Loi triangulaire

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En théorie des probabilités, une loi triangulaire est une loi de probabilité dont la fonction de densité est affine de son minimum à son mode et de son mode à son maximum. Elle est mentionnée sous deux versions : une loi discrète et une loi continue.

Version discrète[modifier | modifier le code]

La loi triangulaire discrète de paramètre entier positif a est définie pour tout entier x compris entre -a et a par :

\mathrm{P}(x) = \frac{a + 1 - |x|}{(a + 1)^2}.

Version continue[modifier | modifier le code]

Triangulaire
Image illustrative de l'article Loi triangulaire
Densité de probabilité (ou fonction de masse)
Densité de la loi triangulaire

Image illustrative de l'article Loi triangulaire
Fonction de répartition
Fonction de répartition de la loi triangulaire

Paramètres a:~a\in (-\infty,\infty)
b:~b>a\,
c:~a\le c\le b\,
Support a \le x \le b \!
Densité de probabilité (fonction de masse) 
                \left\{
                  \begin{matrix}
                    \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \mathrm{pour\ } a \le x \le c \\ & \\
                    \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \mathrm{pour\ } c \le x \le b
                  \end{matrix}
                \right.
Fonction de répartition 
                \left\{
                  \begin{matrix}
                    \frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)} & \mathrm{pour\ } a \le x \le c \\ & \\
                    1-\frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)} & \mathrm{pour\ } c \le x \le b
                  \end{matrix}
                \right.
Espérance \frac{a+b+c}{3}
Médiane 
                \left\{
                  \begin{matrix}
                    a+\frac{\sqrt{(b-a)(c-a)}}{\sqrt{2}} & \mathrm{pour\ } c\!\ge\!\frac{b\!-\!a}{2}\\ & \\
                    b-\frac{\sqrt{(b-a)(b-c)}}{\sqrt{2}} & \mathrm{pour\ } c\!\le\!\frac{b\!-\!a}{2}
                  \end{matrix}
                \right.
Mode c\,
Variance \frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18}
Asymétrie 
              \frac{\sqrt 2 (a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^2\!+\!b^2\!+\!c^2\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^\frac{3}{2}}
Kurtosis normalisé -\frac{3}{5}
Entropie \frac{1}{2}+\ln\left(\frac{b-a}{2}\right)
Fonction génératrice des moments 2\frac{(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}}
{(b-a)(c-a)(b-c)t^2}
Fonction caractéristique -2\frac{(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}}
{(b-a)(c-a)(b-c)t^2}

Caractérisation[modifier | modifier le code]

La loi triangulaire continue sur le support [a ; b] et de mode c est définie par la densité suivante sur [a, b] :

f \colon x \mapsto \begin{cases} \displaystyle\frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \mbox{ si } a \le x \le c \\ \\
 \displaystyle\frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \mbox{ si } c \le x \le b \\ \\ 0 & \mbox{ sinon}\end{cases}

Dans de nombreux domaines, la loi triangulaire est considérée comme une version simplifiée de la loi bêta.

Liens avec la loi uniforme[modifier | modifier le code]

Soit X1 et X2 deux variables indépendamment et identiquement distribuées selon une loi uniforme standard. Alors:

  • la distribution de la moyenne
    \mathrm{Y} := \frac{\mathrm{X}_1 + \mathrm{X}_2}{2}
    est une loi triangulaire de paramètres a = 0, b = 1 et c = ½ ;
  • la distribution de l'écart absolu
    \mathrm{Z} := |\mathrm{X}_1 - \mathrm{X}_2|
    est aussi distribué selon une loi triangulaire de paramètres a = 0, b = 1 et c = 0.