Loi arc sinus

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Loi arc sinus
Image illustrative de l'article Loi arc sinus
Densité de probabilité (ou fonction de masse)

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Fonction de répartition

Paramètres aucun
Support x \in [0,1]
Densité de probabilité (fonction de masse) f(x) = \frac{1}{\pi\sqrt{x(1-x)}}
Fonction de répartition F(x) = \frac{2}{\pi}\arcsin\left(\sqrt x \right)
Espérance \frac{1}{2}
Médiane \frac{1}{2}
Mode x \in ]0,1[
Variance \tfrac{1}{8}
Asymétrie 0
Kurtosis normalisé -\tfrac{3}{2}
Fonction génératrice des moments 1  +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{2r+1}{2r+2} \right) \frac{t^k}{k!}
Fonction caractéristique {}_1F_1(\tfrac{1}{2}; 1; i\,t)\

En théorie des probabilités, la loi arc sinus est une loi de probabilité à densité dont le support est une intervalle compact. Elle est un cas particulier de la loi bêta.

Loi standard[modifier | modifier le code]

la fonction de répartition de la loi arc sinus standard est donnée par :

F(x) = \frac{2}{\pi}\arcsin\left(\sqrt x\right)=\frac{\arcsin(2x-1)}{\pi}+\frac{1}{2}

pour \scriptstyle 0\leq x\leq 1, et dont la densité de probabilité est donnée par :

f(x) = \frac{1}{\pi\sqrt{x(1-x)}}

sur ]0,1[. La loi arc sinus standard est un cas particulier de la loi bêta avec les paramètres \scriptstyle\alpha = \beta = \frac{1}{2}. Ainsi, si X est de loi arc sinus standard alors \scriptstyle X \sim {\rm Beta}(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}) \

Généralisation[modifier | modifier le code]

Loi arc sinus – support borné
Paramètres -\infty < a < b < \infty \,
Support x \in [a,b]
Densité de probabilité (fonction de masse) f(x) = \frac{1}{\pi\sqrt{(x-a)(b-x)}}
Fonction de répartition F(x) = \frac{2}{\pi}\arcsin\left(\sqrt \frac{x-a}{b-a} \right)
Espérance \frac{a+b}{2}
Médiane \frac{a+b}{2}
Mode x \in ]a,b[
Variance \tfrac{1}{8}(b-a)^2
Asymétrie 0
Kurtosis normalisé -\tfrac{3}{2}

Support borné arbitraire[modifier | modifier le code]

La loi peut être étendu à tout support borné [a,b] par une simple transformation de la fonction de répartition

F(x) = \frac{2}{\pi}\arcsin\left(\sqrt \frac{x-a}{b-a} \right)

pour a \leq x \leq b, la densité de probabilité est ainsi

f(x) = \frac{1}{\pi\sqrt{(x-a)(b-x)}}

sur ]a,b[. Cette loi est notée \rm Arcsinus(a,b).

Paramètre de forme[modifier | modifier le code]

La loi arc sinus standard généralisée sur ]0,1[ avec pour densité de probabilité

f(x;\alpha) = \frac{\sin \pi\alpha}{\pi}x^{-\alpha}(1-x)^{\alpha-1}

est également un cas spécial de la loi bêta de paramètres {\rm Beta}(1-\alpha,\alpha). Le paramètre \alpha est appelé paramètre de forme. Lorsque \alpha=1/2, cette loi est la loi arc sinus standard.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • La loi arcsinus est stable par translation et par multiplication par un facteur positif :
    • Si \scriptstyle X \sim {\rm Arcsinus}(a,b) \  \text{alors }  kX+c \sim {\rm Arcsinus}(ak+c,bk+c) .
  • La loi arcsinus sur ]-1,1[ mise au carré est la loi arcsinus sur ]0,1[ :
    • Si \scriptstyle X \sim {\rm Arcsinus}(-1,1) \  \text{alors }  X^2 \sim {\rm Arcsinus}(0,1) .

Relations avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

Référence[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Arcsine distribution » (voir la liste des auteurs)