Loi de Rademacher

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loi de Rademacher
Support k \in \{-1,1\}\,
Densité de probabilité (fonction de masse)  f(k) = \begin{cases}  1/2, & k = -1 \\  1/2, & k = 1  \end{cases}
Fonction de répartition  F(k) = \begin{cases}  0,   & k < -1 \\  1/2, & -1 \leq k < 1 \\  1,   & k \geq 1  \end{cases}
Espérance 0\,
Médiane 0\,
Mode N/A
Variance 1\,
Asymétrie 0\,
Kurtosis normalisé -2\,
Entropie \ln(2)\,
Fonction génératrice des moments \cosh(t)\,
Fonction caractéristique \cos(t)\,

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Rademacher est une loi de probabilité discrète ayant une probabilité 1/2 d'obtenir 1 et 1/2 d'obtenir -1. Le nom de cette loi vient du mathématicien Hans Rademacher.

Cette loi correspond au gain lors d'un jeu de pile ou face dans lequel la mise est de 1 : un joueur a une probabilité de 1/2 de gagner, c'est-à-dire gagner 1, et 1/2 de perdre, c'est-à-dire gagner -1.

Fonction de masse[modifier | modifier le code]

La fonction de masse de la loi de Rademacher est donnée par :

 f(k) = \left\{\begin{matrix} 1/2 & \mbox {si }k=-1, \\ 1/2 & \mbox {si }k=+1, \\0 & \mbox {sinon.}\end{matrix}\right.

Elle peut également être écrite en termes de distribution de Dirac :  f(k) = \frac{1}{2} \left(  \delta \left( k - 1 \right) + \delta \left( k + 1 \right)  \right).

Fonction de répartition[modifier | modifier le code]

La fonction de répartition de la loi de Rademacher est donnée par :

 F(k) = \begin{cases}  0,   & \mbox {si }k < -1 \\  1/2, & \mbox {si }-1 \leq k < 1 \\  1,   & \mbox {si }k \geq 1  \end{cases}

Liens avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

  • Loi de Bernoulli : Si X suit la loi de Rademacher, alors \frac{X+1}{2} suit la loi de Bernoulli de paramètre \frac12.