Loi de Voigt

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Loi de Voigt
Image illustrative de l'article Loi de Voigt
Densité de probabilité (ou fonction de masse)
La courbe noire est la densité de la loi gaussienne(γ =0),
la courbe rouge est celle de la loi de Cauchy(σ =0).

Image illustrative de l'article Loi de Voigt
Fonction de répartition
'

Paramètres \gamma,\sigma>0
Support x\in]-\infty,\infty[
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\Re \left[w \left(\frac{x+i\gamma}{\sigma\sqrt{2}} \right)\right]
Espérance (non définie)
Médiane 0
Mode 0
Variance (non définie)
Asymétrie (non définie)
Kurtosis normalisé (non définie)
Fonction génératrice des moments (non définie)
Fonction caractéristique e^{-\gamma|t|-\sigma^2 t^2/2}

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Voigt est la loi de probabilité continue dépendant de paramètres \scriptstyle \sigma et \scriptstyle \gamma dont la densité est donnée par la fonction de Voigt. Cette densité peut s'exprimer par la formule :


  V(x;\sigma,\gamma)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2 \pi}} \textrm{Re}\left[w \left(\frac{x+i\gamma}{\sigma\sqrt{2}} \right)\right]

\scriptstyle Re[w(\cdot)] est la partie réelle de la fonction d'erreur complexe.

Une variable aléatoire suivant la loi de Voigt sera notée : X\sim Voigt(\sigma,\gamma).

Fonction de répartition[modifier | modifier le code]

La fonction de répartition de la loi de Voigt est donnée par :

F(x_0;\mu,\sigma)
=\int_{-\infty}^{x_0} \frac{\mathrm{Re}(w(z))}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,dx =\mathrm{Re}\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{z(-\infty)}^{z(x_0)} w(z)\,dz\right)

z est donnée par z=\frac{x+i\gamma}{\sigma\sqrt{2}}. Par le calcul de l'intégrale généralisée de la fonction d'erreur complexe grâce à la fonction d'erreur réelle :

 \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int w(z)\,dz =\frac{1}{\sqrt{\pi}} \int e^{-z^2}\left[1-\mathrm{erf}(-iz)\right]\,dz,

la fonction de répartition s'écrit alors sous la forme :

F(x;\mu,\sigma)=\mathrm{Re}\left[\frac{1}{2}+\frac{\mathrm{erf}(z)}{2}+\frac{iz^2}{\pi}\,_2F_2\left(1,1;\frac{3}{2},2;-z^2\right)\right]

\,_2F_2() est la fonction hypergéométrique.

Fonction caractéristique[modifier | modifier le code]

La fonction lorentzienne ne possède pas de moments, ainsi la loi de Voigt non plus. Cependant elle possède une fonction caractéristique donnée par la formule :


  \varphi_f(t;\sigma,\gamma) = E(e^{ixt}) = e^{-\sigma^2t^2/2 - \gamma |t|}.

Loi non centrée[modifier | modifier le code]

La loi de Voigt est la convolée d'une loi normale et d'une loi de Cauchy. Si la loi gaussienne est centrée en \mu_G et la loi de Cauchy en \mu_L, la convolée sera centrée en \mu_G+\mu_L et la fonction caractéristique sera alors donnée par la formule :

\varphi_f(t;\sigma,\gamma,\mu_\mathrm{G},\mu_\mathrm{L})= e^{i(\mu_\mathrm{G}+\mu_\mathrm{L})t-\sigma^2t^2/2 - \gamma |t|}.

Le mode et la médiane valent alors \mu_G+\mu_L.

Liens avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

  • Si X \sim Voigt(\sigma,0), alors X\sim \mathcal N(0,\sigma),
  • Si X \sim Voigt(0,\gamma), alors X\sim \text{Cauchy}(\gamma,0),

Articles connexes[modifier | modifier le code]