Inférence bayésienne

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L'inférence bayésienne est un mécanisme d'inférence permettant de déduire la probabilité d'un évènement à partir des probabilités d'autres évènements déjà évaluées.

L'inférence Bayesienne s'appuie principalement sur le théorème de Bayes.

Dans un système de logique d'Aristote, une proposition ne peut être que vraie ou fausse, et les règles d'inférence ne font intervenir que ces deux valeurs.

Dans le raisonnement bayésien, on attribue à toute proposition une valeur entre 0 (faux à coup sûr) et 1 (vrai à coup sûr), ou la distribution de probabilité d'une valeur. L'inférence bayésienne révise la probabilité des propositions au fur et à mesure des observations, incluant, dans l'analyse de Thomas Bayes qui lui donne son nom, la première opinion (a priori) sur la probabilité des prémisses.

Le terme de probabilité est conservé pour des raisons d'isomorphisme, mais n'est pas interprété comme passage à la limite de la fréquence d'un évènement; il s'agit de la traduction numérique d'un état de connaissance, du degré de confiance accordé à une hypothèse (voir par exemple le théorème de Cox-Jaynes).

Manipulation des probabilités : notation et règles logiques

L'inférence bayésienne effectue des calculs sur les énoncés probabilistes. Ces énoncés doivent être clairs et concis afin d'éviter toute confusion. L'inférence bayésienne est particulièrement utile dans les problèmes d'induction. Les méthodes bayésiennes se distinguent des méthodes dites standards par l'usage systématique de règles formelles raffinant les probabilités par l'observation. Avant de passer à la description de ces règles, familiarisons-nous avec la notation employée.

Notation courante

La notation probabiliste reprend pour base la notation classique des évènements en probabilité qui elle même s'inspire de la notation logique.

Soit deux évènements A et B quelconques.

$\scriptstyle \bar A$	désigne l'évènement "non survenue de A"
$\scriptstyle A \cap B$	désigne l'évènement "survenue de A et de B"
$\scriptstyle A \cup B$	désigne l'évènement "survenue de A ou de B"
	La théorie bayésienne introduit les notations suivantes, exprimant la probabilité au sens bayésien et la notion de probabilité conditionnelle.
$\scriptstyle p(A)$	désigne la probabilité de survenue de l'évènement A.
$\scriptstyle p(A|B)$	désigne la probabilité de survenue de l'évènement A sachant que l'évènement B est survenu.

Règles de la logique des probabilités

Il existe seulement deux règles pour combiner les probabilités, à partir desquelles est bâti tout l'édifice bayésien. Ces règles sont les règles d'addition et de multiplication.

La règle d'addition

$P(\mathrm{A} \cup \mathrm{B}|\mathrm{C}) = P(\mathrm{A}|\mathrm{C}) + P(\mathrm{B}|\mathrm{C}) - P(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}|\mathrm{C})$

La règle de multiplication

$P(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) = P(\mathrm{A}|\mathrm{B}).P(\mathrm{B}) = P(\mathrm{B}|\mathrm{A}).P(\mathrm{A})$

Le théorème de Bayes, ou de probabilité des causes, s'en dérive aussitôt en mettant à profit la symétrie de la règle de multiplication

$P(\mathrm{A}|\mathrm{B}) = \frac{P(\mathrm{B}|\mathrm{A}).P(\mathrm{A})}{P(\mathrm{B})}.$

En d'autres termes, si on connaît dans le détail les causes possibles d'une conséquence observée, l'observation des effets permet de remonter aux causes.

Dans le cas précédent de la femme enceinte, sachant le résultat du test, il est possible de calculer la probabilité que la femme soit enceinte en utilisant le théorème de Bayes. En effet, dans le cas d'un test positif,

$P(\mathrm{E}|\mathrm{T_P}) = \frac{P(\mathrm{T_P}|\mathrm{E})P(\mathrm{E})}{P(\mathrm{T_P})}.$

Remarquez que l'inversion de la probabilité introduit le terme $P(E)$, la probabilité a priori d'être enceinte. La probabilité a priori est la probabilité de l'hypothèse, indépendamment du résultat du test. Une femme qui utilise des moyens de contraception choisirait un $P(E)$ très faible, puisqu'elle n'a pas de raison de croire qu'elle est enceinte. Par contre, une femme ayant eu récemment des relations sexuelles non-protégées et souffrant de vomissements fréquents adopterait une probabilité a priori plus élevée. Le résultat du test est donc pesé, ou nuancé, par cette estimation indépendante de la probabilité d'être enceinte (un homme, ayant choisi un $P(E)$ nul, aura ainsi une probabilité nulle d'être enceint, quels que soient les résultats de son test).

C'est cette estimation a priori qui est systématiquement ignorée par les méthodes statistiques standards.

Notation d'évidence

Dans la pratique, quand une probabilité est très proche de 0 ou de 1, seule l'observation d'éléments considérés eux-mêmes comme très improbables est susceptible de la modifier.

On définit l'évidence par :

$\mathrm{Ev}(p) = \log\frac{p}{(1-p)} =\log{p}-\log(1-p)$

Ev est une abréviation pour weight of evidence, parfois traduit en français par le mot « évidence » ; la formulation la plus conforme à l'expression anglaise d'origine serait le mot à mot « poids de témoignage », mais par une coïncidence amusante « évidence » se montre très approprié en français pour cet usage précis.

L'utilisation du logarithme fait varier la valeur de l'évidence sur tout le domaine des nombres réels quand la probabilité va de 0 à 1, avec une meilleure lisibilité des très petites (10^-5, 10^-10...) et des très grandes (0,999999, 0,999999999) probabilités, faciles à confondre intuitivement (voir équation de Drake).

L'intérêt de cette notation, outre qu'elle évite d'avoir trop de décimales au voisinage de 0 et de 1, est qu'elle permet de présenter l'apport d'une observation sous une forme indépendante des observateurs, donc objective : il faut le même poids de témoignage pour faire passer un évènement d'une plausibilité de -4 (probabilité 10^-4 avec logarithme en base 10) à -3 (probabilité 10^-3) que pour le faire passer de -1 (probabilité 0,09) à 0 (probabilité 0,5 soit une chance sur deux), ce qui n'était pas évident en gardant la représentation probabiliste pure.

Si l'on choisit une base $\scriptstyle 10^{0.1}$ pour le logarithme, l'évidence peut s'exprimer en décibels(dB): $\scriptstyle \mathrm{Ev}(p) = 10\,\log_{10} \frac{p}{(1-p)}$. Une évidence de -40 dB correspond à une probabilité de 10^-4, etc. En 2011, Stanislas Dehaene préfère le terme décibans, dont l'abréviation dB est identique.

D'autres unités ont été utilisées : le hartley (symbole Hart) avec des logarithmes à base 10 sans multiplicateur aussi appelé dit (pour decimal digit) ou ban (du nom de la ville de Banbury), les NATS utilisant les logarithmes népériens, dits aussi naturels.

Si on prend le logarithme en base 2, l'évidence s'exprime en bits : $\scriptstyle \mathrm{Ev}(p) = \log_{2} \frac{p}{(1-p)}$. On a Ev_dB ≃ 3,0103 Ev_bit.

Table d'équivalence

Probabilité	Évidence (dB)	Évidence (bits)
0,0001	-40,0	-13,3
0.0010	-30,0	-10,0
0,0100	-20,0	-6,6
0,1000	-9,5	-3,2
0,2000	-6,0	-2,0
0,3000	-3,7	-1,2
0,4000	-1,8	-0,6
0,5000	0,0	0,0
0,6000	1,8	0,6
0,7000	3,7	1,2
0,8000	6,0	2,0
0,9000	9,5	3,2
0,9900	20,0	6,6
0,9990	30,0	10,0
0,9999	40,0	13,3

Comparaison avec la statistique classique

Différence d'esprit

Une différence entre l'inférence bayésienne et les statistiques classiques, dites aussi fréquentistes, indiquée par Myron Tribus, est que

• les méthodes bayésiennes utilisent des méthodes impersonnelles pour mettre à jour des probabilités personnelles, dites aussi subjectives (une probabilité est en fait toujours subjective, lorsqu'on analyse ses fondements),
• les méthodes statistiques utilisent des méthodes personnelles pour traiter des fréquences impersonnelles.

Les bayésiens font donc le choix de modéliser leurs attentes en début de processus (quitte à réviser ce premier jugement en donnant des poids de plus en plus faibles aux a priori au fur et à mesure des observations), tandis que les statisticiens classiques se fixaient a priori une méthode et une hypothèse arbitraires et ne traitaient les données qu'ensuite.

La possibilité de diminuer automatiquement le poids des a priori au fur et à mesure de l’acquisition des données a permis aux modèles bayésiens d'être largement utilisés en data mining. En effet, contrairement aux méthodes classiques, il ne nécessitent que peu d'intervention humaines pour redéfinir les hypothèses lorsque ces dernières sont mauvaises.

Quand utiliser l'une ou l'autre ?

Les deux approches se complètent, la statistique étant en général préférable lorsque les informations sont abondantes et d'un faible coût de collecte, la bayésienne dans le cas où elles sont rares et/ou onéreuses à rassembler. En cas de profusion de données, les résultats sont asymptotiquement les mêmes dans chaque méthode, la bayésienne étant simplement plus coûteuse en calcul. En revanche, la bayésienne permet de traiter des cas où la statistique ne disposerait pas suffisamment de données pour qu'on puisse en appliquer les théorèmes limites.

Le psi-test bayésien (qui est utilisé pour déterminer la plausibilité d'une distribution par rapport à des observations) est asymptotiquement convergent avec le χ² des statistiques classiques à mesure que le nombre d'observations devient grand. Le choix apparemment arbitraire d'une distance euclidienne dans le χ² est ainsi parfaitement justifié a posteriori par le raisonnement bayésien (source : Myron Tribus, op. cit.)

Exemples d'inférence bayésienne

Test médical

Enoncé

Un médecin effectue le dépistage d'une maladie rare à l'aide d'un test fourni par un laboratoire. Le test donne un résultat booléen: soit positif, soit négatif. Les études sur des groupes tests ont montré que lorsque le patient est porteur de la maladie le test sera positif dans 90% des cas. Pour un patient non atteint de la maladie, le test sera positif dans un cas sur 100 (faux positif). Le médecin reçoit un résultat positif pour le test d'un patient. Il souhaiterait savoir quel est la probabilité que le patient soit réellement atteint de la maladie.

Résolution

Nous retenons la notation suivante, soient:

• $M$ l'évènement "le patient est atteint de la maladie" ($\bar M$ son complémentaire "le patient n'est pas atteint de la maladie")
• $T$ l'évènement "le test est positif"

La grandeur recherchées est: $P(M|T)$ probabilité que le patient soit malade sachant que le test est positif.

Les hypothèses se traduisent ainsi:

• $P(T|M)=0,9$
• $P(T|\bar M)=0,01$

Le théorème de Bayes donne le résultat suivant: $P(M|T)=\frac{P(T|M).P(M)}{P(T)}$ (1)

$P(T)$ s'évalue par: $P(T)=P(T|M).P(M)+P(T|\bar M).P(\bar M) = P(T|M).P(M)+P(T|\bar M).(1-P(M))$ (2)

(1) et (2) permettent de déduire: $P(M|T)=\frac{P(T|M).P(M)}{P(T|M).P(M)+P(T|\bar M).(1-P(M))}$

L'application numérique avec les valeurs proposées donne: $P(M|T)=\frac{0,9.P(M)}{0,89.P(M)+0.01}$

Interprétation

Nous pouvons remarquer que le résultat du calcul reste dépendant de $P(M)$ soit la probabilité globale que le patient soit malade. Cette incertitude ne peut pas être réduite comme nous allons le montrer.

Supposons que la maladie ciblée soit rare et touche 1/100000 personnes dans la population. Alors:

$P(M)=0,00001$ et $P(M|T)=0,000899$

Nous constatons que bien que le test soit positif pour 90% des personnes atteintes et produise seulement 1% de faux positif, le résultat est extrêmement peu concluant. Ce résultat qui peut sembler paradoxal parait plus évident si nous effectuons une analyse de population sur 1 millions de personnes.

Sur 1 millions de personnes en moyenne:

• 10 personnes seront touchées par la maladie, 999990 seront saines
• sur les 10 personnes touchées 9 seront dépistées et 1 sera ratée (faux négatif)
• sur les 999990 saines, 1% soit environ 10000 seront des faux positifs

Au final sur 1 millions de tests, nous obtiendrons 10009 tests positifs dont seulement 9 vrais positifs. La probabilité qu'un patient ayant un résultat positif soit malade reste donc extrêmement faible car la maladie est dans l'absolu extrêmement rare. D'un tel résultat nous pourrions conclure que le test est complètement inutile, pourtant il faut noter que la probabilité de trouver un patient malade par ce test reste 90 fois supérieur à une recherche par tirage aléatoire ($P(M)=0.00001$)

D'où vient ce biscuit ?

Énoncé

Imaginons deux boîtes de biscuits.

• L'une, A, comporte 30 biscuits au chocolat et 10 ordinaires.
• L'autre, B, en comporte 20 de chaque sorte.

On choisit les yeux fermés une boîte au hasard, puis dans cette boîte un biscuit au hasard. Il se trouve être au chocolat. De quelle boîte a-t-il le plus de chances d'être issu, et avec quelle probabilité ? Intuitivement, on se doute que la boîte A a plus de chances d'être la bonne, mais de combien ?

La réponse exacte est donnée par le théorème de Bayes :

Résolution

Notons H_A la proposition « le gâteau vient de la boîte A » et H_B la proposition « le gâteau vient de la boîte B ».

Si lorsqu'on a les yeux bandés les boîtes ne se distinguent que par leur nom, nous avons p(H_A) = p(H_B), et la somme fait 1, puisque nous avons bien choisi une boîte, soit une probabilité de 0,5 pour chaque proposition.

Notons D l'événement désigné par la phrase « le gâteau est au chocolat ». Connaissant le contenu des boîtes, nous savons que :

• p(D | H_A) = 30/40 = 0,75 (évidence 4,77 dB, soit 1,44 bit)
• p(D | H_B) = 20/40 = 0,5 (évidence 0 dB, soit 0 bit)

Note: « p(A | B) » se dit « la probabilité de A sachant B ».

La formule de Bayes nous donne donc :

$\begin{matrix} p(\mathrm{H_A} | \mathrm{D}) &=& \frac{p(\mathrm{H_A}) \cdot p(\mathrm{D} | \mathrm{H_A})}{p(\mathrm{H_A}) \cdot p(\mathrm{D} | \mathrm{H_A}) + p(\mathrm{H_B}) \cdot p(\mathrm{D} | \mathrm{H_B})} \\ \\ \ & =& \frac{0,5 \times 0,75}{0,5 \times 0,75 + 0,5 \times 0,5} \\ \\ \ & =& 0,6 \end{matrix}$

La probabilité p(H_A|D) représente la probabilité d'avoir choisi la boîte A sachant que le gâteau est au chocolat.

Avant de regarder le gâteau, notre probabilité d'avoir choisi la boîte A était p(H_A), soit 0,5. Après l'avoir regardé, nous révisons cette probabilité à p(H_A|D), qui est 0,6 (1,76 dB ou 0,53 bit). L'observation nous a donc apporté 1,76 dB (0,53 bit).

Et puisque p(H_A|D) + p(H_B|D) = 1 (pas d'autre possibilité que d'avoir choisi la boîte A ou la boîte B sachant que le gâteau est au chocolat), la probabilité d'avoir choisi la boîte B sachant que le gâteau est au chocolat est donc de 1 − 0,6 = 0,4.

Si nous imposons une probabilité a priori quelconque de suspecter une boîte particulière plutôt que l'autre, le même calcul effectué avec cette probabilité a priori fournit également 0,53 bit. C'est là une manifestation de la règle de cohérence qui constituait l'un des desiderata de Cox.

Cette pièce est-elle biaisée ?

On lance quatre fois une pièce et elle tombe quatre fois du même côté. Est-elle biaisée ?

La position des statistiques classiques est de dire qu'on ne peut pas tirer de conclusion significative de trois tirages (en effet, un côté étant déterminé par le premier lancer, on a bien une probabilité 1/8 d'avoir les trois tirages suivants du côté identique avec une pièce parfaitement honnête, ce qui ne fournit pas les 95 % de certitude demandés traditionnellement).

L'approche bayésienne mesurera simplement que cette probabilité de 1/16 déplace linéairement de 10 log₁₀(1/8 / 7/8) = - 8,45 dB l'évidence d'honnêteté de la pièce. Si nous lui accordions 40 dB (pièce sortie par exemple de notre propre porte-monnaie et lancée par nous), cette évidence passe à 31,55 dB. En d'autres termes, la probabilité subjective de sa normalité reste élevée (30 dB correspondent à une probabilité de 10^-3 environ que la pièce soit biaisée).

Si en revanche la pièce est fournie par un individu que nous jugeons louche et que nous estimions à 0 dB son évidence d'honnêteté (autant de chances d'être bonne que biaisée), cette évidence passe à -8,45 dB, ce qui correspond maintenant à une probabilité subjective de 87,5 % que la pièce soit biaisée, et nous serions avisés de mettre fin au jeu.

(exemple cité par Myron Tribus)

Où en sont les immatriculations du moment ?

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Supposons qu'un pays numérote les plaques minéralogiques de ses véhicules de 1 en 1 en partant de 1. Nous observons N plaques portant des numéros S₁, ... S_N. Pour N supérieur à 3, on démontre par la méthode de Bayes que le meilleur estimateur du numéro en cours K ne dépend que de N et de la plus haute immatriculation trouvée S_max, selon la formule suivante :

K = S_max × (N-1)/(N-2)

Plus intéressant encore, la variance de cette estimation devient exponentiellement petite avec la valeur de N. La démonstration est donnée dans Tribus, Décisions rationnelles dans l'incertain.

Prise de décision bayésienne et neurosciences

Un cycle de conférences du Collège de France nommé Psychologie cognitive expérimentale mentionne l'inférence bayésienne dans les titre de quatre de ses sept exposés. C'est une revanche posthume pour Jaynes dont une communication de 1957 sur le probable fonctionnement bayésien du cerveau, visible sur son site^[Où ?] avait été rejetée en 1957 comme "non en rapport avec le sujet des neurosciences". L'une des conférences est très proche des idées émises par Jaynes. Une des conférences se nomme du reste L'implémentation neuronale des mécanismes bayésiens. Les références données font état de travaux similaires dans plusieurs pays.

Voir également les articles Logit et Régression logistique.

Annexe historique

Cette démarche fut induite pragmatiquement par application du théorème de Bayes.

Après la publication posthume des travaux de Bayes, Abel et Laplace adhérèrent immédiatement au raisonnement bayesien (le second en tire même la loi de succession qui porte son nom). Le Théorème de Cox le formalisa sur des bases axiomatiques indépendantes de la théorie classique des probabilités et les travaux de Good, Jeffreys, Tribus et Jaynes la popularisèrent.

Notation d'évidence

Cette notation est souvent attribuée à I. J. Good. Ce dernier en attribuait cependant la paternité à Alan Turing et, indépendamment, à d'autres chercheurs dont Harold Jeffreys. C'est peu après les publications de Jeffreys qu'on découvrit qu'Alan Turing avait déjà travaillé sur cette question en nommant les quantités correspondantes log-odds dans ses travaux personnels.

Discussions

L'usage de probabilités a priori a entraîné quelques reproches récurrents aux méthodes bayésiennes lors de leur introduction. On devait alors rappeler systématiquement les quatre points suivants :

1. L'effet de la distribution a priori s'estompe à mesure que les observations sont prises en compte
2. Il existe des lois impersonnelles, comme la maximisation d'entropie ou l'invariance de groupe indiquant l'unique distribution possible sans ajouter d'information propre à l'expérimentateur.
3. Les probabilités a priori sont souvent dans d'autres méthodes utilisées inconsciemment (critère de Wald, critère du minimax...)
4. Comme pour tout autre modèle, les effets de différents choix a priori peuvent être considérés de front.

Ces méthodes sont aujourd'hui passées dans les mœurs.

Annexes

Bibliographie

• Satoshi Watanabe, Knowing and guessing: a quantitative study of inference and information, Wiley, 1969, ISBN 0471921300 9780471921301

Enseignement de l'outil

• Bernardo, J. and Smith, A.F.M. (1994) Bayesian Theory. John Wiley, New York (Référence de l'approche formelle de la théorie bayésienne via les fonctions de perte et la théorie de la décision)
• Tribus, Myron (1974) Décisions rationnelles dans l'incertain, trad. de Jacques Pézier, Masson (épuisé, mais lisible à la Bibliothèque publique d'information). En dépit de ses exemples en BASIC un peu datés, l'ouvrage original fut réédité en raison de sa partie conceptuelle toujours d'actualité et de son intérêt séminal.
• Robert, C.P. (1992) L'Analyse Statistique Bayésienne. Economica, Paris
• Documentation et programmes à télécharger
• Robert, C.P. (1994). The Bayesian Choice: A Decision Theoretic Motivation. New York: Springer Verlag (première édition, en français : L'Analyse Statistique Bayésienne, Paris: Economica, 1992, mais typographie moins soignée et donc lisibilité moins grande. Traduit en français en 2006 par Springer-Verlag, Paris)
• Jaynes, E.T. (2003) Probability Theory : The Logic of Science (en anglais).
• Francisco J. Samaniego, A Comparison of the Bayesian and Frequentist Approaches to Estimation, 2010, ISBN 978-1-4419-5940-9
• Davic McKay, Information theory, inference, and learning algorithms, Cambridge University Press, 2005
• Stanislas Dehaene (2011-2012) : Introduction au raisonnement Bayésien et à ses applications au Collège de France
• (en) Andrew Gelman, John B Carlin, Hal S Stern et Donald B Rubin, Bayesian data analysis, Chapman CRC, 2003 

Utilisation de l'outil

Les ouvrages relatifs à l'utilisation sont plus rares pour la raison suivante : on utilise les méthodes bayésiennes là où l'information coûte cher à obtenir (prospection pétrolière, recherche de médicaments...). Ce sont dans les deux cas cités des sociétés privées (pétroliers, laboratoires pharmaceutiques...) qui les financent, et celles-ci n'ont pas vocation à donner à leurs concurrents des informations qui ont coûté cher à leurs actionnaires.

Cependant, des analyses bayésiennes de problèmes concrets apparaissent dans la plupart des numéros des grands journaux de statistiques, comme Journal of the Royal Statistical Society, Journal of the American Statistical Association, Biometrika, Technometrics ou Statistics in Medicine.

• David Bellot (2002) « Inférence bayésienne en pratique » ^{(Archive • Wikiwix • Que faire ?)}
• Good, I.J. (1963) Speculations Concerning the First Ultraintelligent Machine (voir aussi Intelligence artificielle)
• Travaux de l'ERIS à l'Université de Rouen
• Myron Tribus (1974) Décisions rationnelles dans l'incertain (épuisé, mais librement consultable à la bibliothèque de Beaubourg, comportant beaucoup d'exemples et de programmes BASIC les résolvant de façon pratique)

Articles connexes

• Rasoir d'Occam
• Théorème de Bayes
• Plan d'expérience
• Data mining
• Intelligence artificielle
• Odds ratio
• Réseau bayésien