Loi normale repliée

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Loi normale repliée
Image illustrative de l'article Loi normale repliée
Densité de probabilité (ou fonction de masse)
\mu=1,\sigma=1

Image illustrative de l'article Loi normale repliée
Fonction de répartition
\mu=1,\sigma=1

Paramètres \mu\in \mathbb R — (paramètre de position)
\sigma>0 — (paramètre d'échelle)
Support x\in[0,\infty[
Densité de probabilité (fonction de masse) (voir l'article)
Fonction de répartition (voir l'article)
Espérance (voir l'article)
Variance (voir l'article)

En théorie des probabilités et en statistique, la loi normale repliée (ou loi de défaut de forme[1]) est une loi de probabilité continue liée à la loi normale. Considérons une variable aléatoire de loi normale avec moyenne \mu et variance \sigma^2, la variable aléatoire Y=|X| est de loi normale repliée. Ainsi on ne comptabilise que la valeur de la variable mais pas son signe.

Le terme « repliée » vient du fait que la densité de la loi « à gauche » de x=0 est repliée sur la partie « à droite » de x=0 en prenant la valeur absolue.

Caractérisations[modifier | modifier le code]

Fonction de densité[modifier | modifier le code]

La densité de probabilité est donnée par :

f_Y(x)=\begin{cases} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \, \exp \left( -\frac{(-x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) + \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \, \exp \left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right)& \text{ pour }x \ge 0 \\ 0 &\text{ sinon.}\end{cases}

Fonction de répartition[modifier | modifier le code]

La fonction de répartition est donnée par :

F_Y(y) =\begin{cases}  \int_0^y \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \, \exp \left( -\frac{(-x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right)\, dx &\\ \qquad
+ \int_0^{y} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \, \exp \left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right)\, dx. & \text{ pour }y \ge 0 \\ 0 &\text{ sinon.}\end{cases}

En utilisant le changement de variable \scriptstyle z=(x-\mu)/\sigma, on peut réécrire

F_Y(y) = \int_{-\mu/\sigma}^{(y-\mu)/\sigma} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \, \exp \left(-\frac{1}{2}\left(z + \frac{2\mu}{\sigma}\right)^2\right) dz + \int_{-\mu/\sigma}^{(y-\mu)/\sigma} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \, \exp \left( -\frac{z^2}{2} \right) dz.

De manière similaire, en utilisant le changement de variable \scriptstyle z = -(x+\mu)/\sigma\sqrt{2} dans la première intégrale et \scriptstyle z = (x-\mu)/\sqrt{2}\sigma dans la deuxième, on peut écrire

F_Y(y) = \frac{1}{2}\left[ \mbox{erf}\left(\frac{y+\mu}{\sqrt{2}\sigma}\right) + \mbox{erf}\left(\frac{y-\mu}{\sqrt{2}\sigma}\right)\right],

où erf(x) est la fonction d'erreur. On retrouve alors la loi demi-normale quand \mu=0.

Propriétés[modifier | modifier le code]

L'espérance est donnée par :

\mathbb E(Y) = \sigma \sqrt{2/\pi} \exp(-\mu^2/2\sigma^2) + \mu\left[1-2\Phi(-\mu/\sigma)\right],

où Φ(•) est la fonction de répartition de la loi normale standard.

La variance est donnée par :

\operatorname{Var}(Y) = \mu^2 + \sigma^2 - \left\{ \sigma \sqrt{2/\pi} \exp(-\mu^2/2\sigma^2) + \mu\left[1-2\Phi(-\mu/\sigma)\right] \right\}^2.

Ces deux valeurs, espérance et variance, peuvent être vues comme les paramètres de position et d'échelle de la nouvelle loi.

Liens avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. H. Sombstay et T. Nguyen Huu, « Variabilité d'une fabrication en tenant compte des défauts de forme », Revue de statistique appliquée, vol. 6, no 1,‎ 1958, p. 17-36 (lire en ligne)
  • (en) Leone FC, Nottingham RB, Nelson LS, « The Folded Normal Distribution », Technometrics, Technometrics, Vol. 3, No. 4, vol. 3, no 4,‎ 1961, p. 543–550 (DOI 10.2307/1266560, JSTOR 1266560)
  • (en) Johnson NL, « The folded normal distribution: accuracy of the estimation by maximum likelihood », Technometrics, Technometrics, Vol. 4, No. 2, vol. 4, no 2,‎ 1962, p. 249–256 (DOI 10.2307/1266622, JSTOR 1266622)
  • (en) Nelson LS, « The Folded Normal Distribution », J Qual Technol, vol. 12, no 4,‎ 1980, p. 236–238
  • (en) Elandt RC, « The folded normal distribution: two methods of estimating parameters from moments », Technometrics, Technometrics, Vol. 3, No. 4, vol. 3, no 4,‎ 1961, p. 551–562 (DOI 10.2307/1266561, JSTOR 1266561)
  • (en) Lin PC, « Application of the generalized folded-normal distribution to the process capability measures », Int J Adv Manuf Technol, vol. 26, no 7–8,‎ 2005, p. 825–830 (DOI 10.1007/s00170-003-2043-x)