Axiomes des probabilités

Dans la théorie des probabilités, une mesure de probabilité (ou plus brièvement probabilité) $\ \mathbb{P}$ est une application qui à un évènement A quelconque associe un nombre réel (noté $\ \mathbb{P}(A)$). Une mesure de probabilité doit satisfaire les axiomes des probabilités ou axiomes de Kolmogorov, du nom d'Andreï Nikolaievitch Kolmogorov, mathématicien russe qui les a développés.

Une mesure de probabilité $\ \mathbb{P}$ est toujours définie sur un espace probabilisable $\left(\Omega, \mathcal A\right),$ i.e. sur un couple constitué d'un ensemble d'éventualités, l'univers Ω, et d'une tribu $\mathcal A$ de parties de l'univers Ω. Les éléments de la tribu $\mathcal A$ sont appelés les évènements. Ainsi la mesure de probabilité $\ \mathbb{P}$ est une application de $\mathcal A$ dans $\mathbb R.$

Premier axiome

Pour tout évènement $\ A$ :

$0 \leq \mathbb{P}(A) \leq 1.$

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement est représentée par un nombre réel compris entre 0 et 1.

Deuxième axiome

$\ \Omega$ désignant l'univers associé à l'expérience aléatoire considérée,

$\ \mathbb{P}(\Omega) = 1$,

C'est-à-dire que la probabilité de l'évènement certain, ou d'obtenir un quelconque résultat de l'univers, est égale à 1. Autrement dit, la probabilité de réaliser l'un ou l'autre des évènements élémentaires est égale à 1.

Troisième axiome

Toute suite d'évènements deux à deux disjoints (on dit aussi : deux à deux incompatibles), $A_1,\, A_2, \dots$ satisfait :

$\mathbb{P}(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum_{i = 1}^{+\infty} \mathbb{P}(A_i)$.

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est la réunion (dénombrable) disjointe d'évènements est égale à la somme des probabilités de ces évènements. Ceci s'appelle la σ-additivité, ou additivité dénombrable (si les évènements ne sont pas deux à deux disjoints, cette relation n'est plus vraie en général).

Conséquences

À partir des axiomes, se démontrent un certain nombre de propriétés utiles pour le calcul des probabilités, par exemple :

• $\mathbb{P}(\emptyset)=0.$

Démonstration

Utilisons le 3ème axiome avec $\scriptstyle\ A_k=\emptyset\$ pour tout $\scriptstyle\ k.\$ On obtient

$\mathbb{P}(\emptyset)=\sum_{k\ge 1}\mathbb{P}(\emptyset),$

relation qui n'est pas satisfaite si $\scriptstyle\ \mathbb{P}(\emptyset)\in]0,1],\$ puisqu'alors le terme de droite vaut $\scriptstyle\ +\infty.\$ Donc il ne reste que $\scriptstyle\ \mathbb{P}(\emptyset)=0,\$ qui d'ailleurs convient.

• Si $\ A$, $\ B$ sont deux évènements incompatibles (ou disjoints), alors

$\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B).$

• Plus généralement, si $\ (A_k)_{1\le k\le n}$ est une famille d'évènements 2 à 2 incompatibles, alors

$\mathbb{P}\left(\bigcup_{1\le k\le n} A_k\right) = \sum_{1\le k\le n}\mathbb{P}(A_k).$

Démonstration

Utilisons le 3ème axiome avec $\scriptstyle\ A_k=\emptyset\$ pour tout $\scriptstyle\ k\ge n+1.\$ On obtient bien une suite d'évènements incompatibles 2 à 2 tels que

$\bigcup_{1\le k\le n} A_k=\bigcup_{k\ge 1} A_k,$

donc

$\mathbb{P}\left(\bigcup_{1\le k\le n} A_k\right)=\mathbb{P}\left(\bigcup_{k\ge 1} A_k\right),$

mais en vertu du troisième axiome

$\mathbb{P}\left(\bigcup_{k\ge 1} A_k\right)=\sum_{k\ge 1}\mathbb{P}\left(A_k\right)$

et finalement, puisque pour tout $\scriptstyle\ k\ge n+1,\$ $\mathbb{P}\left(A_k\right)=\mathbb{P}\left(\emptyset\right)=0,\$ on obtient le résultat désiré.

• $\mathbb{P}(B \setminus A) = \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)$;

Cette relation signifie que la probabilité que B se réalise, mais pas A, est égale à la différence $\mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)$. Cette relation découle de ce que B est réunion disjointe de $B \setminus A$ et de $A \cap B.$

• En particulier, si $A \subset B$, alors

$\mathbb{P}(A) \leq \mathbb{P}(B)$

C'est la propriété de croissance de la probabilité. En effet, dans le cas particulier où $A \subset B$, la propriété précédente s'écrit

$\mathbb{P}(B \setminus A) =\mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A),\$ où le premier terme est clairement positif ou nul.

• Dans le cas particulier où $B=\Omega,$ cela donne que, pour tout évènement $\ A$,

$\mathbb{P}(\Omega \setminus A) = 1 - \mathbb{P}(A)$

Ceci signifie que la probabilité pour qu'un évènement ne se produise pas est égale à 1 moins la probabilité pour qu'il se réalise ; cette propriété s'utilise lorsqu'il est plus simple de déterminer la probabilité de l'évènement contraire que celle de l'évènement lui-même.

• Pour tous évènements $\ A$, $\ B$,

$\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)\ \le\ \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) .$

Ceci signifie que la probabilité pour que l'un au moins des évènements $A$ ou $B$ se réalise est égale à la somme des probabilités pour que $\ A$ se réalise, et pour que $\ B$ se réalise, moins la probabilité pour que $\ A$ et $\ B$ se réalisent simultanément. De même,

$\mathbb{P}(A \cup B \cup C) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) + \mathbb{P}(C) - \mathbb{P}(B \cap C) - \mathbb{P}(C \cap A) - \mathbb{P}(A \cap B) + \mathbb{P}(A \cap B \cap C).$

• Ces deux dernières formules sont des cas particuliers (n=2,3) du Principe d'inclusion-exclusion:

$\mathbb{P}\left(\,\bigcup_{i=1}^n A_i\,\right)=\sum_{k=1}^n \left((-1)^{k-1} \sum_{1\leq i_1<i_2<\ldots<i_k\leq n} \mathbb{P}\left(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap \ldots \cap A_{i_k}\right)\right),$

qui donne la probabilité de la réunion de n ensembles non nécessairement disjoints.

• Par récurrence, l'inégalité obtenue pour n=2 se généralise :

$\mathbb{P}\left(\,\bigcup_{i=1}^n A_i\,\right)\le\sum_{k=1}^n \mathbb{P}\left(A_{k}\right).$

Limites croissantes et décroissantes

• Toute suite croissante d'évènements $A_1\,\subset\, A_2\,\subset\, A_3\,\subset\,\dots$ satisfait :

$\mathbb{P}(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \lim_{n} \mathbb{P}(A_n).$

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est la réunion (dénombrable) d'évènements croissants est égale à la limite des probabilités de ces évènements.

Démonstration

On pose

$B_1=A_1\quad\text{et}\quad\forall n\ge 2, \ B_n=A_n\backslash A_{n-1}.$

Alors les $B_i$ sont disjoints et vérifient

$\bigcup_{n\ge 1}B_n=\bigcup_{n\ge 1}A_n\quad\text{et}\quad\forall n\ge 1, \ \bigcup_{k= 1}^nB_k=A_n.$

Les propriétés de σ-additivité et d'additivité, respectivement, entrainent alors que

$\sum_{n\ge 1}\mathbb{P}(B_n)=\mathbb{P}\left(\bigcup_{n\ge 1}A_n\right)\quad\text{et}\quad\forall n\ge 1, \ \sum_{k= 1}^n \mathbb{P}(B_k)=\mathbb{P}(A_n).$

Alors $\scriptstyle\ \mathbb{P}(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \lim_{n} \mathbb{P}(A_n)$ n'est autre que la définition de la somme d'une série comme limite de ses sommes partielles.

• Toute suite décroissante d'évènements $A_1\,\supset\, A_2\,\supset\, A_3\,\supset\,\dots$ satisfait :

$\mathbb{P}(A_1 \cap A_2 \cap \cdots) = \lim_{n} \mathbb{P}(A_n).$

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est l'intersection (dénombrable) d'évènements décroissants est égale à la limite des probabilités de ces évènements.

• Inégalité de Boole. Toute suite d'évènements $B_1, B_2, B_3,\dots$ satisfait :

$\mathbb{P}(B_1 \cup B_2 \cup \cdots) \le \sum_{n} \mathbb{P}(B_n).$

Démonstration

On pose

$A_n=B_1\cup B_2\cup \dots\cup B_n=\bigcup_{k= 1}^nB_k.$

Alors les $A_i$ forment une suite croissante et

$\bigcup_{n\ge 1}A_n=\bigcup_{n\ge 1}B_n.$

Par ailleurs, on a vu plus haut que

$\mathbb{P}(A_n)\le\sum_{k= 1}^n\mathbb{P}(B_k),$

donc

$\begin{align}\mathbb{P}\left(\bigcup_{n\ge 1}B_n\right)=\mathbb{P}\left(\bigcup_{n\ge 1}A_n\right)&=\lim_{n}\mathbb{P}(A_n)\\ &\le\lim_{n}\sum_{k=1}^n\mathbb{P}(B_k)\\&=\sum_{n\ge 1}\mathbb{P}(B_n).\end{align}$

• Signalons deux conséquences importantes de l'inégalité de Boole :
  • Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles négligeables est elle-même négligeable ;
  • Une intersection finie ou dénombrable d'ensembles presque sûrs est elle-même presque sûre.

Formulation à partir de la théorie de la mesure

Article détaillé : Théorie de la mesure.

De manière équivalente, on définit plus simplement le triplet $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ représentant un espace probabilisé, comme un espace mesuré dont la mesure, $\mathbb{P}$, a la particularité d'avoir une masse totale égale à 1:

$\mathbb{P}(\Omega)=1.$

En théorie de la mesure, les évènements sont appelés « ensembles mesurables ». Ce mini-lexique permet de traduire les résultats de la théorie de la mesure et de l'intégration de Lebesgue en termes probabilistes.