Pied (unité)

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Le pied est une unité de longueur correspondant à la longueur d'un pied humain, c'est-à-dire un peu plus de trente centimètres. Cette unité est encore utilisée dans beaucoup de pays anglo-saxons et d'anciennes colonies de l'empire britannique. Depuis 1960, un pied correspond habituellement à 1/3 de yard, c'est-à-dire 0,3048 mètres ; il est divisé en 12 pouces.

Avec la coudée et le doigt, le pied est l'unité de mesure la plus ancienne de l'histoire de l'humanité. En tant qu'unité sur des règles graduées, il est attesté depuis le début du IIIe millénaire av. J.-C., où il est déjà divisé en seize doigts. Cette subdivision dite « digitale » fut la règle pendant l'Antiquité.

Histoire[modifier | modifier le code]

À la fin de l'Antiquité et surtout pendant le Moyen Âge, on préféra la division onciale. Cette division du pied en douze parts égales engendra le pouce. Elle est toujours en vigueur dans le système d'unités de mesure anglo-saxon. Dans pratiquement tous les pays, le pied – ou un de ses multiples comme la verge ou la toise – fut l'étalon des unités de mesure de longueur. Du pied de Nippur, au pied égyptien et au pied romain, etc., tous les pieds de l'Antiquité sont déduits les uns des autres. Les pieds du Moyen Âge sont soit des pieds de l'Antiquité conservés, soit des déductions nouvelles.

Le pied romain[modifier | modifier le code]

Vers la fin de la Préhistoire  – il y a donc environ 5 000 ans –  les Égyptiens subdivisèrent la coudée de Nippur[1] mésopotamienne d'environ 518,5 mm, au lieu d'en 30 doigts comme le firent les Sumériens, en 28 doigts seulement.

Les arpenteurs égyptiens voulaient ainsi profiter d'une approximation trigonométrique[2]. Par ce fait même, ils définirent la mesure du doigt, qui fut appelé plus tard « doigt romain ». Seize de ces doigts font la longueur du pied romain, plus précisément dudit pes monetalis, soit environ 296 ⅓  millimètres ou  296 352 µm en valeur sept-lisse conventionnelle.

Ce pied romain est également attesté par des règles graduées de l'époque. Plusieurs d'entre elles mesurent environ 296,3 mm, dont les deux exemplaires le plus connus sont un pied en bronze trouvé à Pompéi[3] et un autre, également en bronze, qui se trouve aujourd'hui au Louvre[4]. L'un comme l'autre mesurent 296,3 mm. La Colonne de Marc-Aurèle est haute de cent pieds. On a déterminé qu'elle mesurait 29,617 mètres exactement. La livre est un poids déduit du conge, l'unité de volume en rapport avec le pied. Les études sur la livre romaine confirment une valeur supérieure à 296 mm[5].

Néanmoins, dans les différentes provinces et également à Rome même, à différentes époques d'autres mesures furent utilisées. À juste titre, elles peuvent être appelées : « pied romain », elles aussi. On peut citer notamment les mesures d'environ 294,0 mm, 294,7 mm, 295,6 mm, 297,7 mm.

Le pied romain fut d'ailleurs conservé, en tant que mesure légale et officielle, dans plusieurs pays de l'Europe. Dans la ville d'Augsbourg, une des villes les plus vieilles d'Allemagne et fondée par les Romains, le pied mesura jusqu'à son abolition à la fin du XIXe siècle :  296,168 mm[6] et à Prague – ville qui, au XIVe siècle, fut même la capitale du Saint-Empire romain germanique – le pied, aboli le 1er janvier 1876,  mesura  296,380 mm[7], soit respectivement  - 0,0621 %  et  + 0,0095 %  par rapport à la valeur sept-lisse du pied romain.

L'abandon progressif et partiel du pied[modifier | modifier le code]

Durant la Terreur, la Convention montagnarde vota l'abolition du pied en France par la loi du 1er août 1793. Celle-ci fut confirmée par la loi du 18 germinal an 3 (7 avril 1795) de la Convention thermidorienne et rendue définitive par la loi du 19 frimaire an 8 (10 décembre 1799) sous le Consulat. La Restauration ne tenta pas de restaurer aussi le pied de roi.

Durant le dix-neuvième siècle, presque tous les pays européens abandonnèrent successivement leurs pieds respectifs au profit du système métrique décimal.

Aujourd'hui, le seul pied encore utilisé est le pied anglais, toujours présent dans les domaines de l'aéronautique ou de l'informatique avec le pouce équivalent à un douzième de pied. Depuis 1959, le pied anglais équivaut légalement à 304,8 millimètres exactement (soit 12 pouces). Voir aussi ci-dessous : Le pied dans le monde contemporain.

Les différentes définitions[modifier | modifier le code]

Dès l'Antiquité et durant tout le Moyen Âge, en Italie, de nombreux autres pieds ont été utilisés. Ces pieds étaient parfois assez proches du pied romain. Le pied attique-solonique mesure environ 294,0 mm et le pied héraïon ou « néo-romain »  297,7 mm. Ces pieds furent souvent confondus avec le pied romain proprement dit. Le pied attesté et utilisé pour l'édification de l'abbatiale Cluny III en Bourgogne (XIe - XIIe siècles)  mesure environ 295 mm[8]. Cela dit qu'il est près de 0,5 % plus court que le pes monetalis romain. Il s'agit donc d'un autre pied, éventuellement d'une tradition ancienne également. Un pied connu dans l'Antiquité se nomme pous metrios[9]. Il entretient le ratio 16 : 15 avec le pied romain. Le pied de Cluny doit être 28 : 30 pous metrios, soit un peu plus de 295,0 millimètres.

Le pied en France[modifier | modifier le code]

En 1668, le pied de roi fut modifié par Jean-Baptiste Colbert lorsqu'il reforma la toise du Châtelet. Le pied utilisé en France correspondait à environ 326,596 mm avant 1668 et 324,839 mm entre 1668 et 1799.

Article détaillé : Toise.

Le pied d'avant 1668[modifier | modifier le code]

Le pied de roi ancien, avant la réforme de Colbert, entretint avec le pied rhénan ou carolingien le ratio 25 : 24. Sa valeur est généralement donnée par 326,596 mm[10]. Cette valeur peut être lissée à 326,592 mm sans problème.

Le pied entre 1668 et 1799[modifier | modifier le code]

La toise du Châtelet de 1668 fut créée dans l'idée d'un rapport 12 : 11 avec le pied romain, mais les métrologues français du XVIIe siècle le confondirent avec le pied héraïon, c.-à-d. le pygme du pied dit pous italikos[9] de 264,6 mm. Ce pied héraïon se dit aussi « pied néo-romain ». En 1668, on a dû l'évaluer, assez correctement, d'une longueur correspondant (aujourd'hui) à  8250 ÷ 27,706 mm. Il était très répandu dans l'Italie du Moyen Âge et sûrement aussi, localement, en France. Depuis, l'ancienne toise et la nouvelle entretiennent le ratio complexe de (12 × 576) : (11 × 625).

Le pied de roi, lors de son abolition définitive en France, fut déterminé par la loi du 19 frimaire an VIII (10 décembre 1799). Cette dernière stipulait que le mètre est égal à « une longueur de 3 pieds 11,296 lignes de la Toise de l'Académie »[11]. De là, le pied de roi mesure 9000 ÷ 27 706 m, soit environ 324,839 mm.

Pour l'anecdote, le pied québécois (symbole : P)  – supposé identique au pied de Paris de 1799 –  depuis 1985, crut de quelque 1,2 micromètre dans sa définition légale canadienne[12]. Le pied québécois égale désormais 1,06575 feet, soit 324,8406 mm exactement.

Les pieds anglo-saxons et équivalents[modifier | modifier le code]

Le pied anglais est l'unité de longueur du système d'unités de nombreux pays anglophones, dont les États-Unis, où il est le système officiel (au même titre que le SI, légalement), et le Royaume-Uni, bien que ce dernier ait adopté le système métrique décimal en 1995. Il est utilisé en nautisme (voile) et surtout en aéronautique pour mesurer les altitudes et les hauteurs par rapport à la surface du sol (ou de l'eau).

Son symbole « international » est : ft (pour : foot au singulier et feet au pluriel) ou ′. On écrit par exemple, 30′ 6″ pour signifier 30 pieds et 6 pouces, le pied valant 12 pouces. Au Canada français, où il est encore utilisé contrairement à l'Europe, on préfère le symbole pi pour pied[13].

Le Royaume-Uni a rechigné pendant longtemps à donner au yard qui vaut trois pieds, une équivalence légale en mètre. Différents instituts scientifiques anglais publiaient leurs valeurs de conversion, selon un d'eux en 1922, le pied anglais valut :  304,799 472 mm.

Aux États-Unis, le U.S. Survey foot fut fixé légalement dès 1866 :  équivalent à 1 200 ÷ 3 937 m, soit environ 304,800 601 mm[14]. Cette différence infime d'environ 0,00037 % n'a que peu de conséquences pratiques, d'autant plus que le monde scientifique anglo-saxon, y compris aux États-Unis, avait déjà abandonné l'utilisation du pied depuis le début du XXe siècle.

Il fut tout de même convenable d'avoir un taux de conversion commun et précis. En 1959, les pays anglophones adoptèrent un pied de compromis par un traité entre nations anglophones. Depuis :  1 pi  =  0,3048 m (30,48 cm).

Un pied équivalant au pied anglais du système d'unités de mesure anglo-saxon était déjà pratiqué dans l'Antiquité, entre autres en Syrie. On nomme «  pechys basilikos  » la coudée de l'Antiquité équivalant à deux pieds anglais.

L'unité de la perche anglaise est directement déduite du pied romain par la triangulation rationnelle du carré. De là, le pied anglais vaut – du moins en théorie – exactement 36 ÷ 35 pieds romains.

Les différents pieds et leur histoire[modifier | modifier le code]

Les pieds antérieurs du Croissant fertile[modifier | modifier le code]

L'histoire de la métrologie commence sans doute dans le Croissant fertile au tournant entre le néolithique et le début de l'histoire écrite, dont la date conventionnelle – du moins en ce qui concerne cette région, ailleurs elle est souvent plus tardive – est environ 3 300 ans avant Jésus-Christ.

Les vestiges architecturaux de la fin du IVe millénaire sont très concluants quant à la stabilité des mesures utilisées et renseignent en même temps sur les valeurs utilisées. Les premiers règles graduées préservées, retrouvées dans des fouilles archéologiques datent du début IIIe millénaire.

En 1916 l'archéologue allemand Eckhard Unger, alors conservateur du Musée archéologique d'Istanbul, identifia et décrivit un étalon de mesure de longueur retrouvé peu auparavant lors des fouilles à Nippur. Cette « coudée de Nippur[1] »  (prononcez : Nippour), date du début du IIIe millénaire. C'est le plus ancien spécimen connu d'un instrument de mesure gradué. Cette coudée est considérée aujourd'hui comme « mesure mère » de toutes les mesures de l'Antiquité.

La comparaison de cet étalon avec les mesures architecturales par exemple, a permis d'établir scientifiquement que cette mesure sumérienne mesurait :  518,5 millimètres  ± 0,2 %, soit  ± 1,0 mm. La valeur conventionnelle, sept-lisse de  2 3 × 33 × 50 × 7 4  =  518 616  micromètres, s'avère être à la fois très pratique pour la commodité de calcul des valeurs issues des ratios propres aux mesures anciennes et de l'autre côté, cette valeur rentre largement dans l'intervalle de confiance établi, avec + 0,02 % par rapport à la moyenne constatée.

L'utilisation de cette valeur arbitraire, conventionnelle et sept-lisse, ne stipule aucunement, ni que les métrologues sumériens furent capables de mesurer au micromètre près, ni que les métrologues historiques d'aujourd'hui seraient capable de restituer ces mesures avec cette même précision. Elle fluctuaient bien souvent de ± 0,1 %. Les valeurs lisses ne sont qu'une sorte d'arrondi pratique de toutes les mesures anciennes.

Les quatre pieds déduits :

  Le pied sumérien    276,5952 mm
   =  518, 616  ÷  30  ×  16. Les Sumériens, inventeurs du système sexagésimal, divisèrent leur coudée en trente parts égales.

L'utilisation du pied ainsi que sa division en seize doigts sont clairement indiquées sur le spécimen de la coudée de Nippur, ainsi que celle de la paume, de l'empan et du pygme.

  Le pied romain (pes monetalis)    296,352 mm
   =  518, 616  ÷  28  ×  16. Les géomètres égyptiens divisèrent la coudée en 28 doigts pour une approximation trigonométrique.

Cette approximation trigonométrique, encore assez brute –  mais précurseur de la fine triangulation rationnelle du carré,  – se manifesta dans le  remen de construction  égyptien.

  Le pied égyptien ancien     299, 376 mm
   =  296, 352  ÷  70  ×  99. Les arpenteurs égyptiens en pratique se contentèrent encore de l'approximation brute :  √2 ≈ 7 ÷ 5.

Les métrologues égyptiens avaient conscience de la différence entre les doigts de cathètes et les doigt de l'hypoténuse de leur remen. L'hypoténuse fut la coudée royale ancienne.

  Le pied égyptien     302,4 mm
   =  299, 376  ÷  70  ×  99. Les doigts de la coudée royale ancienne mis sur les cathètes engendrent la nouvelle coudée royale.

Les doigts de la coudée royale (nouvelle) et les doigts dit romains entretinrent désormais le ratio 50 : 49. Cette réforme de la coudée royale devint officielle durant la XIe dynastie égyptienne, au début du Moyen Empire. Mais, déjà avant, les archéologues observent l'utilisation de deux mesures bien distinctes, une plus petite, une plus grande, d'une différence de un pour-cent. Cela est dû à l'approximation de la racine carrée de deux, telle qu'elle fut utilisée par les premiers arpenteurs : √2 ≈ 28 ÷ 20, les doigts de leur remen de construction et la raison pour les coudées égyptiennes à 28 doigts.

Il est impossible de dire à quelle époque les Égyptiens s'aperçurent que l'approximation : √2 ≈ 99 ÷ 70  (qu'ils opérèrent en fait dans la définition de leurs mesures, sans le savoir)  est deux cent fois plus précise. Mais compte tenu des progrès en mathématique durant la Haute-Antiquité –  les Babyloniens par exemple connurent, au début du IIe millénaire, la valeur de racine carré de deux avec une précision supérieure à un demi-millionième. Cf. la tablette YBC 7289  – il est hautement probable que les Égyptiens, eux aussi, connurent tantôt cette approximation simple de 99 ÷ 70.

...

La diagonale de l'actus quadratus[modifier | modifier le code]

Nouveaux pieds sept-lisses[modifier | modifier le code]

L'actus quatratus est l'acre romain. L'acre romain se dit aussi l'arpent carré. L'arpent romain, l'actus, est une mesure de longueur de douze perches romaines. La perche romaine, pertica, tient dix pieds seulement, d'où son autre nom latin decempeda.

La diagonale de l'acre engendra d'abord le pied anglais, puis ce dernier engendra le pied carolingien. L'ordre chronologique de l'histoire est apparemment inversé. Mais, il ne faut pas oublier que le pied dit anglais, exista et fut employé dans le Proche-Orient et dans le monde grec, au moins deux mille ans avant que, à la fin du XIe siècle, les Anglais l'adoptèrent comme étant le leur. Similairement, le pied dit romain date d'au moins du début du IIIe millénaire av. J.-C.

La diagonale de l'actus quadratus mesure dix perches anglaises, obtenues par la triangulation rationnelle du carré, car  (120 × 296⅓ ÷ 70)  × 99 = 10 × 5029,2 millimètres. Le pied rhénan ou carolingien fut créé exactement de la même manière, en remplaçant uniquement le pied romain par le pied anglais. Le pied que les Polonais, ultérieurement, ont choisi comme étant le leur, fut très répandu en Europe centrale. Il se nomme en allemand « Baumaß », mesure de chantier. La déduction de ce pied dit polonais diffère légèrement, dans la mesure où, d'abord fut créée une perche de 16 ½  pieds romains, sur la diagonale du nouvel acre.

 •  Le pied polonais[15]   =     288, 12  mm     =     ( ( (  296, 352
  ×  
165 )
   ÷  
99 )   ×  70 )   ÷  120
 •  Le pied romain   =     296, 352  mm
  =  
(  518, 616
  ÷  
28 )
   ×  
16
 •  Le pied anglais[16]   =     304, 8192  mm
  =  
( ( (  296, 352
  ×  
120 )
   ÷  
70 )   ×  99 )   ÷  165
 •  Le pied carolingien     =     313, 52832  mm
  =  
( ( (  304, 8192
  ×  
120 )
   ÷  
70 )   ×  99 )   ÷  165

 Finalement, ces quatre pieds très importants, entretiennent tous, successivement, le même ratio de trente-six à trente-cinq :

Le pied carolingien Le pied anglais [16] Le pied romain Le pied polonais [15]
313, 52832  mm ×  (35 ÷ 36)   =   304, 8192  mm ×  (35 ÷ 36)   =   296, 352  mm ×  (35 ÷ 36)   =   288, 12  mm

 Le pied dorien-pheidonique – au ratio 27 : 25  versus le pied égyptien – ou pied ancien de roi entretient les mêmes relations :

Le pied - pygme ionien Le pied ancien de roi Le pied philétaire [9] Le pied cyrénéen [9]
335, 9232  mm ×  (35 ÷ 36)   =   326, 592  mm ×  (35 ÷ 36)   =   317, 52  mm ×  (35 ÷ 36)   =   308, 7  mm

Le ratio entre le pied philétaire et le pied italique (264,6 mm) est déjà mentionné par Héron d'Alexandrie dans son livre Geometrica. Il le donne comme 54 : 45, soit 6 : 5. Le ratio entre le pied romain et ce pied philétaire est 30 : 28, comme le pied romain entretient avec le pied italique le rapport 28 : 25.

Nouveaux pieds onze-lisses[modifier | modifier le code]

Bien souvent, les métrologues créant un nouveau pied sur la diagonale de l'acre, n'y tenaient pas d'avoir au résultat un nouveau pied contenant le facteur onze. Sinon, les rapports simples avec les autres pieds des autres pays se compliquaient bien vite. L'idée était, de définir d'abord bien volontairement une perche nouvelle multiple de onze, en pieds. En pratique, cela fut, soit une perche de 22 pieds, soit une de (22 ×  3/4 =) 16½ pieds. Ensuite le facteur onze s'élimine tout seul de toutes les autres mesures, sauf de la perche des arpenteurs.

D'autres métrologues n'étaient pas si méticuleux et prévoyants. Ils tenaient pour important surtout que la diagonale soit un multiple entier de la toise, sans se soucier d'éventuels inconvénients. Ils tenaient à leur perche de 18 pieds. Ainsi fut créé un pied nouveau partant de l'acre du pied carolingien :

  Le pied romain de Hultsch :    295, 612 416  mm
     =   ( ( (  313, 52832
  ×  
120 )
   ÷  
70 )   ×  99 )   ÷  180.      Cela est le pied de Friedrich Hultsch'.

Ce philologue allemand de renom est un éminent métrologue historique, auteur de plusieurs grands ouvrages de référence[17], ayant beaucoup contribué à la recherche sur les poids et mesures anciens. Mais, pour lui, le pied romain ne mesura que 295,6 millimètres.

...

  Le pied byzantin :    320, 76  mm
     =   299, 376    ×   (30 ÷ 28) .      Ce pied est d'un ratio de 30 : 28  au pied ancien égyptien.

...

Les autres pieds antérieurs[modifier | modifier le code]

  Le pied italique :    264, 6  mm
     =   302, 4         ×   (28 ÷ 32) .       Héron mentionna son ratio de 20 : 24  au pied philétaire.

...

  Le pied attique - solonique :    293, 9328  mm
     =   326, 592    ×   (18 ÷ 20) .      Ce pied est d'un ratio de 30 : 32  au pied carolingien.

Ce pied d'un ratio simple avec le pied dorien-pheidonique, ç.-à-.d. avec le pied ancien français, est important en Grèce, comme en Italie. Guilhiermoz le confondit avec le pied romain.

...

La relation entre le pied et son pygme[modifier | modifier le code]

Les termes de la métrologie historique nous viennent bien souvent du grec. Dans l'Antiquité, le pied, pous en grec – à ne pas confondre avec son faux-ami français – tint seize doigts, dactyloi. La coudée classique grecque, nommée pechys, comprend toujours 24 doigts, soit 1½ pieds. Entre le pied et la coudée-pechys, il y a deux autres mesures relatives qui portent un nom propre grec. Le pygon mesure vingt doigts. Il est l'équivalent du terme égyptien remen, déjà rencontré plus haut.

La seconde mesure portant un nom propre grec est le pygme qui est toujours de dix-huit doigts. Le mot signifie en fait l'os de l'avant-bras. Elle s'en veut équivalente, c'est-à-dire « jusqu'au poignet », sans la main avec ses doigts. Il s'agit donc d'une coudée miniature, cf. « les Pygmées ».

Dans toutes les autres langues, sauf le grec, il n'y a pas de mot pour désigner précisément cette « coudée de dix-huit doigts ». Soit on la nomme par son nom grec pygme, soit on la désigne, improprement, par pied aussi, comme cela est souvent le cas.
Certes, un pied peut devenir pygme et vice-versa. La bonne définition est la suivante :  Si la mesure est composée de dix-huit doigts, il s'agit d'un pygme. Si la mesure est divisée en seize doigts, il s'agit d'un pied. Après, la division digitale, peut être aussi convertie en division onciale.

De nombreuses mesures entretiennent cette relation de huit à neuf :

Le ratio entre le pied et son pygme est toujours de seize à dix-huit.
Dix-huit doigts d'un pied peuvent engendrer un autre, à condition que la nouvelle mesure soit subdivisée en seize doigts elle-même.
Si au contraire, un pied existant est pris pour un pygme, le nouveau pied en résultant est d'un neuvième plus court que son pygme.

   Le pied italique :    264, 6  mm
       
  Le pied néo-romain :    297, 675  mm
   Le pied sumérien :    276, 5952  mm
       
  Le pied attique - olympique :    311, 1696  mm
  Le pied espagnol :    278, 69184  mm
       
   Le pied carolingien :    313, 52832  mm
   Le pied polonais :    288, 12  mm
       
  Le pied de Fribourg :    324, 135  mm
  Le pied d'Aschaffenbourg :    290, 304  mm
       
   Le pied ancien de roi :    326, 592  mm
   Le pied attique - solonique :    293, 9328  mm
       
  Le pied de Bourgogne :    330, 6744  mm
   Le pied romain :    296, 352  mm
       
  Le pied Drusien :    333, 396  mm
   Le pied néo - romain :    297, 675  mm
       
  Le pied tyrolien :    334, 884375  mm
  Le pied ionien :    298, 5984  mm
       
   Le pied - pygme ionien :    335, 9232  mm

Le pied néo-romain, qui est lui-même pygme du pied italique, engendra ultérieurement son propre pygme, devenant le pied tyrolien.

Les autres pieds importants[modifier | modifier le code]

Pieds ordinaires[modifier | modifier le code]

  Le pied autrichien :    316, 1088  mm
     =    296, 352 × (32 ÷ 30) .     C'est le pied grec commun. Il se dit aussi « pous metrios ».

Ce pied connu depuis l'Antiquité, fut également, entre 1756 et 1876, le pied légal autrichien[18].  Avant 1756, en Autriche, le pied dit polonais  fut la mesure officielle. Ces deux pieds entretiennent le ratio 192 : 175.

  Le pied de Bavière :    291, 7215  mm
     =    311, 1696 × (32 ÷ 30) .     Ce pied est d'un ratio de 30 : 32  au pied attique-olympique.

Le pied de Saint Lambert (wa :  pî d' Sint Lambiet) qui avait cours dans la Principauté de Liège et dont la valeur était environ 291,8 mm en est équivalant.

  Le pied de Brême :    289, 40625  mm
     =    308, 7 × (30 ÷ 32) .     Le ratio du pied du Brême au pied cyrénéen est donc 30 : 32 .

...

  Le pied d'Abydos :    318, 9375  mm
     =    297, 675 × (30 ÷ 28) .     Le ratio du pied d'Abydos au pied néo-romain est donc 30 : 28 .

...

  Le pied osque de Hygin :    275, 625  mm
     =    264, 6 × (100 ÷ 96) .     Le ratio osque de Hygin au pied italique est donc 25 : 24 .

Hygin le gromatique rapporta que 8640 pieds romains carrés valent 10 000 pieds osques-ombriens carrés.  Le ratio de ce dernier au pied romain est donc 625 : 672 et avec le pied cyrénéen son rapport est 25 : 28.

  Le pied de Nuremberg :    303, 75  mm
     =    324, 135 × (30 ÷ 32)  × (2400 ÷ 2401).   Fribourg, ratio  30 : 32, comma ordinaire inversé.

...

  Le pied de roi de 1668 :    324, 84375  mm
     =    297, 675 × (12 ÷ 11)  × (3025 ÷ 3024).    Néo-romain,  ratio  12 : 11,  comma  3025 : 3024.

Le pied de roi de 1668, issu de la réforme colbertienne, resta inchangé jusqu'à son abolition définitive en 1799.

...

Pieds à main[modifier | modifier le code]

Les arpenteurs, dès l'Antiquité, préférèrent bien souvent un pied d'une longueur supérieure à un pied naturel. Il créèrent le pes manualis, que l'on traduit, en français par « pied manuel » ou « pied à main ». Le procédé de sa création est très simple. L'acre romain est une surface de référence d'un carré de 120 pieds de côtés. Cent-vingt pieds, c'est la longueur de l'arpent romain composée de douze perches decempeda. Si on divise ce même arpent tout simplement par cent, on obtient un nouveau pied, d'un cinquième plus long que l'ancien.

Article détaillé : Pied à main.

Un pied et son pied à main entretiennent donc toujours le ratio dix à douze.   Ainsi :

 
est le pied à main
  Le pied tyrolien   334, 430208      × (10 ÷ 12) =      278, 69184     du pied espagnol.   
  Le pied de Bourgogne *      330, 75    × (10 ÷ 12) =      275, 625   du pied osque.
  Le pied philétaire   317, 52    × (10 ÷ 12) =      264, 6   du pied italique.

* Il s'agit là d'un pied de Bourgogne augmenté d'un comma graine de pavot. 330,75 × (4374 ÷ 4375) = 330,6744 mm.

Pieds marchands[modifier | modifier le code]

Dans la triangulation rationnelle du carré le facteur premier onze est présent. Les arpenteurs créèrent – pour faciliter le traitement de ce facteur encombrant – un pied auxiliaire mesurant onze pouces seulement. Cela revient à la division par vingt-quatre de la perche des arpenteurs. Pour la perche ancienne d'avant 1668, cela donne :  (326,592 × 22) ÷ 24 = 299,376 millimètres.  C'est le pied égyptien ancien ! Les arpenteurs français du Moyen Âge en divisant tout simplement leur perche de 22 pieds de roi par 24, ils retrouvèrent, arithmétiquement, le même pied que les Égyptiens anciens utilisèrent déjà à la fin du IVe millénaire av. J.‑C.. L'existence de ce pied est d'ailleurs bien attestée dans la très importante canne de Toulouse. Créée pour mesurer exactement six de ces pieds, cette canne fut ensuite subdivisée en huit empans, comme cela fut l'usage en Languedoc.

Après 1668, onze pouces du pied de roi valurent environ 297,77 millimètres. Ce pied est donc équivalant au pied néo-romain. Puisque le pied de roi fut particulièrement long à comparer avec la plupart des autres pieds en usage, ce pied fut volontairement adopté dans de nombreuses provinces françaises. Il fut divisé, bien sur, en douze pouces et reçut le nom de « pied marchand ». Ignorant l'histoire véritable de ce pied, certains affirmèrent que ce pied aurait été créé par des commerçants malhonnêtes, voulant tricher d'un douzième, dans la vente des cordes et tissus par exemple.

Quoi qu'il en soit, ce nom lui est resté : Un pied et son pied marchand entretiennent toujours le ratio douze à onze.

Autres pieds dits marchands :

  Le pied de Darmstadt :    287, 40096  mm
     =    313, 52832 × (11 ÷ 12) .  

Le pied de Darmstadt, un des plus importants de l'Allemagne, est le pied marchand du pied carolingien. À Cologne, il est attesté avec la valeur de 287,392 mm. Preuve que le pied rhénan de la Prusse[19] est légèrement surévalué.

  Le pied suédois :    297, 12375  mm
     =    324, 135 × (11 ÷ 12) .  

La Suède adopta ce pied marchand qui provient du pied de Fribourg, qui n'est, lui-même, rien d'autre que le pygme du pied polonais. Ce dernier fut alors pratiqué sur l'autre rive de la Baltique, en face de la Suède.

...

Le pied dans le monde contemporain[modifier | modifier le code]

Dans le monde scientifique, y compris aux États-Unis, le système métrique décimal (SI) est aujourd'hui le système de référence.

Dans le monde technique et industriel, les mesures en pouces et en pieds sont encore omniprésentes, parfois même en pseudo. Ainsi les disquettes PC furent conçues par leurs créateurs japonais  – pays ayant adopté le système métrique depuis longtemps – à une taille de 90 mm exactement. Pourtant, elles sont appelées « 3½ » dans le monde entier, avec une erreur d'un peu moins d'un millimètre.

Actuellement, en Angleterre par exemple, le pied est très utilisé pour les usages courants. La plupart des longueurs comprises entre 50 cm et 500 m sont exprimées dans cette unité. C'est le cas pour la taille des personnes, les dimensions d'une pièce, d'un bateau ou de l'indication, sur un panneau, de la distance à parcourir à pied (les panneaux routiers sont rédigés en milles ou en fraction de mille).

En aéronautique, dans le monde entier, sauf dans les pays de l'ex-Union soviétique et en Chine, les altitudes restent exprimées en pieds anglo-saxons. Les niveaux de vol sont donnés en centaines de pieds au-dessus du niveau de la mer dans l’atmosphère normalisée : FL180 (Flight Level 180) = 18 000 ft (18 000 pieds).

En nautisme, le pied anglais est l'unité officielle pour désigner la jauge des bateaux.

Au cinéma, les objectifs professionnels des caméras sont généralement gradués en pieds, même dans les pays ou le système métrique est le système légal.

Le pied français est omniprésent dans les monuments de ce pays avec, pour ne citer que les plus prestigieux, les dimensions des galeries du Louvre servant de référence pour déterminer la toise (voir La toise de l'Écritoire) ou encore les 6 000 pieds (ou 1 000 toises) de la Grande Terrasse de Saint-Germain sans compter les façades de 100 pieds de la plupart des beaux hôtels particuliers de l'Ancien Régime. Il est également encore en usage, bien que souvent masqué, pour les dimensions des produits et matériaux artisanaux. On le retrouve ainsi dans les formats de papier à dessin mixant curieusement mètres et pieds (format demi-raisin 32,5 par 50 cm et raisin 65 cm par 50 cm). Il persiste enfin dans la législation avec des servitudes de marchepied ou de halage de 3,25 et 9,75 mètres, correspondant à des largeurs de 10 et 30 pieds (article L2131-2 du Code général de la propriété des personnes publiques). Comme le mettent en évidence ces exemples, sa valeur doit alors être évaluée à 32,5 ou plus précisément 32,48 cm (voir supra Le pied entre 1668 et 1799).

Dans le lexique de l'orgue, le pied acoustique mesure actuellement 324 mm et un tuyau cylindrique d'un pied à bouche et à biseau, ouvert à l'autre extrémité, doit donner la note do4, soit 523,251 Hz à vingt degrés.

Tableau synoptique triable[modifier | modifier le code]

Pour les valeurs des pieds dit « à main », voir l'article détaillé : Pes manualis.

    Nom du pied                   Noms alias ou remarques                 Lissité   Valeur, mm Écart légal * Ref.
1
  Pied de tenue chypriote pygme ionien
3
  335,9232 - 0,0069 %   
[20]
2
  Pied tyrolien pied à main du pied espagnol
7
  334,430208 - 0,0996 %   
[21]
3
  Pied Drusien pygme romain
7
  333,396 - 0,0288 %   
[22]
4
  Pied de Bourgogne pied à main carolingien (comma)
7
  330,6744 0,0108 %   
[23]
5
  Pied dorien-pheidonique ancien pied de roi,  avant 1668
7
  326,592 0,0012 %   
[10]
6
  Pied de roi(1668) le néo-romain soit son pied marchand (comma)
11 
  324,84375 - 0,0013 %   
[11]
7
  Pied de Fribourg-en-Brisgau officiellement, trois-lisse, soit 324 mm (comma)
7
  324,135 - 0,0416 %   
[24]
8
  Pied byzantin
11 
  320,76 - 0,0966 %   
[25]
9
  Pied d'Abydos
7
  318,9375 0,0143 %   
[26]
10
  Pied philétaire pied de l'Isère dit de mandement
7
  317,52 0,0554 %   
[27]
11
  Pied autrichien pied grec antique commun
7
  316,1088 - 0,0089 %   
[18]
12
  Pied carolingien rhénan , de Berlin et basique de Seine
7
  313,52832 0,1036 %   
[19]
13
  Pied attique-olympique pied des Sept Places fortifiées
7
  311,1696 - 0,0470 %   
[28]
14
  Pied cyrénéen pied de la perche de Bourgogne
7
  308,7 - 0,0332 %   
[29]
15
  Pied anglais pied antique syrien
7
  304,8192 - 0,0063 %   
[30]
16
  Pied de Nuremberg pied de la canne de Villemur
7
  303,75 - 0,0010 %   
[31]
17
  Pied égyptien
7
  302,4 - 0,0772 %   
[32]
18
  Pied de Zurich
7
  301,056 0,1073 %   
[33]
19
  Pied égyptien ancien pied marchand ancien de roi
11 
  299,376 - 0,0092 %   
[34]
20
  Pied ionien pied de Saint-Étienne de Vienne
3
  298,5984 0,0229 %   
[35]
21
  Pied néo-romain  (héraïon) pied marchand de roi (comma)
7
  297,675 0,0317 %   
[36]
22
  Pied suédois pied de Guyenne
11
  297,12375 - 0,0733 %   
[37]
23
  Pied romain  (pes monetalis) pied d'Augsbourg(fondée sous Auguste)
7
  296,352 0,0094 %   
[7]
24
  Pied romain de Hultsch pied de la canne des bastides
11 
  295,612416  
25
  Pied attique-solonique
7
  293,9328 - 0,0193 %   
[38]
26
  Pied de Bavière
7
  291,7215 0,0472 %   
[39]
27
  Pied d'Aschaffenbourg pied basique lombard de Milan
7
  290,304 0,0675 %   
[40]
28
  Pied de Brême pied de Strasbourg
7
  289,40625 - 0,0177 %   
[41]
29
  Pied de Spire pied du ci-devant duché de Guise
11 
  288,75
30
  Pied polonais
7
  288,12 - 0,0416 %   
[15]
31
  Pied de Darmstadt
11 
  287,40096 - 0,0668 %   
[42]
32
  Pied espagnol
7
  278,69184 - 0,0204 %   
[43]
33
  Pied sumérien de Nippur
7
  276,5952 - 0,0224 %   
[1]
34
  Pied osque de Hygin
7
  275,625
35
  Pied italique
7
  264,6 - 0,0189 %   
[44]
    Col. réf. en cours.  France, cf. Rapport     Écart moyen : - 0,0083 %    

* L'écart légal du dernier pays ayant utilisé ce pied, ou si aucune valeur légale n'est disponible,
l'écart relatif à la valeur lisse est calculé avec une valeur attestée, scientifiquement déterminée.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a, b et c Dessin et valeurs de la coudée de Nippour, sur FlorenceTime.net La coudée de Nippur mesure  518,5 mm  ± 0,2 %, soit  ± 1,0 mm. C'est la valeur utilisée par Lelgemann, cf. PDF.  Le pied sumérien de Nippur vaut donc  276,533 millimètres  ± 0,2 %, soit  ± 0,553 mm.
  2. Au troisième millénaire av. J.C., les géomètres égyptiens se contentèrent de l'approximation :  √2 ≈ 28 ÷ 20, cf. le remen de construction. Ultérieurement, l'approximation fut affinée de beaucoup par :  √2 ≈ 99 ÷ 70 ;  utilisée pendant longtemps dans la triangulation rationnelle du carré selon les arpenteurs.
  3. Luca Samuele Cagnazzi  Su i valori delle misure e dei pesi degli antichi Romani…  Éditeur Angelo Trani, 1825.
  4. Ferdinand Rey, Étude sur une mesure découverte aux environs de Mirabeau-sur-Bèze, 1898 Éditeur :  C. Klincksieck, Paris, 1903.
  5. Adolphe Dureau de La Malle, Économie politique des Romains, tome Ier Hachette, 1840. (L'OCR de Google books lut : M CCCC XI au lieu de, correctement, M CCCC XL.)
  6. Augsbourg, comme son nom l'indique, est une ville fondée sous Auguste. Le pied romain conservé à Augsbourg mesure 296,168 millimètres. Cf. Martini, Angelo, Manuale di metrologia, Torino, Loescher, 1883. Page 47. Martini la nomme, bien sûr, par son nom italien : Augusta (Germania).
  7. a et b La Bohême, avec sa capitale Prague, fut le dernier pays à abolir le pied romain. À la date de l'adoption définitive du système métrique au 1er janvier 1876, elle fit partie de l'Autriche-Hongrie. Son pied mesura 296,380 mm, cf. Martini, Angelo, Manuale di metrologia, Torino, Loescher, 1883. Page 557
  8. Marcel Pacaut, Les ordres religieux au Moyen Âge, Nathan, 1970, p. 74
  9. a, b, c et d Recovery of the Ancient System Foot/Cubit/Stadion 1984, de Dieter Lelgemann,  ancien Directeur de l'Institut de Géodésie à l'Université technique de Berlin.
  10. a et b La valeur du pied ancien de roi, d'avant 1668, est généralement donnée par 326,596 mm. Cf. Paul Guilhiermoz, De l'équivalence des anciennes mesures. Bibliothèque de l'école des chartes, 1913. Page 277. Le pied ancien de roi égale le pied dorien-pheidonique de l'Antiquité.
  11. a et b Par la loi du 19 frimaire an VIII (10 décembre 1799), le mètre définitif fut fixé à « une longueur de 3 pieds 11,296 lignes de la Toise de l'Académie ». Cf. Un historique du mètre, par Denis Février sur www.industrie.gouv.fr. D'où :  Le pied de roi égale 9000 / 27,706 mm.
  12. Loi sur les poids et mesures, L.R. 1985, ch. W-6
  13. Département de mathématiques de l'UQAM[PDF]
  14. Taux de conversion du U.S. Survey foot adopté en 1866 :  (Kasson) Metric Act, Public Law 39-183.
  15. a, b et c Le pied polonais fut fixé légalement au 13 juin 1818 ; mesurant exactement 288 mm.  Cf. Martini, Angelo, Manuale di metrologia, Torino, Loescher, 1883. Page 813.  Sa valeur sept-lisse est obtenue par le comma métrologique 2401 : 2400, soit plus 0,0417 %.
  16. a et b Le nom du pied « anglais » est pris ici dans son sens général, pour la mesure générique. Ainsi, ces tableaux s'affranchissent de sa valeur légale de 1959. La valeur sept-lisse utilisée élimine l'encombrant facteur premier 127 par un comma de juste 127 008 : 127 000. Soit seulement un 15 875 e en plus, égale + 0,0063 %.
  17. Notamment :  Hultsch, Friedrich Otto, (1833-1906) Griechische und römische Metrologie, Éditions Weidmann, Berlin, 1882
  18. a et b La loi métrologique autrichienne du 23 juillet 1871, entrant en vigueur, de manière obligatoire, au 1er janvier 1876, fixa sa toise à 1,896 483 84 m exactement, donc le pied à 316,080 64 mm. Cf. Reichsgesetzblatt 16, Artikel IV, Seite 30, sur le site de la Bibliothèque Nationale d'Autriche.
  19. a et b Le pied carolingien fut utilisé largement dans les pays rhénans. À partir du XVIIe s., la Prusse s'établit en Rhénanie, d'abord au Duché de Clèves. En 1755 la Prusse changea, pour la troisième fois depuis 1233, sa mesure, pour, cette fois-ci, adopter le pied rhénan. Sa valeur de Berlin égale 313,853 mm. Cf. Martini, Page 74.
  20. Le pied-pygme ionien fut utilisé à Chypre jusqu'en 1878. Leur coudée de tenue, nommée pik ou draa, fut composée de deux de ces pieds. La valeur du pied est donc de  (671,800 ÷ 2 =)  335,900 millimètres.  Cf. Martini, Angelo, Manuale di metrologia, Torino, Loescher, 1883. Page 412.
  21. Le pied tyrolien fut déterminé à Innsbruck valant 334,097 millimètres.  Cf. Martini, Angelo, Manuale di metrologia, Torino, Loescher, 1883. Page 259.
  22. Le pied-pygme romain (ou pied Drusien) est attesté au Duché de Luxembourg. Le pied luxembourgeois mesura 333,300 millimètres.  Cf. Harald Witthöft, Handbuch der Historischen Metrologie. Deutsche Masse und Gewichte..., St. Katharinen, Éditeur : Scripta Mercaturae Verlag, 1994.
  23. Les rapporteurs de la République déterminèrent le pied de Bourgogne du département Doubs étant égale à 330,71 millimètres.  Cf. Tables des rapports des anciennes mesures agraires avec les nouvelles, Par François Gattey, 1812.
  24. La coudée de la Cathédrale Notre-Dame de Fribourg (constr. 1120-1513) fut déterminée à 540,0 mm. Cf. Adolf Wangart, Das Freiburger Münster im Rechten Maß, Hrsg. Münsterbauverein, Verlag Karl Schillinger, Freiburg 1972. Elle fut divisée en vingt pouces. Le pied de Fribourg égale donc 324,0 mm.
  25. Le pied byzantin est identique au pied du stade d'Olympie. Ce dernier fut mesuré par le géodésien Lelgemann, TU Berlin lors d'une excursion d'étudiants en mai 2004. Cf. PDF. Il mesure 192,27 mètres de longueur. Le pied du stade d'Olympie égale donc 320,45 mm, soit la six-centième part du stade.
  26. Le pied d'Abydos fut utilisé également à Priène en Grèce. En mai 2004, Lelgemann et ses étudiants en excursion, (cf. PDF) mesurèrent aussi le stade de Priène. Il mesure 191,39 mètres, soit un pied de 318,983 mm.
  27. Le pied philétaire fut conservé à Berne en tant que pied d’œuvre, Steinbrecherfuss. Sa toise fut déterminée mesurant 845 lignes de Paris, soit un pied de 317,696 mm. Cf. Noback, Vollständiges Taschenbuch der Münz-, Maass- und Gewichts-Verhältnisse, Brockhaus, 1851.
  28. Le pied attique-olympique fut utilisée dans la Principauté de Transylvanie et en Bucovine. La coudée de Siebenbürgen, composée de deux pieds, valut  quatre cinquièmes  de la coudée autrichienne.  Ce pied mesura donc  (777,558 ÷ 10 × 4 =)  311,0232 millimètres.
  29. Le Parthénon à Athènes mesure 100 pieds cyrénéens de largeur et 225 de longueur. Selon l'ingénieur des ponts et chaussées Foucherot  (1776-1813), sa largeur mesure exactement quatre-vingt-quinze pieds de roi, soit 30,85974 mètres (Essai sur les systèmes métriques et monétaires des anciens peuples depuis les premiers temps historiques jusqu'à la fin du khalifat d'Orient, tome 1, Vicente Vazquez Queipo, sur Google Books). Le pied cyrénéen du Parthénon égale donc 308,5974 mm.
  30. L'accord international de 1959, fixa le yard à 0,9144 mètre exactement. Depuis, le pied anglo-saxon mesure 304,8 mm. Auparavant, les définitions concrètes divergèrent dans les différent pays anglo-saxons, les valeurs furent presque identique. Cf. US : Federal Register, July 1, 1959 & GB : Public General Acts and Measures, 1963.
  31. Le pied de Nuremberg mesura 303,747 millimètres.  Cf. Harald Witthöft, Handbuch der Historischen Metrologie. Deutsche Masse und Gewichte..., St. Katharinen, Éditeur : Scripta Mercaturae Verlag, 1994.
  32. Le pied égyptien fut utilisé au stade d'Épidaure au Péloponnèse. Le géodésien Lelgemann de la TU Berlin et ses étudiants (cf. PDF) le mesurèrent à 181,30 mètres, soit un pied de 302  1/6 millimètres.
  33. Le pied de Zurich mesure 301,379 millimètres, cf. Martini, Angelo, Manuale di metrologia, Torino, Loescher, 1883. Page 842.
  34. La canne de Toulouse mesura 796,2 lignes de Paris, soit 1796,1 millimètres. Cf. Guilhiermoz Un sixième de la canne de Toulouse correspond au pied égyptien ancien soit 299,3485 mm.  En Égypte, celui même fut d'ailleurs, selon Flinders Petrie :  ((20,62 ÷ 28) × 16 ≅)  11,783 inches, soit environ 299,28 mm.
  35. La verge du pied ionien est attestée à la Cathédrale Saint-Étienne de Vienne. Franz Twaroch, ingénieur autrichien diplômé par l'État, la détermina à 896,0 mm. Cf. Dipl.-Ing. Franz Twaroch, Vienne : "Die Maßstäbe am Wiener Stephansdom" in Wiener Geschichtsblätter 57/2002. Le pied ionien de Vienne mesure donc 298 ⅔ mm.
  36. On utilisa, traditionnellement, un pied dit marchand, défini onze douzièmes d'un autre pied. Originairement, il fut un pied de calcul des arpenteurs. En province, on l'utilisa fréquemment en tant que pied normal, divisé en douze pouces. Sa valeur entre 1668 et 1793 était de (9000 ÷ 27,706) × (11 ÷ 12) ≅ 297,769436 mm.
  37. Le pied suédois mesura 296,9060 millimètres.  Cf. Martini, Angelo, Manuale di metrologia, Torino, Loescher, 1883. Page 752.
  38. Le pied attique-solonique fut déterminé par Büsing mesurant 293,8760 mm. Par le ratio 10 : 9 avec ce dernier, il donne la valeur du pied dorien-pheidonique avec juste 326,5289 mm. Cf. Herrmann Büsing, Metrologische Beiträge, Walter de Gruyter, Berlin 1982, page 25.
  39. Le pied bavarois mesure 291,859206 millimètres, par la loi bavaroise du 29 avril 1869, obligatoirement effective, à partir du 1er janvier 1872. Martini, Angelo, Manuale di metrologia, Torino, Loescher, 1883. Page 321 coupe après la sixième décimale.
  40. En 1810, le pied d'Aschaffenbourg fut déterminé à 290,500 mm.  Cf. Harald Witthöft, Handbuch der Historischen Metrologie. Deutsche Masse und Gewichte..., St. Katharinen, Éditeur : Scripta Mercaturae Verlag, 1994.  À Miltenberg qui appartint, comme Aschaffenbourg, à Électorat de Mayence jusqu'en 1803, il mesura 290,192 mm.
  41. Le pied de Brême mesura 289,355 millimètres.  Cf. Harald Witthöft, Handbuch der Historischen Metrologie. Deutsche Masse und Gewichte..., St. Katharinen, Éditeur : Scripta Mercaturae Verlag, 1994.
  42. Le pied de Darmstadt mesura 287,593 millimètres.  Cf. Harald Witthöft, Handbuch der Historischen Metrologie. Deutsche Masse und Gewichte..., St. Katharinen, Éditeur : Scripta Mercaturae Verlag, 1994.
  43. Le pied espagnol mesure 278,625 mm, car l'étalon espagnol, la « verge de Burgos » (vara de Burgos) fut fixé à  835,905 mm. Cf. Martini, Angelo, Manuale di metrologia, Torino, Loescher, 1883. Page 321.
  44. Le pied italique mesure 264,55 millimètres. Cf. Lelgemann PDF.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]