Loi demi-normale

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Loi demi-normale
Paramètres \sigma>0
Support y \in [0, +\infty[\,
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{\sqrt{2}}{\sigma\sqrt{\pi}}\exp  \left( -\frac{y^2}{2\sigma^2} \right)
Fonction de répartition \int_0^y \frac{1}{\sigma}\sqrt{\frac{2}{\pi}} \, \exp \left( -\frac{x^2}{2\sigma^2} \right) dx
Espérance  \frac{\sigma\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}
Variance  \sigma^2\left(1 - \frac{2}{\pi}\right)
Entropie  \frac{1}{2}  \log \left( \frac{ \pi \sigma^2 }{2} \right) + \frac{1}{2}

En théorie des probabilités et en statistique, la loi demi-normale est un cas particulier de la loi normale repliée.

Soit X une variable aléatoire de loi normale centrée, X \sim \mathcal N(0,\sigma^2), alors Y=|X| est de loi demi-normale. En particulier, la loi demi-normale est une loi normale repliée de paramètre 0 et \sigma.

Caractérisations[modifier | modifier le code]

Densité de probabilité[modifier | modifier le code]

La densité de probabilité de la loi demi-normale est donnée par :

f_Y(y; \theta) =\begin{cases} \frac{\sqrt{2}}{\sigma\sqrt{\pi}}\exp  \left( -\frac{y^2}{2\sigma^2} \right) & \text{ si } y>0 \\ 0& \text{ sinon.}\end{cases}

L'espérance est :

\mathbb E[Y] = \mu = \frac{\sigma\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}.

En faisant le changement de variable : \theta=\frac{\sqrt{\pi}}{\sigma\sqrt{2}}, utile lorsque \sigma est proche de zéro, la densité prend la forme :

f_Y(y; \theta) = \begin{cases}\frac{2\theta}{\pi}\exp  \left( -\frac{y^2\theta^2}{\pi} \right) & \text{ si } y>0 \\ 0& \text{ sinon.}\end{cases}

L'espérance est alors :

\mathbb E[Y] = \mu = \frac{1}{\theta}.

Fonction de répartition[modifier | modifier le code]

La fonction de répartition de la loi demi-normale est donnée par :

F_Y(y; \sigma) =  \begin{cases}\int_0^y \frac{1}{\sigma}\sqrt{\frac{2}{\pi}} \, \exp \left( -\frac{x^2}{2\sigma^2} \right)\, dx & \text{ si } y>0 \\ 0& \text{ sinon.}\end{cases}

En utilisant le changement de variable z = x/(\sqrt{2}\sigma), la fonction de répartition peut s'écrire

F_Y(y; \sigma) =  \begin{cases}\frac{2}{\sqrt{\pi}} \,\int_0^{y/(\sqrt{2}\sigma)}\exp \left(-z^2\right)dz  = \mbox{erf}\left(\frac{y}{\sqrt{2}\sigma}\right), & \text{ si } y>0 \\ 0& \text{ sinon.}\end{cases}

où erf est la fonction d'erreur.

Variance[modifier | modifier le code]

La variance est :

\operatorname{Var}(Y) = \sigma^2\left(1 - \frac{2}{\pi}\right).

Puisque qu'elle est proportionnelle à la variance \sigma^2 de X, \sigma peut être vu comme un paramètre d'échelle de cette nouvelle loi.

Entropie[modifier | modifier le code]

L'entropie de la loi demi-normale est

 H(Y) = \frac{1}{2}  \log \left( \frac{ \pi \sigma^2 }{2} \right) + \frac{1}{2}.

Liens avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]