Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

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En théorie des probabilités, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet de montrer qu'une variable aléatoire prendra avec une grande probabilité une valeur relativement proche de son espérance. Ce résultat s'applique dans des cas très divers, nécessitant la connaissance de peu de propriétés (seules l'espérance et la variance doivent être connues), et permet de démontrer la loi faible des grands nombres.

Ce théorème est nommé d'après les mathématiciens Irénée-Jules Bienaymé, qui fut le premier à le formuler, et Pafnouti Tchebychev qui le démontra[1].

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit X une variable aléatoire d'espérance \mu et de variance finie \sigma^2 (l'hypothèse de variance finie garantit l'existence de l'espérance).

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'énonce de la façon suivante :

Théorème — Pour tout réel strictement positif \alpha,

 P\left(\left|X-\mu\right| \geq \alpha \right) \leq \frac{\sigma^2}{\alpha^2}\,.

La démonstration est une simple application de l'inégalité de Markov à la variable (X - \mathbb{E}(X))^2 et au réel \alpha^2 strictement positif.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Journal de Mathématiques pures et appliquées, 2e série, XII, 1867, 177-184.

Articles connexes[modifier | modifier le code]