Arbre de probabilité

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En probabilité élémentaire, un arbre de probabilité est un schéma permettant de résumer une expérience aléatoire connaissant des probabilités conditionnelles.

Ces arbres sont abondamment utilisés en théorie de la décision.

Exemple de problème réel

Exemple d'un forage pétrolier. Soit un endroit où l'on suppute la présence de pétrole avec une probabilité p connue.

Si on effectue un test, cette probabilité pourra être rectifiée à une valeur q encore inconnue. Le test est coûteux mais peut éviter de forer un puits sec. En revanche, la réussite du test n'implique pas avec certitude que le puits ne sera pas sec.

Doit-on effectuer le test ? Doit-on forer sans effectuer le test ?

Voir plan d'expérience, Bandit manchot (mathématiques).

Un autre exemple

On cherche à résumer l'expérience aléatoire suivante :

On lance un dé

• Si le numéro obtenu est un multiple de 3, on extrait au hasard une boule dans l'urne 1 qui contient 3 boules noires, 4 boules blanches et 3 boules rouges
• Si le numéro obtenu n'est pas un multiple de 3, on extrait une boule dans l'urne 2 qui contient 3 boules noires et 2 boules blanches.

La première étape permet de définir un univers Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} sur lequel on applique une équiprobabilité (on estime le dé parfaitement équilibré). On considère alors les deux évènements complémentaires

• U1 = « le lancer conduit à tirer dans l'urne 1 »
• U2 = « le lancer conduit à tirer dans l'urne 2 »

On a donc U1 = { 3 ; 6 } et p(U1) = 1/3 puis p(U2) = 2/3.

Pour étudier la seconde étape, il faut étudier ce qui se passe quand on tire dans l'urne 1 ou l'urne 2.

• Le tirage dans l'urne 1 permet de définir un univers Ω₁={N ; B ; R} sur lequel on applique la probabilité suivante
  • p(N) = 3/10
  • p(B) = 4/10
  • p(R) = 3/10.

Il s'agit en réalité du transfert à Ω₁ d'une équiprobabilité définie sur Ω1'={N, N, N, B, B, B, B, R, R, R}.

• De même, le tirage dans l'urne 2 permet de définir un univers Ω₂={N, B} de probabilités 3/5 et 2/5.

L'expérience se résume alors dans l'arbre suivant:

La lecture des probabilités se fait alors aisément:

• Probabilité de tirer dans l'urne 1 et d'obtenir une noire :

$p(U1\cap N)=1/3 \times 3/10 = 1/10$

• Probabilité de tirer dans l'urne 2 et d'obtenir une noire  :

$p(U2\cap N)=2/3 \times 3/5= 2/5$

La probabilité de tirer une boule noire est alors :

$p(N) = p(U1\cap N)+ p(U2\cap N)=1/2$

Définitions et propriétés

On nomme arbre de probabilité un graphe orienté et pondéré obéissant aux règles suivantes

• La somme des pondérations (ou probabilités) des branches issues d'un même sommet donne 1.
• La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.
• La pondération de la branche allant du sommet A vers le sommet B est la probabilité conditionnelle de B sachant que A est déjà réalisé $p_A(B)$.

On retrouve alors la propriété de la probabilité conditionnelle :

$p(A \cap B)=p(A)\times p_A(B)$ (produit des chemins).

Ainsi que la formule des probabilités totales:

si $\Omega_1$, $\Omega_2$, ..., $\Omega_n$ définit une partition de Ω (ensembles deux à deux disjoints dont l'union donne Ω), si les $\Omega_i$ sont de probabilité non nulle, et si A est un évènement de Ω,

$p(A) = \sum_{i=1}^np(A\cap \Omega_i) = \sum_{i=1}^np(\Omega_i) \times p_{\Omega_i}(A)$

Que l'on a exploitée dans l'exemple pour calculer p(N)

$p(N) = p(U1)\times p_{U1}(N)+p(U2)\times p_{U2}(N)$

$p(N) = 1/3 \times 3/10+ 2/3 \times 3/5 = 1/2$

L'arbre de probabilité facilite aussi l'inversion des probabilités conditionnelles ou théorème de Bayes :

$p_{B}(A) = \frac{p_{A}(B).p(A) }{p(B)}$

Dans l'illustration précédente, cela revient à poser la question : « Sachant que l'on a tiré une noire, quelle est la probabilité que l'on ait tiré dans l'urne 1? »

$p_{N}(U1) = \frac{p_{U1}(N).p(U1) }{p(N)} = \frac{1/10}{1/10+2/5}=1/5$

Voir aussi

Articles connexes

• Probabilité
• Probabilité (mathématiques élémentaires)

Liens externes

• 3 exercices interactifs progressifs corrigés sur les arbres de probabilités
• un logiciel pour générer des arbres de probabilités (png/svg/pdf)