha, \beta) et \alpha = \frac{\nu}{2}, \beta = \frac{1}{2} alors X \sim \mbox{Inv-chi-square}(\nu)\, est une loi inverse-χ²;
  • Si X \sim \mbox{Inv-Gamma}(k, \theta)\,, alors 1/X \sim \mbox{Gamma}(k, 1/\theta)\,;
  • Une généralisation multivariée de la loi inverse-gamma est la distribution Wishart inverse;

Obtention à partir de la loi Gamma[modifier | modifier le code]

La densité de la loi Gamma est

 f(x) = x^{k-1} \frac{e^{-x/\theta}}{\theta^k \, \Gamma(k)}

et définissons la transformation Y = g(X) = \frac{1}{X}. La densité de la transformée est alors


f_Y(y) = f_X \left( g^{-1}(y) \right) \left| \frac{d}{dy} g^{-1}(y) \right|

=
\frac{1}{\theta^k \Gamma(k)}
\left(
 \frac{1}{y}
\right)^{k-1}
\exp
 \left(
  \frac{-1}{\theta y}
 \right)
\frac{1}{y^2}

=
\frac{1}{\theta^k \Gamma(k)}
\left(
 \frac{1}{y}
\right)^{k+1}
\exp
 \left(
  \frac{-1}{\theta y}
 \right)

=
\frac{1}{\theta^k \Gamma(k)}
y^{-k-1}
\exp
 \left(
  \frac{-1}{\theta y}
 \right)

Remplaçant k par \alpha, \theta^{-1} par \beta et enfin y par x donne la densité donnée plus haut :


f(x)
=
\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}
x^{-\alpha-1}
\exp
 \left(
  \frac{-\beta}{x}
 \right)