Perche (unité)

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La perche est une ancienne mesure de longueur, généralement de dix à vingt-deux pieds, ou de superficie ; dans ce cas, il s'agit d'une perche carrée, le mot « carrée » étant souvent sous-entendu.

La perche fut la mesure principale des arpenteurs. Afin de pouvoir effectuer la triangulation rationnelle du carré, ces derniers préférèrent bien souvent une perche comportant délibérément le facteur premier onze.

Valeurs des mesures[modifier | modifier le code]

Longueurs[modifier | modifier le code]

Photographie de l'étalon d'une demi-perche prussienne.
Étalon d'une demi-perche prussienne de six pieds.
  • La perche romaine , ou pertica, valait 10 pieds, soit environ 3 mètres (2 963,52 mm exactement).
  • La perche allemande pouvait valoir 12 ou 16 pieds, soit environ 3,6 ou 4,8 mètres.
  • La perche anglo-saxonne vaut 16½ pieds (= 5½ verges ou yards), soit environ 5 mètres.

En France :

  • la perche du Roi de France valait 18 pieds, soit plus de 5,8 mètres ;
  • la perche ordinaire valait 20 pieds, soit environ 6,5 mètres ;
  • la perche d'arpent (ou « des eaux et forêts ») valait 22 pieds, soit plus de 7,1 mètres.

Surfaces[modifier | modifier le code]

  • La perche carrée du Roi valait 18 pieds de côté (= 324 pieds carrés), soit environ 34,2 mètres carrés.
  • La perche carrée ordinaire valait 20 pieds de côté (= 400 pieds carrés), soit environ 42,2 mètres carrés.
  • La perche carrée d'arpent (dite « des eaux et forêts ») valait 22 pieds de côté (= 484 pieds carrés), soit la moitié d'un are (cent perches carrées, c'est un arpent carré ou un acre), soit environ 51,1 mètres carrés ; cette perche était celle des arpenteurs.
  • En pays rémois 1 jour = 4 perches = 16 hommées = 160 verges = 3 200 pieds = 50,724 ares[1]

La triangulation rationnelle du carré[modifier | modifier le code]

Schéma décrivant l'approximation trigonométrique pour déterminer la valeur de la diagonale d'un carré.
Triangulation rationnelle du carré par l'approximation trigonométrique : la racine carrée de deux est égale à 99 ÷ 70 ; l'erreur assumée de 0,0051 %.

On sait depuis les pythagoriciens que la valeur de racine carrée de deux est un nombre irrationnel. Cependant, dès la plus Haute-Antiquité les mathématiciens, les géomètres et les arpenteurs cherchèrent une approximation à la diagonale du carré ; ils s'approchèrent donc au nombre irrationnel d'une manière comparable à nos jours où nous exprimons une valeur arrondie par 1 + 4142/10000 ou 1 + 414213562/109.

Déjà au premier tiers du IIe millénaire av. J.-C. (-1700 ± 100) les Babyloniens connaissaient la valeur 1 + 24 × 60−1 + 51 × 60−2 + 10 × 60−3 = 30547 ÷ 21600 = 1,41421296 (cf. tablette YBC 7289). Puisque √2 ÷ (30547 ÷ 21600) ≈ 1, 000 000 424 ; il s'ensuit que la précision du calcul de la racine carrée de deux par les Babyloniens est donc supérieure à un demi-millionième, soit de six décimales. Les Babyloniens attribuèrent donc à l'hypoténuse de leur coudée de Nippur exactement 42,42638 doigts, comme un autre nombre inscrit sur la tablette l'indique, (vs. réellement environ 42,426407 doigts). En millimètres et en partant de la valeur sept-lisse de leur coudée, son hypoténuse soit (518,616 × (30547 ÷ 21600) =) 733,43347 mm exactement, contre quelque 733,4337808637 mm réellement. En clair, il y a près de quatre mille ans, les Babyloniens sous-évaluèrent les diagonales de leur coudée carrée de moins de 310,864 nanomètres, seulement.

Les arpenteurs avaient besoin de précision : une bonne lissité fut plus importante pour leur calculs qu'une précision absolue. Le nombre ci-haut 30547, facteur de l'excellente approximation babylonienne, égale 11 fois 2777, donc un nombre 2777-lisse, est malheureusement d'une très mauvaise lissité.

Tôt, plusieurs approximations bien lisses de racine carrée de deux furent évaluées par les arpenteurs (cf. méthodes d'approximation de racine carrée de deux).

Fraction Lissité factorielle Erreur relative Attestation de l'emploi des différentes approximations de la racine carrée de deux Ratio arrondi (précision)
3 ÷ 2 Trois-lisse + 6,0660 % Jamais employé, car trop imprécis pour tous les besoins pratiques. 3600
7 ÷ 5 Sept-lisse – 1,0051 % En Égypte antique au début du IIIe millénaire av. J.-C., cf. Remen de construction. 600
17 ÷ 12 Dix-sept-lisse – 0,1735 % Jamais employé. Facteur premier relativement élevé, beaucoup moins précis que 99:70. 100
99 ÷ 70 Onze-lisse + 0,0051 % Souvent employé par les arpenteurs jusqu'à la veille de l'époque contemporaine. 3

Les autres approximations connues, telles que 41 ÷ 29, 239 ÷ 169, 577 ÷ 408, impliquent des facteurs premiers élevés. L'approximation 99 ÷ 70 reste satisfaisante. Exemple : en supposant que les cathètes d'un demi-carré mesurent exactement 99 cm, l'hypoténuse ne dépasse la longueur de 140 cm que de 71,427 µm.

Les perches onze-lisses[modifier | modifier le code]

Lorsque le mathématicien Théon de Smyrne théorisa les méthodes numériques d'approximation de racine carrée de deux, la très satisfaisante approximation onze-lisse 99 ÷ 70 était déjà connue et pratiquée depuis des siècles, voire des millénaires. Elle continua à être employé jusqu'à la veille de l'époque contemporaine.

Parmi les dizaines d'exemples de perches et de mesures de longueur onze-lisses, les deux exemples les plus éminents sont sans doute :

  • la perche anglaise de (2 × 99 =) 198 pouces anglais, soit 5½ verges égalent 16½ pieds ou 5,0292 mètres ;
  • la perche française des arpenteurs de 22 pieds de roi, soit (22 × 9000 ÷ 27,706 mm) environ 7,1465 mètres.

Le facteur onze, inscrit dans la définition de ces deux perches même, les rendirent apte, afin de pouvoir profiter de la triangulation rationnelle du carré, via la bonne approximation √2 ≈ 99 ÷ 70.

La dérivation des mesures[modifier | modifier le code]

La triangulation rationnelle du carré joua aussi un rôle prépondérant dans la dérivation des mesures les unes des autres. Le champ anglais de référence, la labourée de bœufs (ou oxgang) est directement déduit des unités de mesure romaines de superficie.

La perche anglaise est ainsi également en rapport direct avec le pied romain : ((12 × 296⅓) ÷ 70) × 99 = 5029,2 millimètres.

Schéma des rapports entre l'aune romaine et la perche anglaise.
Représentation des ratios entre l'aune romaine et la perche anglaise.

Similairement, un demi-carré de cinq pieds rhénans et demi d'hypoténuse mesure quatre pieds anglais de cathètes et engendre en même temps le doigt du pied espagnol.

Références[modifier | modifier le code]

  1. Cartulaire D du chapitre de Notre-Dame, f° 136, v° 155 de 1448.

Voir aussi[modifier | modifier le code]