Loi de Dagum

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Loi de Dagum
Image illustrative de l'article Loi de Dagum
Densité de probabilité (ou fonction de masse)

Paramètres p>0 paramètre de forme
a>0 paramètre de forme
b > 0 paramètre d'échelle
Support x>0
Densité de probabilité (fonction de masse) \scriptstyle \frac{a p}{x} \left( \frac{(\tfrac{x}{b})^{a p}}{\left((\tfrac{x}{b})^a + 1 \right)^{p+1}} \right)
Fonction de répartition \scriptstyle {\left( 1+{\left(\frac{x}{b}\right)}^{-a} \right)}^{-p}
Espérance \begin{cases}\scriptstyle
              -\frac{b}{a}\frac{\Gamma\left(-\tfrac{1}{a}\right)\Gamma\left(\tfrac{1}{a}+p\right)}{\Gamma(p)} & \text{si}\ a>1    \\
              \text{indéterminé} & \text{ sinon}\ \end{cases}
Médiane \scriptstyle b{\left(-1+2^{\tfrac{1}{p}}\right)}^{-\tfrac{1}{a}}
Mode \scriptstyle b{\left( \frac{ap-1}{a+1} \right)}^{\tfrac{1}{a}}
Variance voir l'article.

En théorie des probabilités et statistique, la loi de Dagum, ou loi à deux types de Dagum-Bernstein-Rafeh-Raja-Spencer, est une loi de probabilité continue à support \scriptstyle [0,\infty[. Son nom est issu de Camilo Dagum qui l'introduisit dans une série d'articles dans les années 1970[1],[2]. La loi de Dagum apparait dans plusieurs variantes de nouveaux modèles de revenus des ménages.

Il existe également une loi de Dagum de type I à trois paramètres et une loi de Dagum de type II à quatre paramètres ; un résumé de ces types sont détaillés dans des ouvrage tels que (Kleiber, 2008[3]) ou (Kleiber, 2003[4]).

Si X suit une loi de Dagum, on notera X\sim D(a,b,p).

Définition[modifier | modifier le code]

La fonction de répartition de la loi de Dagum (de type I) est donnée par :

F(x;a,b,p)= \begin{cases}{\left( 1+{\left(\frac{x}{b}\right)}^{-a} \right)}^{-p} & \text{ si }  x > 0 \\ 0 & \text{ sinon}\end{cases}

et où  a, b, p > 0 .

La densité de probabilité correspondante est donnée par

f(x;a,b,p)= \begin{cases}\frac{a p}{x} \left( \frac{(\tfrac{x}{b})^{a p}}{\left((\tfrac{x}{b})^a + 1 \right)^{p+1}} \right) & \text{ si } x > 0 \\ 0 & \text{ sinon.}\end{cases}

La loi de Dagum peut être obtenue à partir de la loi bêta généralisée de type II (elle-même généralisation de la loi bêta prime). Il y a également un lien entre la loi de Dagum et la loi de Burr :

 X \sim D(a,b,p) \iff \frac{1}{X} \sim SM(a,\tfrac{1}{b},p).

La fonction de répartition de la loi de Dagum (de type II) ajoute une masse à l'origine et suit une loi de Dagum de type I sur le reste du support :

F(x;a,b,p,\delta)= \delta + (1-\delta) {\left( 1+{\left(\frac{x}{b}\right)}^{-a} \right)}^{-p} .

Propriétés[modifier | modifier le code]

La variance de la loi de Dagum est donnée par :

Var(X)=\begin{cases}\scriptstyle -\frac{b^2}{a^2} \left(2 a \frac{\Gamma\left(-\tfrac{2}{a}\right) \, \Gamma \left(\tfrac{2}{a} + p\right)}{\Gamma\left(p\right)} + \left( \frac{\Gamma\left(-\tfrac{1}{a}\right) \Gamma\left(\tfrac{1}{a} + p\right)}{\Gamma\left(p\right)} \right)^2\right) & \text{si}\ a>2    \\ \text{indéterminé} & \text{ sinon}\ \end{cases}

\scriptstyle \Gamma est la fonction Gamma.

Références[modifier | modifier le code]

  1. Dagum, Camilo (1975); A model of income distribution and the conditions of existence of moments of finite order; Bulletin of the International Statistical Institute, 46 (Proceeding de la 40e session du ISI), 199-205.
  2. Dagum, Camilo (1977); A new model of personal income distribution: Specification and estimation; Économie Appliquée, 30, 413-437.
  3. Kleiber, Christian (2008) "A Guide to the Dagum Distributions" in Chotikapanich, Duangkamon (ed.) Modeling Income Distributions and Lorenz Curves (Economic Studies in Inequality, Social Exclusion and Well-Being), Chapter 6, Springer
  4. Kleiber, Christian and Samuel Kotz (2003) Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences, Wiley

Liens externes[modifier | modifier le code]