Loi multinomiale

Multinomiale
Paramètres	n > 0 nombre d'épreuves (entier) $p_1, \ldots p_m$ probabilités des événements (Σpi = 1)
Support	$N_i \in \{1,\dots,m\}$ $\Sigma N_i = n\!$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\frac{n!}{n_1!\cdots n_m!} p_1^{n_1} \cdots p_m^{n_m}$
Espérance	E{Xi} = npi
Variance	Var(Xi) = npi(1 − pi) Cov(Xi,Xj) = − npipj ($i\neq j$)
Fonction génératrice des moments	$\left( \sum_{i=1}^m p_i e^{t_i} \right)^n$

La loi binomiale concerne le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes donnant chacune un résultat binaire, comme dans le jeu de pile ou face. La loi multinomiale est une généralisation de celle-ci, applicable par exemple à n jets d'un dé à six faces. Contrairement à ces exemples simples, les différentes possibilités ne sont généralement pas équiprobables.

Autre présentation de la loi binomiale

La fonction de probabilité de la variable aléatoire binomiale K qui s'écrit

$\mathbb{P}(K=k) = \frac{n!} {k! (n-k)!} p^k (1-p)^{n-k}$

peut se réécrire de manière symétrique en faisant intervenir deux variables dont la somme est égale à n :

$N_1 = K \quad N_2 = n-K \quad p_1 = p \quad p_2 = 1-p$ $\mathbb{P}(N_1 = n_1,N_2 = n_2) = \frac{n!} {n_1! n_2!} p_1^{n_1} p_2^{n_2}$

Généralisation

Dans le cas multinomial à $m\,$ résultats possibles au lieu de 2, les variables deviennent $N_i\,$, $i=\{1,\ldots,m\}\,$ et correspondent aux probabilités $p_i\,$, $i=\{1,\ldots,m\}\,$ avec les contraintes

$\sum_{i=1}^m N_i = n \quad \sum_{i=1}^m p_i = 1$

La fonction de probabilité s'écrit alors, sous la condition portant sur la somme des variables :

$\mathbb{P}(N_1 = n_1,\ldots N_m = n_m) = \frac{n!} {n_1! \ldots n_m!} p_1^{n_1}\ldots p_m^{n_m}$

Chacune des variables reste une variable binomiale dont la moyenne et la variance sont

$\operatorname{E}(N_i) = n p_i \quad \operatorname{var}(N_i) = n p_i (1-p_i)$

tandis que les covariances s'écrivent

$\operatorname{cov}(N_i,N_j) = -n p_i p_j\,$

Approximation

Lorsque la variable aléatoire $N_i\,$ devient assez grande, le théorème de la limite centrale montre qu'elle est raisonnablement approchée par une variable normale à laquelle correspond la variable centrée réduite $\frac {N_i - n p_i} {\sqrt{np_i(1-p_i)}}$.

Si ces variables étaient indépendantes, $\sum_{i=1}^m \frac {(N_i - n p_i)^2} {np_i(1-p_i)}$ suivrait une loi du $\chi^2\,$ à $m\,$ degrés de liberté.

Du fait de la contrainte linéaire qui s'applique, la variable $\sum_{i=1}^m \frac {(N_i - n p_i)^2} {n p_i}$ suit une loi du $\chi^2\,$ à $(m-1)\,$ degrés de liberté.

Cette dernière remarque est à la base du test du χ².