Théorème des nombres premiers

En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, le théorème des nombres premiers est un résultat concernant la distribution asymptotique des nombres premiers.

Énoncé du théorème

En définissant, pour tout réel positif x, le nombre π(x) comme le nombre de nombres premiers inférieurs à x, le théorème des nombres premiers s'énonce de la façon suivante :

Théorème des nombres premiers —  Lorsque $x \rightarrow +\infty$, on a : $\pi(x)\sim\frac{x}{\ln(x)}$
c'est-à-dire que : $\lim_{x\to+\infty}\pi(x)\frac{\ln(x)}{x}=1$

Notes :

• $\ln(x)$ désigne le logarithme népérien de $x$ ;
• Pour la signification du signe $\sim$ ci-dessus, et de la fonction $O$ dans la section « Histoire » ci-dessous, voir l'article sur les notations de Landau.

Approximations asymptotiques

Le théorème des nombres premiers permet d'obtenir une formule qui donne le comportement asymptotique du nième nombre premier p(n) :

$p(n)\sim n\ln(n)$

Une bonne approximation de la quantité n = π(x) de nombres premiers inférieurs à x est donnée par :

$\pi(x) \sim {\rm li}(x) ,$

Une meilleure approximation en est donnée par :

$\pi(x) \sim {\rm Li}(x)$

où :

• ${\rm li}(x)=\int_{0}^{x} \frac{\mathrm dt}{\ln (t)}$ est la fonction logarithme intégral.
• $\mathrm{Li}(x) = \mathrm{li}(x) - \mathrm{li}(2)=\int_{2}^{x} \frac{\mathrm dt}{\ln (t)}$ est la fonction d'écart logarithmique intégrale.

• ${\rm ln}(t)$ est la fonction logarithme népérien.

Voir les sections Histoire et Exemples d'estimations numériques ci-dessous pour les meilleures estimations connues.

Exemples d'estimations numériques

Le tableau suivant illustre les écarts entre $\pi(x)$ et ses approximations, $\frac{x}{\ln(x)}$ et ${\rm li}(x)$.

Dans la littérature scientifique, notamment anglo-saxonne, la fonction logarithme intégral ${\rm li} (x)$ est parfois noté ${\rm Li}(x)$ avec une majuscule, alors que cette dernière notation désigne plutôt la fonction d'écart logarithmique intégrale. En cas de doute, il suffit de de souvenir que ${\rm Li}(2)=0$ alors que ${\rm li}(2)=1,045 ...$

Les quatrièmes et sixièmes colonnes du tableau ci-dessous permettent d'apprécier la précision croissante des approximations asymptotiques.

Contrairement à ce que peut laisser penser la cinquième colonne de ce même tableau, ${\rm li}(x)$ n'est pas toujours supérieur à $\pi(x)$. Le mathématicien anglais John Littlewood a démontré, dès 1914, qu'il y avait des x pour lesquels cette inégalité était inversée.

x	π(x)	π(x) - x / ln(x)	π(x) / ( x / ln(x) )	li(x) - π(x)	li(x) / π(x)	x / π(x)
100=1	0, car 1 n'est pas premier	non défini, car ln(1)=0	non défini car ln(1)=0	- l'infini	non défini	non défini
2.100=2	1 (le premier « 2 » )	-2	0,347	0	0	2,000
4.100=4	2 (les premiers « 2 » et « 3 » )	-1	0,693	1	1,500 000 000 000	2,000
101	4	-0	0,921	2	1,500 000 000 000	2,500
102	25	3	1,151	5	1,200 000 000 000	4,000
103	168	23	1,161	10	1,059 523 809 524	5,952
104	1 229	143	1,132	17	1,013 832 384 052	8,137
105	9 592	906	1,104	38	1,003 961 634 696	10,430
106	78 498	6 116	1,084	130	1,001 656 093 149	12,740
107	664 579	44 159	1,071	339	1,000 510 097 370	15,050
108	5 761 455	332 774	1,061	754	1,000 130 869 720	17,360
109	50 847 534	2 592 592	1,054	1 701	1,000 033 452 950	19,670
1010	455 052 511	20 758 029	1,048	3 104	1,000 006 821 191	21,980
1011	4 118 054 813	169 923 159	1,043	11 588	1,000 002 813 950	24,280
1012	37 607 912 018	1 416 705 193	1,039	38 263	1,000 001 017 419	26,590
1013	346 065 536 839	11 992 858 452	1,034	108 971	1,000 000 314 885	28,900
1014	3 204 941 750 802	102 838 308 636	1,033	314 890	1,000 000 098 251	31,200
1015	29 844 570 422 669	891 604 962 452	1,031	1 052 619	1,000 000 035 270	33,510
1016	279 238 341 033 925	7 804 289 844 392	1,029	3 214 632	1,000 000 011 512	35,810
4.1016	1 075 292 778 753 150	28 929 900 579 949	1,028	5 538 861	1,000 000 005 151	37,200
1017	2 623 557 157 654 233	68 883 734 693 281	1,027	7 956 589	1,000 000 003 033	38,116
1018	24 739 954 287 740 860	612 483 070 893 536	1,025	21 949 555	1,000 000 000 887	40,420
1019	234 057 667 276 344 607	5 481 624 169 369 960	1,024	99 877 775	1,000 000 000 427	42,725
1020	2 220 819 602 560 918 840	49 347 193 044 659 701	1,023	222 744 644	1,000 000 000 100	45,028
1021	21 127 269 486 018 731 928	446 579 871 578 168 707	1,022	597 394 254	1,000 000 000 028	47,332
1022	201 467 286 689 315 906 290	4 060 704 006 019 620 994	1,021	1 932 355 208	1,000 000 000 010	49,636
1023	1 925 320 391 606 803 968 923	37 083 513 766 578 631 309	1,020	7 250 186 216	1,000 000 000 004	51,939
OEIS	suite A006880 de l'OEIS	suite A057835 de l'OEIS		suite A057752 de l'OEIS

Notes (les indices « i » dans ces notes correspondent aux renvois « Ti » dans le tableau) :

Histoire

Le théorème des nombres premiers a été conjecturé dans la marge d'une table de logarithmes par Gauss en 1792 ou 1793 alors qu'il avait seulement 15 ou 16 ans (selon ses propres affirmations ultérieures) et par Adrien-Marie Legendre en l'An VI du calendrier républicain (soit en 1797 ou 1798), puis démontré indépendamment par Hadamard et de la Vallée Poussin en 1896 à l'aide de méthodes d'analyse complexe, en particulier la fonction ζ de Riemann.

À cause de la relation entre la fonction ζ de Riemann et π(x), l'hypothèse de Riemann a une importance considérable en théorie des nombres : si elle était démontrée, cela produirait de loin une bien meilleure estimation de l'erreur intervenant dans le théorème des nombres premiers.

Helge von Koch en 1901 a montré plus précisément que l'hypothèse de Riemann était équivalente à l'assertion

$\pi(x) = {\rm Li} (x) + O\left(\sqrt x \ln (x)\right).$

On est encore loin d'un tel terme d'erreur. En revanche, on sait que toute amélioration de la région sans zéro de la fonction $\zeta$ de Riemann améliore de facto le terme d'erreur du théorème des nombres premiers. La meilleure région sans zéro actuellement connue a été obtenue en 1958 par Korobov et Vinogradov [Cette région était un peu trop "optimiste", et n'a jamais été rigoureusement établie, ni par Vinogradov, ni par Korobov, ni par personne d'autre. Elle a été finalement remplacée par une région plus petite (mais établie par une preuve) par Hans-Egon Richert (en) en 1967]. La région de Richert implique le résultat suivant : lorsque $x \rightarrow \infty$, on a

$\pi(x) = {\rm Li(x)} + O \left ( x \exp \left \{-c (\ln x)^{3/5} (\ln \ln x)^{-1/5} \right \} \right ),$

où $c > 0$ est une constante absolue.

En ce qui concerne des majorations explicites, mentionnons les travaux de Rosser et Schoenfeld (1962, 1975, 1976), puis ceux de Dusart (1998). À l'aide d'ordinateurs de plus en plus puissants, ces chercheurs ont pu déterminer de plus en plus de zéros non triviaux de la fonction $\zeta$ sur la droite critique. Cette meilleure connaissance implique de bonnes estimations des fonctions usuelles de nombres premiers, avec ou sans l'hypothèse de Riemann. Ainsi, en 1976, Schoenfeld a-t-il pu établir que, si l'hypothèse de Riemann est vraie, alors on a, pour tout réel $x \geq 2657$ :

$\left | \pi(x) - {\rm Li(x)} \right | < \frac {1}{8 \pi} \sqrt {x} \ln x,$

alors que, sans condition, Dusart a démontré que, pour tout réel $x \geq 59$, on a :

$\left | \pi(x) - {\rm Li(x)} \right | < 2 K \frac {x}{(\ln x)^{3/4}} \exp \left ( - \sqrt { \frac {\ln x}{R}} \right ),$

où $R \approx 9,645908801...$ et $K \approx 0,2196$.

Un théorème analogue, dû à Weyl, existe pour les sommes des puissances des nombres premiers :

$\displaystyle \sum _{p}( p^{k}) \sim {\rm Li}(x^{k+1})$, pour tout k>0.

Ébauche de la preuve

On commence par écrire l'égalité entre le produit d'Euler et la factorisation de Weierstrass de la fonction zêta :

$\zeta(s) = \prod_{p\in\mathbb{P}} \ \frac{1}{1-p^{-s}} = \frac{e^{a+bs}}{s-1}\prod_{\rho\in Z} (1-\frac{s}{\rho})e^{\frac{s}{\rho}}$

avec s de partie réelle strictement supérieure à 1, $\mathbb{P}$ l'ensemble des nombres premiers (1 n'étant pas premier), Z l'ensemble des zéros (triviaux et non triviaux) de zêta et a, b des constantes. On prend ensuite la dérivée logarithmique :

$\frac{\zeta '(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{p\in\mathbb{P}}\frac{p^{-s}}{1-p^{-s}}\ln p = b-\frac{1}{s-1} +\sum_{\rho\in Z}\frac{s}{\rho(s-\rho)}$

Grâce à la série entière complexe $\frac{z}{1-z} = \sum_{n=1}^\infty z^n$ pour |z| < 1, il vient $\sum_{p\in\mathbb{P}}\frac{p^{-s}}{1-p^{-s}}\ln p = \sum_{p\in\mathbb{P},\; n\geq 1}p^{-ns}\ln p$. On voit également que $b+1 = \zeta '(0) / \zeta(0) = \ln 2\pi$, ce qui donne

$\sum_{p\in\mathbb{P},\; n\geq 1}p^{-ns}\ln p = -\ln 2\pi +\frac{s}{s-1} -\sum_{\rho\in Z}\frac{s}{\rho(s-\rho)}$

pour Re(s) > 1. On veut maintenant intégrer cette égalité contre la fonction x^s / s (avec x constante fixée). Le contour d'intégration est un rectangle de côté droit {Re(s) = σ} avec σ > 1 et qui s'étend à l'infini verticalement et à gauche. Après des calculs faisant appel au théorème des résidus, on obtient la célèbre formule explicite de Riemann, pour x > 0 non puissance d'un nombre premier :

$\sum_{p\in\mathbb{P}, \; m\geq 1, \; p^m < x} \ln p = x - \sum_\rho \frac{x^\rho}{\rho} - \ln 2\pi - \frac{1}{2}\ln (1-\frac{1}{x^2})$

avec cette fois ρ balayant seulement les zéros non triviaux de zêta (les triviaux ont été regroupés dans le dernier terme). À gauche on reconnaît la fonction de Tchebychev ψ(x), asymptotiquement équivalente à π(x) ln(x). Le théorème des nombres premiers est par conséquent presque démontré, puisqu'à droite on voit le terme x attendu. Le dernier point à montrer est que les autres termes de droite sont négligeables devant x, autrement dit qu'il n'y a pas de zéro ρ dont la partie réelle est 1. Ce point a été prouvé par Hadamard et De la Vallée Poussin.

Ce qu'il advint de la « profondeur »

Il est convenu de distinguer plusieurs types de démonstrations mathématiques, en fonction du degré de sophistication des théories mathématiques auxquelles on fait appel ; le théorème des nombres premiers fournit un prototype pour ce genre de considérations.

On a longtemps cru, au début du XX^e siècle, et notamment Godfrey Hardy, que toute démonstration du théorème des nombres premiers devait forcément faire appel à des théorèmes d'analyse complexe ; ce qui par ailleurs pouvait paraître frustrant pour un énoncé semblant porter essentiellement sur les nombres entiers (quoique nécessitant les nombres rationnels, voire les nombres réels pour pouvoir être énoncé). C'était donc un défi pour les mathématiciens d'essayer de trouver une démonstration élémentaire de ce théorème — élémentaire ne voulant pas dire simple, ni peu sophistiquée, mais seulement faisant le moins possible appel à des méthodes externes, à l'arithmétique dans notre cas — ou bien de comprendre précisément pourquoi certains énoncés ne sont accessibles qu'avec des méthodes plus évoluées que ce à quoi on pouvait s'attendre. Hardy parlait donc de « profondeur » des théorèmes et pensait que le théorème des nombres premiers faisait partie des énoncés dont la « profondeur » ne les rendait accessibles que par le biais de l'analyse complexe.

Une première brèche dans cette conception fut la découverte d'une démonstration basée seulement sur le théorème taubérien de Wiener ; mais il n'était pas clair qu'on ne puisse pas attribuer à ce théorème une « profondeur » équivalente aux théorèmes issus de l'analyse complexe.

Le débat fut tranché en 1949, quand Paul Erdős et Atle Selberg donnèrent chacun une démonstration indéniablement élémentaire du théorème des nombres premiers. Quelle que soit la valeur du concept de « profondeur », celle du théorème des nombres premiers n'exigeait pas d'analyse complexe. De manière plus générale, la découverte de ces démonstrations élémentaires provoqua un regain d'intérêt pour les méthodes de crible, qui trouvèrent ainsi toute leur place dans l'arithmétique.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Prime number theorem » (voir la liste des auteurs)

Articles connexes

• Logarithme intégral
• Constante de Legendre
• Théorème de la raréfaction des nombres premiers
• Nombre de Skewes
• Théorème de Landau sur les idéaux premiers (en)