Calcul stochastique

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Le calcul stochastique est l’étude des phénomènes aléatoires dépendant du temps. À ce titre, c'est une extension de la théorie des probabilités.

Applications

Le domaine d’application du calcul stochastique comprend la mécanique quantique, le traitement du signal, la chimie, les mathématiques financières, la météorologie, et même la musique.

Processus aléatoires

Un processus aléatoire $X$ est une famille de variables aléatoires indexée par un sous-ensemble de $\R$ où $\N$, souvent assimilé au temps (voir aussi Processus stochastique). C'est une fonction de deux variables : le temps et l'état de l'univers $\omega$. L'ensemble des états de l'univers est traditionnellement noté $\Omega$. L'application qui à un $\omega$ fixé associe $X(\omega,t)$ , $t$ variable, est appelée trajectoire du processus ; c'est une simple fonction du temps (sans caractère aléatoire) qui représente la réalisation particulière du processus sous l'occurrence $\omega$.

Pour un $t$ donné, $X(\omega,t)$ est une simple variable aléatoire dont la valeur exacte n'est connue qu'en t. Le mouvement brownien est un exemple particulièrement simple de processus aléatoire indexé par $\R$. Il peut être défini comme l'unique processus $W_t$ à accroissement gaussien tel que la corrélation entre $W_t$ et $W_s$ soit $\min(t,s)$. On peut également le voir comme la limite d'une marche aléatoire lorsque le pas de temps tend vers 0.

Filtrations

Une filtration $F_t$, $t\in \mathbb{N}$ est une famille de sous-tribus emboîtées de $\Omega$, qui peut s’interpréter comme l’information disponible qui évolue au cours du temps. Ainsi, une filtration est une famille de sigma-algèbres, indexée par le temps $t \ge 0$ telle que $F_s \subset F_t$ si $s \le t$, ce qui reflète l'augmentation de l'information disponible.

Espérance conditionnelle selon une filtration

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Processus d'Itō

Article détaillé : Processus d'Itô.

Le processus d'Itō, d'après le nom de son inventeur Kiyoshi Itō, traite des opérations mathématiques dans un processus stochastique. Le plus important est l'intégrale stochastique d'Itō.

Intégrale d'Itô

Article détaillé : Intégrale d'Itô.

Avant le calcul, indiquons que :

• les majuscules telles que $X$ notent les variables aléatoires ;
• les majuscules avec en indice un $t$ (par exemple $B_t$) notent un processus stochastique qui est une famille de variables aléatoires indexée par $t$ ;
• un petit $\mathrm d$ à gauche d'un processus (par exemple $\mathrm dB_t$) signifie un changement infinitésimal dans le processus aléatoire qui est une variable aléatoire.

L'intégrale stochastique d'un processus $X_t$ par rapport à un processus $B_t$ est décrite par l'intégrale :

$\int_{a}^{b} X_t\, \mathrm dB_t$

et est définie comme la limite en moyenne quadratique des sommes correspondantes de la forme :

$\sum X_{t_i} (B_{t_{i+1}} - B_{t_i}).$

Un point essentiel lié à cette intégrale est le lemme d'Itô.

La somme comme le produit de variables aléatoires est définie dans la théorie des probabilités. La somme implique une convolution de la fonction de densité des probabilités, et la multiplication est une addition répétée.

Définition d'un processus d'Itô

Une fois précisée la définition choisie pour une intégrale stochastique, on définit alors un processus d'Itô comme étant un processus stochastique $X_t$ de la forme :

$X_t(\omega) = X_0(\omega) +\int_0^t u_s(\omega){\rm d}s +\int_0^t (v_s {\rm d}B_s)(\omega)$

avec $u$ et $v$ deux fonctions aléatoires satisfaisant quelques hypothèses techniques d'adaptation au processus $B_t$ et $\omega$ est une réalisation dans l'espace de probabilité sous-jacent.

Dans le formalisme du calcul différentiel avec la prescription d'Itô on note de façon équivalente la relation précédente comme :

${\rm d}X_t = u_t\,{\rm d}t + v_t\,{\rm d}B_t$

Prescription de Stratonovich

Une autre prescription notable pour définir une intégrale stochastique est la prescription de Stratonovich. L'intégrale de Stratonovich est définie comme la limite des sommes discrètes :

$\sum X_{\frac{t_i+t_{i+1}}{2}} (B_{t_{i+1}} - B_{t_i}).$

La différence notable avec la prescription d'Itô est que la quantité $X_{(t_i+t_{i+1})/2}$ n'est pas indépendante au sens des probabilités de la variable $B_{t_{i+1}} - B_{t_i}$. Ainsi, contrairement à la prescription d'Itô, dans la prescription de Stratonovich on a :

$E\left[\int_{a}^{b} X_t\, \mathrm dB_t\right]\neq 0$

ce qui complique, de ce point de vue, certains calculs. Cependant l'utilisation de la prescription de Stratonovich ne choisit pas une direction du temps privilégiée contrairement à celle d'Itô ce qui implique que les processus stochastiques définis par l'intégrale de Stratonovich satisfont des équations différentielles stochastiques invariantes par renversement du temps. Pour cette raison, cette prescription est souvent utilisée en physique statistique.

Il faut noter cependant qu'il est possible de passer de l'une à l'autre des prescriptions en effectuant des changements de variables simples ce qui les rend équivalentes. Le choix de prescription est donc une question de convenance.

Processus usuels

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Martingales exponentielles

Article connexe : martingale.

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Intégrale de Wiener et intégrale stochastique

Intégrale de Wiener

Notons le mouvement brownien (MB) par $\{B_t\}_{t\in T}$ et l'intégrale de Wiener par $\int_a^b(.)\mathrm dB$.

On dit qu'une fonction $h : [a,b]\to\R$ est une fonction en escalier (donc dense dans $L^2([a,b])$) dans s'il existe $\sigma$ une subdivision de $[a,b]$ et s'il existe $\alpha_0,...,\alpha_{N_{\sigma}-1}\in\R$ tels que :

$h=\sum_{k=0}^{N_{\sigma}-1}\alpha_k 1_{[t_k^{\sigma},t_{k+1}^{\sigma}[}$

Alors, on pose :

$\int_a^b h(s)\mathrm dB(s)=\sum_{k=0}^{N_{\sigma}-1}\alpha_k \{B(t_{k+1}^{\sigma})-B(t_k^{\sigma})\}$

Il est clair que $\int_a^b h(s)\mathrm dB(s)$ est une variable aléatoire gaussienne centrée de variance $\int_a^b |h(s)|^2 \mathrm ds$.

De plus, soit $g\in L^2([a,b])$ et $H_n$ une suite de fonctions en escalier de $g\in L^2([a,b])$. Alors, la suite $\left(\int_a^b H_n(s)\mathrm dB(s) \right)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers une limite dans $L^2(\Omega)$. De plus, cette limite ne dépend pas de la suite $(H_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et est notée par $\int_a^b g(s)\mathrm dB(s)$.

Intégrale stochastique

Soit $Z$ le mouvement brownien standard défini sur l’espace probabilisé $(\Omega, A, F, P)$ et $\sigma$ un processus adapté à $F$. On suppose par ailleurs que $\sigma$ vérifie :

$E\left(\int_0^T \sigma_s^2 \mathrm ds\right) < + \infty$.

Alors, l’intégrale stochastique de $\sigma$ par rapport à $Z$ est la variable aléatoire :

$\left(\int_0^T \sigma_s \mathrm dZ_s \right) = \lim_{N\to +\infty} \sum_{n=1}^N \sigma_{n-1} \left(Z_n - Z_{n-1}\right)$.

Lemme d’Itô

Article détaillé : Lemme d'Itô.

Soit $x$ un processus stochastique tel qu'on ait $\mathrm dx = a\mathrm dt + b \mathrm dz$ où $z$ est un processus de Wiener standard.

Alors d'après le lemme d'Itô, on a pour une fonction $G = G(x,t)$

$\mathrm dG = \frac{\mathrm dG}{\mathrm dt} \mathrm dt + \frac{\mathrm dG}{\mathrm dx} \mathrm dx + \frac{1}{2} b^2 \frac{\mathrm d^2 G}{\mathrm dx^2} \mathrm dt$

Équations différentielles stochastiques

Article détaillé : équation différentielle stochastique.

Une équation différentielle stochastique (EDS) est la donnée d’une équation du type $\mathrm dX = \mu(X,t) \mathrm dt + \sigma(X,t) \mathrm dW_t$, où $X$ est un processus aléatoire inconnu, que l’on appelle communément équation de diffusion. Intégrer l’EDS, c’est trouver l’ensemble des processus vérifiant la diffusion entière.

Processus d’Ornstein-Uhlenbeck

Le processus d'Ornstein-Uhlenbeck est un processus stochastique décrivant (entre autres) la vitesse d'une particule dans un fluide, en dimension 1.

On le définit comme étant la solution $X_t$ de l'équation différentielle stochastique suivante :

$\mathrm dX_t=\sqrt2\mathrm dB_t-X_t\mathrm dt$,

où $B_t$ est un mouvement brownien standard, et avec $X_0$ une variable aléatoire donnée.

Le terme $\mathrm dB_t$ traduit les nombreux chocs aléatoires subis par la particule, alors que le terme $-X_t\mathrm dt$ représente la force de frottement subie par la particule.

La formule d'Itô appliquée au processus ${e^t}X_t$ nous donne :

$\mathrm d({e^t}X_t)={e^t}{X_t}\mathrm dt+{e^t}(\sqrt{2}{\mathrm dB_t}-{X_t}\mathrm dt)={e^t}\sqrt{2}{\mathrm dB_t}$,

soit, sous forme intégrale :

$X_t={X_0}e^{-t}+\sqrt{2}e^{-t}\int_0^t{e^s}\mathrm dB_s$

Par exemple, si $X_0$ vaut presque sûrement $x$, la loi de $X_t$ est une loi gaussienne de moyenne $xe^{-t}$ et de variance $1-e^{-2t}$, ce qui converge en loi quand $t$ tend vers l'infini vers la loi gaussienne centrée réduite.

Problèmes de contrôle optimal

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Méthodes de simulation

Méthode de Monte-Carlo

Les méthodes de Monte-Carlo reposent sur la Loi des grands nombres. En répétant un grand nombre de fois une expérience, de façon (théoriquement) indépendante, on obtient une approximation de plus en plus fiable de la vraie valeur de l'espérance du phénomène observé.

De telles méthodes sont notamment utilisées en finance pour la valorisation d’options pour lesquelles il n’existe pas de formule fermée, mais uniquement des approximations numériques.

Simulation par arbres recombinants

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Voir aussi

Bibliographie

• Nathalie Bartoli et Pierre Del Moral, Simulation & algorithmes stochastiques, Cépaduès, 2001 (ISBN 2-85428-560-3).
• Mario Lefebvre, Processus stochastiques appliqués, Hermann, 2006 (ISBN 2-7056-6561-7).
• Francis Comets et Thierry Meyre, Calcul stochastique et modèles de diffusions, Dunod, 2006 (ISBN 2-10-050135-6).
• Bassel Solaiman, Processus stochastiques pour l'ingénieur, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 2006 (ISBN 2-88074-668-X).

Articles connexes

• Chaîne de Markov
• Modèle de Markov caché
• Processus de décision markovien
• Mouvement brownien
• Physique statistique
• Modèle des urnes d'Ehrenfest
• Processus stochastique
• Équation différentielle stochastique
• Matrice stochastique
• Calculateur stochastique