Théorème de Borel-Cantelli

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Le théorème de Borel-Cantelli ou lemme de Borel-Cantelli, nommé d'après les mathématiciens Émile Borel et Francesco Paolo Cantelli, est un résultat de théorie de la mesure très utilisé en théorie des probabilités.

Introduction[modifier | modifier le code]

En théorie des probabilités, ce théorème concerne une suite d'événements et stipule que :

Lemme de Borel-Cantelli — Si la somme des probabilités d'une suite \scriptstyle\ (A_n)_{n\ge 0} d'événements d'un espace probabilisé \scriptstyle\ \left(\Omega, \mathcal A, \mathbb{P}\right)\ est finie, alors la probabilité qu'une infinité d'entre eux se réalisent simultanément est nulle.

L'indépendance des événements n'est pas nécessaire. Par exemple, considérons une suite \scriptstyle\ (X_n)_{n\ge 1} de variables aléatoires, telle que, pour tout \scriptstyle\ n\ge 1,

\textstyle \mathbb{P}(X_n= 0) = \frac1{n^2}.

La somme des \scriptstyle\ \mathbb{P}(X_n = 0) est finie[1], donc d'après le lemme de Borel-Cantelli la probabilité que \scriptstyle\ X_n = 0 se produise pour une infinité d'indices \scriptstyle\ n est 0. En d'autres termes, avec une probabilité de 1, \scriptstyle\ X_n est non nul à partir d'un certain rang (aléatoire) \scriptstyle\ n_0. On a donc appliqué le lemme de Borel-Cantelli à la suite d'événements \scriptstyle\ (A_n)_{n\ge 0} définie par

\textstyle A_n=\{X_{n+1}= 0\} =\{\omega\in\Omega\ |\ X_{n+1}(\omega)= 0\}.

Limite supérieure d'ensembles[modifier | modifier le code]

Définition — La limite supérieure d'une suite (An)n≥0 de parties d'un ensemble \scriptstyle \Omega est l'ensemble \scriptstyle \limsup_n\, A_n des éléments \scriptstyle \omega de \scriptstyle \Omega tels que l'assertion \scriptstyle \{\omega\in A_k\} soit vérifiée pour une infinité d'indices \scriptstyle k\ge 0.

En d'autres termes, on peut dire que \scriptstyle\ \omega\in\limsup_n\, A_n si et seulement si l'ensemble \scriptstyle \{k\ge 0\ \vert\ \omega\in A_k\} est infini, ou bien non borné. Une formulation équivalente est la suivante : pour tout \scriptstyle n\ge 0, on peut trouver \scriptstyle k\ge n tel que \scriptstyle \omega\in A_k. Cette dernière formulation fournit une écriture commode de la limite supérieure d'ensembles à l'aide d'opérations élémentaires sur les ensembles :


\limsup_n A_n =\bigcap_{n\ge 0}(\bigcup_{k\ge n} A_k).

Sous l'influence de la terminologie anglo-saxonne, on dira aussi parfois que \scriptstyle\ \omega\in\limsup_n\, A_n si et seulement si \scriptstyle\ \{\omega\in A_k\}\ « infiniment souvent » ou bien « infinitely often », d'où la notation rencontrée dans certains ouvrages :


\mathbb{P}\left(\limsup_n A_n\right)=\mathbb{P}\left(A_n\quad\text{i.o.}\right).

Finalement, remarquons que la définition « \scriptstyle\ \omega\in\limsup_n\, A_n si et seulement si \scriptstyle\ \omega\ appartient à une infinité de \scriptstyle\ A_k\  » peut induire en erreur : si par exemple toutes les parties \scriptstyle\ A_k\ sont égales, il se peut que \scriptstyle\ \omega\ appartienne à \scriptstyle\ A_k\ pour une infinité d'indices \scriptstyle\ k\ , et il se peut donc que \scriptstyle\ \omega\ appartienne à \scriptstyle\ \limsup_n\, A_n, sans pour autant qu'\scriptstyle\ \omega\ appartienne à une infinité de \scriptstyle\ A_k\ (puisqu'il n'existe, au fond, qu'un seul \scriptstyle A_k).

Théorème de Borel-Cantelli (théorie de la mesure)[modifier | modifier le code]

Pour un espace mesuré général \scriptstyle\ (X,\mathcal{A},\mu), le lemme de Borel-Cantelli prend la forme suivante :

Théorème de Borel-Cantelli — Soit \scriptstyle\ (A_n)_{n\ge 0} une suite dans \scriptstyle\ \mathcal{A}. Si

\sum_{n\ge 0}\mu(A_n)<+\infty,

alors

\mu(\limsup_n A_n) = 0.

Lemme de Borel-Cantelli (probabilités)[modifier | modifier le code]

Un espace probabilisé \scriptstyle\ \left(\Omega, \mathcal A, \mathbb{P}\right) est un cas particulier d'espace mesuré, en ce qu'on suppose, de plus, que \scriptstyle\ \mathbb{P}\left(\Omega\right)=1, alors que dans le théorème général, la mesure (positive) μ n'est pas supposée finie a priori. En particulier, le lemme de Borel-Cantelli donné en introduction est une forme affaiblie du théorème de Borel-Cantelli donné à la section précédente. Peut-être le lemme de Borel-Cantelli est-il plus populaire en probabilités, où il est crucial dans la démonstration, par Kolmogorov, de la loi forte des grands nombres (s'il ne faut donner qu'un seul exemple). Dans le cadre probabiliste, une formulation plus formelle du lemme donné en langage intuitif dans l'introduction pourrait donc s'écrire :

Lemme de Borel-Cantelli — Dans un espace probabilisé \scriptstyle\ \left(\Omega, \mathcal A, \mathbb{P}\right), considérons une suite \scriptstyle\ (A_n)_{n\ge 0} d'éléments de \scriptstyle\ \mathcal{A}. Si

\sum_{n\ge 0}\mathbb{P}(A_n)<+\infty,

alors

\mathbb{P}(\limsup_n A_n) = 0.

Loi du zéro-un de Borel[modifier | modifier le code]

Le lemme de Borel-Cantelli ne doit pas être confondu avec la loi du zéro-un de Borel, parfois appelée second lemme de Borel-Cantelli :

Loi du zéro-un de Borel — Si les événements \scriptstyle\ A_n sont indépendants, alors \scriptstyle\ \mathbb{P}\left(\limsup_n A_n\right) vaut 0 ou 1 suivant que la série de terme général \scriptstyle\ \mathbb{P}(A_n) est convergente ou divergente.

La loi du zéro-un de Borel[2] montre en particulier que l'hypothèse \scriptstyle\ \sum_{n\ge 0}\mu(A_n)<+\infty du lemme de Borel-Cantelli ne peut en aucun cas être affaiblie en \scriptstyle\ \lim_{n}\mu(A_n)=0. En effet on peut avoir simultanément, d'une part \scriptstyle\ \lim_{n}\mathbb{P}(A_n)=0, d'autre part (indépendance des \scriptstyle\ A_n et \scriptstyle\ \sum_{n\ge 0}\mathbb{P}(A_n)=+\infty), donc on peut avoir simultanément :

\lim_{n}\mathbb{P}(A_n)=0\qquad\text{et}\qquad \mathbb{P}(\limsup_n A_n) = 1.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. En fait elle vaut \scriptstyle\ \zeta(2)=\frac{\pi^2}6, voir l'article Fonction zêta de Riemann, par exemple la section Valeurs de la fonction zêta pour s entier supérieur à 1.
  2. Émile Borel, « Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques », Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 27, no 1,‎ décembre 1909, p. 247-271 (ISSN 0009-725X et 1973-4409, lien DOI?). La loi du zéro-un de Borel a été publiée en vue, semble-t-il, d'applications aux propriétés des fractions continues. Un peu plus tard, Cantelli aurait remarqué et utilisé le fait que, pour l'un des deux sens, l'hypothèse d'indépendance est superflue, ce qui a conduit au lemme de Borel-Cantelli (à vérifier).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Loi du zéro un de Kolmogorov