Nombre décimal
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Un nombre décimal est un nombre possédant un développement décimal limité et pouvant s'écrire sous la forme 
(où a et p sont des entiers relatifs). Ce n'est pas le cas, par exemple, du nombre 
qui possède cependant autant d'approximations décimales que l'on veut : 
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[modifier] Caractérisation
Les propriétés suivantes sont équivalentes et caractérisent le fait qu'un nombre rationnel a est décimal :
- a admet un développement décimal limité (c'est-à-dire avec un nombre fini de chiffres différents de 0).
- Il existe
et 
tels que : 
. - La fraction irréductible de a est de la forme
, où b est un entier relatif et m et p des entiers naturels. - a possède deux développements décimaux distincts.
[modifier] Remarques
- Le première assertion prouve que 1,6666 est un nombre décimal et que 1,6666... (qui s'écrirait avec une infinité de 6) n'en est pas un.
- La deuxième assertion nous dit que
est un nombre décimal, mais elle ne peut pas être utilisée pour prouver qu'un nombre n'est pas décimal. - La troisième assertion nous donne une méthode pour reconnaître si un nombre rationnel est décimal : il suffit de déterminer sa fraction irréductible (par exemple en calculant le PGCD de son numérateur et de son dénominateur), puis de tester si le dénominateur est uniquement divisible par 2 et 5.
- La quatrième assertion fait souvent figure de « curiosité ». Le nombre 2,5 peut aussi être écrit 2,4999... (avec une infinité de 9). Pour des détails, voir l'article Développement décimal de l'unité.
[modifier] Structure algébrique
L'ensemble des décimaux est souvent noté 
. 
est un anneau intègre commutatif. Son corps des fractions étant 
.
[modifier] Topologie
est dense dans 
. Autrement dit, tout nombre réel est la limite d'une suite de nombres décimaux. Ce théorème est fréquemment utilisé lors de la recherche de valeurs approchées.
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