Loi de Gumbel

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Gumbel
Image illustrative de l'article Loi de Gumbel
Densité de probabilité (ou fonction de masse)

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Fonction de répartition

Paramètres \mu\! position (réel)
\beta>0\! échelle (réel)
Support x \in (-\infty; +\infty)\!
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{\exp(-z)\,z}{\beta}\!
avec z = \exp\left[-\frac{x-\mu}{\beta}\right]\!
Fonction de répartition \exp(-\exp[-(x-\mu)/\beta])\!
Espérance \mu + \beta\,\gamma\!
Médiane \mu - \beta\,\ln(\ln(2))\!
Mode \mu\!
Variance \frac{\pi^2}{6}\,\beta^2\!
Asymétrie \frac{12\sqrt{6}\,\zeta(3)}{\pi^3} \approx 1.14\!
Kurtosis normalisé \frac{12}{5}
Entropie \ln(\beta)+\gamma+1\!
pour \beta > \exp(-(\gamma+1))\!
Fonction génératrice des moments \Gamma(1-\beta\,t)\, \exp(\mu\,t)\!
Fonction caractéristique \Gamma(1-i\,\beta\,t)\, \exp(i\,\mu\,t)\!

En théorie des probabilités, la distribution de Gumbel ou loi de Gumbel, nommée d'après Émil Julius Gumbel, est une distribution de probabilité continue. La loi de Gumbel est un cas spécial de la loi d'extremum généralisée au même titre que la loi de Weibull ou la loi de Fréchet. La distribution de Gumbel est une bonne approximation de la loi du maximum d'un échantillon de variables aléatoires indépendantes et de même loi, dès que cette loi appartient, précisément, au domaine d'attraction de la loi de Gumbel. Parmi les lois appartenant au domaine d'attraction de la loi de Gumbel, on compte la loi exponentielle[1].

La distribution de Gumbel peut, par exemple, servir à prévoir le niveau des crues d'un fleuve, si on possède le relevé des débits sur dix ans. Elle peut aussi servir à prédire la probabilité d'un événement critique, comme un tremblement de terre.

Fonctions caractéristiques[modifier | modifier le code]

La fonction de répartition de la loi de Gumbel est :

F(x;\mu,\beta) = e^{-e^{(\mu-x)/\beta}}.\,

Pour μ = 0 et β = 1, on obtient la loi standard de Gumbel.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Regular variation, Bingham, Goldie et Teugels.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) N. H. Bingham, C. M. Goldie et J. L. Teugels, Regular Variation, Cambridge, Cambridge University Press, coll. « Encyclopedia of Mathematics and its Applications » (no 27),‎ juin 1989, 1e éd., 516 p. (ISBN 9780521379434, lien DOI?)