Loi log-Laplace

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Loi log-Laplace
Image illustrative de l'article Loi log-Laplace
Densité de probabilité (ou fonction de masse)
de la loi à trois paramètres

Image illustrative de l'article Loi log-Laplace
Fonction de répartition
de la loi à trois paramètres

Paramètres \mu>0 paramètre de position
b > 0\, paramètre d'échelle
Support x \in ]0, +\infty[\!
Densité de probabilité (fonction de masse)  \frac{1}{2bx}\exp \left( -\frac{|\mu-\ln x|}{b} \right)
Fonction de répartition \scriptstyle\frac{1}{4bx}[1 + \sgn(\log(y)-\mu)\,(1-e^{-\frac{|\log(y)-\mu|}{b}})]
Fonction caractéristique pas de forme explicite

En théorie des probabilités et en statistique, la loi log-Laplace est la loi de probabilité continue d'une variable aléatoire dont le logarithme suit une loi de Laplace.

Autrement dit, Si X suit une loi de Laplace avec paramètres \mu et b, alors \scriptstyle Y=\exp(X) suit une loi log-Laplace. Les propriétés sont ainsi issues de celles de la loi de Laplace.

Une généralisation possible de cette loi est d'introduire un nouveau paramètre, c'est la loi log-Laplace à trois paramètres.

Si X suit une loi log-Laplace, on notera X \sim LL(\mu,b) ou X \sim LL(\delta,\alpha,\beta).

Loi à deux paramètres[modifier | modifier le code]

Densitée de probabilité[modifier | modifier le code]

La densité de probabilité de la loi log-Laplace avec paramètres \mu et b est donnée par[1] :

f(x|\mu,b) = \begin{cases}\frac{1}{2bx} \exp \left( -\frac{|\ln x-\mu|}{b} \right) & \text{ si } x>0 \\ 0 & \text{ sinon}\end{cases}
   = \begin{cases}  \frac{1}{2bx}\exp \left( -\frac{\mu-\ln x}{b} \right) & \text { pour } x>0 \text{ et si }x < e^\mu \\
\frac{1}{2bx} \exp \left( -\frac{\ln x-\mu}{b} \right) & \text { pour } x>0 \text{ et si }x \geq e^\mu \\
0 & \text { pour } x<0.  \end{cases}

Par les changements de variables : \scriptstyle \delta=e^\mu et \scriptstyle \beta=\frac{1}{b}-1, la densité s'écrit sous le forme obtient :

f(x|\delta,\beta) = \begin{cases}  \frac{1}{\delta}\frac{\beta}{2}\left(\frac{x}{\delta}\right)^{\beta-1} & \text{ si }0 < x < \delta\\
 \frac{1}{\delta}\frac{\beta}{2}\left(\frac{\delta}{x}\right)^{\beta+1} & \text{ si } \delta < x  \end{cases}

Fonction de répartition[modifier | modifier le code]

La fonction de répartition de la loi log-Laplace de paramètres \mu et b est donnée par :

F(y) = \begin{cases}\frac{1}{4bx}\left[1 + \sgn(\log(y)-\mu)\,(1-e^{-\frac{|\log(y)-\mu|}{b}})\right]  & \text{ si } x>0 \\ 0 & \text{ sinon.} \end{cases}

Moments[modifier | modifier le code]

En fonction des paramètres, la loi log-Laplace peut ou peut ne pas avoir de moyenne finie et de variance finie[2].

Loi à trois paramètres[modifier | modifier le code]

Caractérisations[modifier | modifier le code]

Il existe la généralisation[2] suivante de la loi log-Laplace incluant un nouveau paramètre, c'est la loi log-Laplace à trois paramètres définie par la densité de probabilité :

f(x|\delta,\alpha,\beta) = \begin{cases} 0 & \text{ si } x<0\\
 \frac{1}{\delta}\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta}\left(\frac{x}{\delta}\right)^{\beta-1} & \text{ si }0 < x < \delta\\
 \frac{1}{\delta}\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta}\left(\frac{\delta}{x}\right)^{\alpha+1} & \text{ si } \delta < x  \end{cases}

avec \scriptstyle \alpha>0, \scriptstyle \beta>0, \scriptstyle \delta>0. La fonction de répartition de la loi log-Laplace à trois paramètres est

F(y|\delta,\alpha,\beta) = \begin{cases} 0 & \text{ si } y<0\\
\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\left(\frac{x}{\delta}\right)^{\beta} & \text{ si }0 < x < \delta\\
 1-\frac{\beta}{\alpha+\beta}\left(\frac{\delta}{x}\right)^{\alpha} & \text{ si } \delta < x . \end{cases}

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Si Y \sim LL(\delta,\alpha,\beta), alors pour tout \scriptstyle c>0, cY \sim LL(c\delta,\alpha,\beta),
  • Si Y \sim LL(\delta,\alpha,\beta), alors, \frac{1}{Y} \sim LL(\frac{1}{\delta},\alpha,\beta)

Liens avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

Applications[modifier | modifier le code]

La loi log-Laplace est, par exemple, utilisée pour modéliser la forme de la densité de la température de l'air. Des études du climat de la ville islandaise de Stykkishólmur ont été réalisées et la loi log-Laplace a été utilisée ; plus particulièrement en mélangeant deux lois log-Laplace tronquées[3].

Cette loi est également appliquée dans d'autres domaines[2] : échanges commerciaux, tailles d'entreprise, etc.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Lindsey, J.K., Statistical analysis of stochastic processes in time, Cambridge, Cambridge University Press,‎ 2004 (ISBN 978-0-521-83741-5), p. 33
  2. a, b et c (en) Kozubowski, T.J. & Podgorski, K., « A Log-Laplace Growth Rate Model », University of Nevada-Reno (consulté le 2011-10-21), p. 4
  3. Manon Kohler, J.L. Mercier, Ester Helgadóttir, Christine Grosjean, « changement climatique en Islande 1830-1999 », sur http://studiacrescent.com/,‎ 2008 (consulté le 31/03/12)