Fonction génératrice des probabilités

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En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des probabilités, une fonction génératrice des probabilités est une série génératrice associée à une suite de probabilités, permettant d'en étudier les propriétés ; on l'identifie à la fonction dont elle est le développement en série entière.

Définitions générales[modifier | modifier le code]

Article détaillé : série génératrice.

La fonction génératrice de la suite (an) est la série formelle définie par

\sum a_nX^n

On identifie souvent la fonction génératrice à une fonction de la variable x, mais une fonction génératrice est avant tout une série formelle, la fonction de la variable x correspondante ne convergeant pas pour tout x.

  • fonction génératrice de la suite constante 1 : \sum X^n = \frac{1}{1 - X}
  • fonction génératrice de la suite (n) : \sum nX^n  = \frac{X}{(1-X)^2}
  • fonction génératrice de la suite (n^2) : \sum n^2X^n  = \frac{X(1+X)}{(1-X)^3}
  • fonction génératrice de la suite \frac{1}{n!} : \sum \frac{X^n}{n!} = e^X

On parle aussi de fonction génératrice exponentielle de la suite (an) définie par la série formelle \sum a_n \frac{X^n}{n!}.

Lorsque l'on travaille plutôt avec l'inverse de X, la variable z=1/X, on parle alors de la transformée en Z, \sum a_n{(1/z)}^n, qui est beaucoup utilisée en traitement du signal et en asservissements.

On peut retrouver la suite initiale (an) à partir de la fonction génératrice F(X) (resp. la fonction génératrice exponentielle E(X)) selon les formules

a_k = \frac{1}{k!} \frac{d^k F}{d X^k}(0) \quad\text{ et }\quad a_k = \frac{d^k E}{d X^k}(0)

Utilisation en théorie des probabilités[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

En théorie des probabilités, soit X une variable aléatoire entière et positive, la fonction génératrice de X est la série entière:

 G_X(t)=\mathbb{E}[t^X] =\sum _{k=0} ^\infty \mathbb{P}(X=k)t^k,

\scriptstyle\ \mathbb{P}(X=k)\ est la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur k ; les coefficients de la série étant des probabilités, il est clair que le rayon de convergence de la série est \ge1, et donc qu'on peut, dans ce cas, identifier la série formelle à la fonction dont elle est le développement en série entière.

Fonctions génératrices de lois usuelles[modifier | modifier le code]

G_{\lambda}(t)=e^{\lambda(t-1)}\ ;
  • Pour la loi binomiale de paramètres (n, p), on a \scriptstyle\ \mathbb{P}(X=k)= C^k _n p^k (1-p)^{n-k}\ et on en déduit
G_{n,p}(t) = (1-p+pt)^n.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Le rayon de convergence de cette série entière est toujours supérieur ou égal à 1.
  • On peut remarquer que
G_X(t)=\mathbb{E}[t^{ X}].
  • Si X admet une espérance \scriptstyle\ \mathbb{E}[X]\ alors \scriptstyle\ G_X\ et sa dérivée sont définies en t=1 et on a:
\mathbb{E}[X]= \frac{dG_X}{dt} (t=1).
  • Si X admet une variance \scriptstyle\ \text{Var}(X)\ , et donc une espérance \scriptstyle\ \mathbb{E}[X],\ alors \scriptstyle\ G_X\ et ses dérivées première et seconde sont définies en t=1 et on a:
 \mathrm{Var}[X]=\frac{d^2 G_X}{dt^2} (t=1) + \frac {dG_X} {dt} (t=1) - \left(\frac{dG_X}{dt} (t=1)\right)^2.
  • Si deux variables aléatoires réelles discrètes à valeurs dans \scriptstyle\ \mathbb{N}\ admettent la même fonction génératrice, alors elles ont la même loi de probabilité[1].
  • Soient X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes entières et positives. Si X et Y sont indépendantes alors on a:
G_{X+Y}=G_X\times G_Y.
Remarque : La réciproque est fausse.
  • Si X1, X2, ..., Xn est une suite de variables aléatoires indépendantes, et si
S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i,
où les ai sont des constantes, alors
G_{S_n}(z) = \mathbb{E}(z^{S_n}) = \mathbb{E}(z^{\sum_{i=1}^n a_i X_i,}) = G_{X_1}(z^{a_1})G_{X_2}(z^{a_2})\cdots G_{X_n}(z^{a_n}).
  • Par exemple, si les Xi ont de plus même loi (et donc même fonction génératrice G), alors
S_n = \sum_{i=1}^n X_i,
a pour fonction génératrice :
G_{S_n} = G^n.

Composition des fonctions génératrices[modifier | modifier le code]

La propriété suivante est particulièrement utile à l'étude des processus de Galton-Watson.

Théorème — Soit \scriptstyle\ (X_n)\ une suite de variables aléatoires de même loi et \scriptstyle\ N\ une variable aléatoire, toutes à valeurs dans \scriptstyle\ \mathbb{N}.

  • On pose
S_N = \sum_{n=1}^{N}X_n= \sum_{n\ge 1}X_n\ 1\!\!1_{\{N\ge n\}}.
  • On suppose que \scriptstyle\ (N,X_1,X_2,...)\ est une famille de variables aléatoires indépendantes.

Alors :

G_{S_N}=G_N\circ G_X.

Généralisation aux variables aléatoires non entières[modifier | modifier le code]

Cette notion de fonction génératrice se généralise aux variables aléatoires continues par les fonctions caractéristiques. Une autre notion utile est la fonction génératrice des moments.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Notes[modifier | modifier le code]

  1. Ce résultat est induit par le fait qu'il existe une relation bijective entre une loi de probabilité et sa fonction génératrice. La loi de probabilité définit la fonction génératrice F et, réciproquement, on retrouve la loi de probabilité à partir de F puisque p_k = F^{(k)}(0)/k!. Cette relation justifie l'appellation anglaise de Probability-generating function (en)

Bibliographie[modifier | modifier le code]