Théorème des nombres premiers

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En mathématiques, et plus précisément en théorie analytique des nombres, le théorème des nombres premiers, démontré indépendamment par Hadamard et La Vallée Poussin en 1896, est un résultat concernant la distribution asymptotique des nombres premiers.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème des nombres premiers — Le nombre π(x) de nombres premiers inférieurs ou égaux à x est équivalent, lorsque le réel x tend vers +∞, au quotient de x par son logarithme népérien . Soit

\pi(x)\sim\frac{x}{\ln(x)}\ (x\to+\infty),

c'est-à-dire

\lim_{x\to+\infty}\pi(x)\frac{\ln(x)}{x}=1.

Approximations asymptotiques[modifier | modifier le code]

Le théorème des nombres premiers permet d'obtenir une formule qui donne le comportement asymptotique du ne nombre premier pn :

p_n\sim n\ln(n).

Un approximant de π(x) nettement meilleur que x/ln(x)[1] est la fonction logarithme intégral li(x) ou sa variante, la fonction d'écart logarithmique intégrale Li(x)[2] :

 \pi(x) \sim{\rm li}(x)\sim {\rm Li}(x)

{\rm li}(x)=\int_{0}^{x} \frac{\mathrm dt}{\ln (t)}\text{ et }\mathrm{Li}(x) = \mathrm{li}(x) - \mathrm{li}(2)=\int_{2}^{x} \frac{\mathrm dt}{\ln (t)}.

Voir les sections Exemples d'estimations numériques et Histoire ci-dessous pour des estimations de l'erreur de ces approximations.

Exemples d'estimations numériques[modifier | modifier le code]

Voici un tableau qui montre le comportement comparé de π(x) et ses approximations, x/ln(x) et li(x), et les écarts entre ces trois fonctions :

Les quatrième et sixième colonnes du tableau ci-dessous permettent d'apprécier la précision croissante des approximations asymptotiques.

Le Russe Pafnouti Tchebychev a établi en 1852 que si x est assez grand, π(x) est compris entre 0,921x/ln(x) et 1,106x/ln(x)[3].

Contrairement à ce que peut laisser penser la cinquième colonne de ce même tableau, li(x) n'est pas toujours supérieur à π(x). Le mathématicien anglais John Littlewood a démontré, dès 1914, qu'il y a des x pour lesquels cette inégalité est inversée[4],[5].

x[T 1] π(x) π(x) – x/ln(x)[T 2] π(x)/(x/ln(x))[T 3] li(x) – π(x)[T 4] li(x)/π(x)[T 5] x/π(x)[T 6]
100=1 0, car 1 n'est pas premier non défini, car ln(1) = 0 non défini car ln(1) = 0 – l'infini non défini non défini
2.100=2 1 (le premier « 2 » ) –2 0,347 0 0  2,000
4.100=4 2 (les premiers « 2 » et « 3 » ) –1 0,693 1 1,500 000 000 000  2,000
101 4 –0 0,921 2 1,500 000 000 000  2,500
102 25 3 1,151 5 1,200 000 000 000  4,000
103 168 23 1,161 10 1,059 523 809 524  5,952
104 1 229 143 1,132 17 1,013 832 384 052  8,137
105 9 592 906 1,104 38 1,003 961 634 696 10,430
106 78 498 6 116 1,084 130 1,001 656 093 149 12,740
107 664 579 44 159 1,071 339 1,000 510 097 370 15,050
108 5 761 455 332 774 1,061 754 1,000 130 869 720 17,360
109 50 847 534 2 592 592 1,054 1 701 1,000 033 452 950 19,670
1010 455 052 511 20 758 029 1,048 3 104 1,000 006 821 191 21,980
1011 4 118 054 813 169 923 159 1,043 11 588 1,000 002 813 950 24,280
1012 37 607 912 018 1 416 705 193 1,039 38 263 1,000 001 017 419 26,590
1013 346 065 536 839 11 992 858 452 1,034 108 971 1,000 000 314 885 28,900
1014 3 204 941 750 802 102 838 308 636 1,033 314 890 1,000 000 098 251 31,200
1015 29 844 570 422 669 891 604 962 452 1,031 1 052 619 1,000 000 035 270 33,510
1016 279 238 341 033 925 7 804 289 844 392 1,029 3 214 632 1,000 000 011 512 35,810
4.1016 1 075 292 778 753 150 28 929 900 579 949 1,028 5 538 861 1,000 000 005 151 37,200
1017 2 623 557 157 654 233 68 883 734 693 281 1,027 7 956 589 1,000 000 003 033 38,116
1018 24 739 954 287 740 860 612 483 070 893 536 1,025 21 949 555 1,000 000 000 887 40,420
1019 234 057 667 276 344 607 5 481 624 169 369 960 1,024 99 877 775 1,000 000 000 427 42,725
1020 2 220 819 602 560 918 840 49 347 193 044 659 701 1,023 222 744 644 1,000 000 000 100 45,028
1021 21 127 269 486 018 731 928 446 579 871 578 168 707 1,022 597 394 254 1,000 000 000 028 47,332
1022 201 467 286 689 315 906 290 4 060 704 006 019 620 994 1,021 1 932 355 208 1,000 000 000 010 49,636
1023 1 925 320 391 606 803 968 923 37 083 513 766 578 631 309 1,020 7 250 186 216 1,000 000 000 004 51,939
OEIS suite A006880 de l'OEIS suite A057835 de l'OEIS   suite A057752 de l'OEIS    

Notes (les indices « i » dans ces notes correspondent aux renvois « Ti » dans le tableau) :

  1. Dans le théorème des nombres premiers, « x » peut représenter un nombre réel positif ; cependant dans ce tableau, les exemples ont été choisis parmi les entiers pour simplifier l'illustration. La progression des exemples a été choisie exponentielle (à l'exception des 2e, 3e et 20e lignes) pour être adaptée à l'évolution logarithmique des nombres premiers.
  2. Le résultat de « π(x) - x/ln(x) » est arrondi à sa partie entière ; le signe « – » à la 2e ligne indique que le résultat est légèrement négatif (environ –0,3) avant arrondi à 0.
  3. Le calcul à 3 décimales « π(x)/(x/ln(x)) » a été réalisé avec une valeur décimale approchée de «  x/ln(x) » non présentée dans ce tableau et non pas à l'aide de la seconde colonne du tableau donnant la seule partie entière de « π(x) – x/ln(x) » donc de « x/ln(x) ».
  4. Le résultat « li(x) – π(x) » est arrondi à sa partie entière.
  5. Les valeurs approchées de « li(x)/π(x) » sont arrondies (et non tronquées) à la 12e décimale ; mais le calcul est fait avec la valeur de « li(x) » arrondie à sa partie entière, car issu de la colonne précédente. Pour un calcul plus précis, il faut utiliser des tables de « li(x) », sous forme imprimée telle que celle-ci, ou bien calculée en ligne telle que celle-là.
  6. Ce rapport « x/π(x) » mesure la dilution croissante des nombres premiers inférieurs à un nombre entier (ou réel) « x », lorsque ce nombre augmente.

Histoire[modifier | modifier le code]

Le théorème des nombres premiers a été conjecturé dans la marge d'une table de logarithmes par Gauss en 1792 ou 1793 alors qu'il avait seulement 15 ou 16 ans (selon ses propres affirmations ultérieures[6]) et par Adrien-Marie Legendre (ébauche en l'An VI du calendrier républicain, soit 1797-8, conjecture précise en 1808), puis démontré indépendamment par Hadamard et La Vallée Poussin en 1896 à l'aide de méthodes d'analyse complexe, utilisant en particulier la fonction ζ de Riemann.

En 1899, La Vallée Poussin a affiné son résultat en montrant que (avec la notation O de Landau)

\pi(x)={\rm li}(x)+O\left(x\exp\left(-\sqrt{\frac{\ln x}{2V}}\right)\right)

pour une certaine constante V. Landau (en 1909) puis bien d'autres ont travaillé à réduire la taille admissible de cette constante V , avec une méthode dans laquelle V mesure une propriété extrémale d'une certaine classe de polynômes trigonométriques[7],[8]. On sait que V = 34,5036 convient[9]. Le problème de la détermination avec cette méthode de la valeur V la plus petite possible est connu sous le nom de "Problème extrémal de Landau". C'est un sujet de recherche intéressant en soi, indépendamment de son application à l'estimation de La Vallée Poussin. Laquelle application est devenue d'ailleurs purement anecdotique depuis qu'on dispose de l'estimation de Vinogradov-Korobov-Richert (voir juste ci-dessous) qui est bien meilleure, et qui implique en particulier qu'on peut remplacer V par un nombre aussi petit qu'on veut dans celle de La Vallée Poussin.

À cause de la relation entre la fonction ζ et la fonction π, l'hypothèse de Riemann a une importance considérable en théorie des nombres : si elle était démontrée, cela produirait de loin une bien meilleure estimation de l'erreur intervenant dans le théorème des nombres premiers.

Helge von Koch en 1901 a montré plus précisément :

L'hypothèse de Riemann équivaut à  \pi(x) = {\rm li} (x) + O\left(\sqrt x \ln x\right).

On est encore loin d'un tel terme d'erreur. En revanche, on sait que toute amélioration de la région sans zéro de la fonction ζ améliore de facto le terme d'erreur du théorème des nombres premiers. La meilleure région sans zéro actuellement connue a été obtenue en 1958 par Korobov et Vinogradov [Cette région était un peu trop « optimiste » et n'a jamais été rigoureusement établie, ni par Vinogradov, ni par Korobov, ni par personne d'autre. Elle a été finalement remplacée par une région plus petite (mais établie par une preuve) par Hans-Egon Richert (en) en 1967]. La région de Richert implique le résultat suivant :

\pi(x) ={\rm li}(x)+ O \left ( x \exp \left(-c (\ln x)^{3/5} (\ln \ln x)^{-1/5} \right)\right ),

c > 0 est une constante absolue.

En ce qui concerne des majorations explicites, mentionnons les travaux de Rosser et Schoenfeld (en) (1962, 1975, 1976), puis ceux de Dusart (1998). À l'aide d'ordinateurs de plus en plus puissants, ces chercheurs ont pu déterminer de plus en plus de zéros non triviaux de la fonction ζ sur la droite critique. Cette meilleure connaissance implique de bonnes estimations des fonctions usuelles de nombres premiers, avec ou sans l'hypothèse de Riemann. Ainsi Schoenfeld[10] a-t-il pu établir :

si l'hypothèse de Riemann est vraie, alors \forall x\ge2657,\quad|\pi(x)-{\rm li}(x)|<\frac1{8\pi}\sqrt x\ln x

alors que, sans condition, Dusart a démontré que[11]

\forall x\ge59,\quad\left | \pi(x) - {\rm Li(x)} \right | < 2K\frac {x}{(\ln x)^{3/4}} \exp \left ( - \sqrt { \frac {\ln x}{R}} \right ),

R \approx 9,645908801\text{ et }K=\frac{\sqrt{8/(17\pi)}}{R^{1/4}}  \approx 0,2196.

En ce qui concerne les sommes des puissances des nombres premiers, une simple sommation d'Abel livre, à partir du théorème des nombres premiers,

\forall \alpha>-1,\quad\sum_{p<x}p^\alpha\sim\frac{x^{\alpha+1}}{(\alpha+1)\ln x}\sim{\rm li}(x^{\alpha+1}).

Le cas α=0 de cette équivalence est bien entendu le théorème des nombres premiers; le cas α=1 a été traité par Edmund Landau[12]en 1909. Le cas α=-1, pour lequel cette équivalence ne s'applique pas, est donné par le deuxième théorème de Mertens.

Ébauche de la preuve[modifier | modifier le code]

On commence par écrire l'égalité entre le produit d'Euler et la factorisation de Weierstrass de la fonction zêta :

 \zeta(s) = \prod_{p\in\mathbb{P}} \ \frac{1}{1-p^{-s}} = \frac{e^{a+bs}}{s-1}\prod_{\rho\in Z} \left(1-\frac{s}{\rho}\right)e^{\frac{s}{\rho}}

avec s de partie réelle strictement supérieure à 1, \mathbb{P} l'ensemble des nombres premiers (1 n'étant pas premier), Z l'ensemble des zéros (triviaux et non triviaux) de zêta et a, b des constantes. On prend ensuite la dérivée logarithmique :

 \frac{\zeta '(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{p\in\mathbb{P}}\frac{p^{-s}}{1-p^{-s}}\ln p = b-\frac{1}{s-1} +\sum_{\rho\in Z}\frac{s}{\rho(s-\rho)}

Grâce à la série entière complexe \frac{z}{1-z} = \sum_{n=1}^\infty z^n pour |z| < 1, il vient \sum_{p\in\mathbb{P}}\frac{p^{-s}}{1-p^{-s}}\ln p = \sum_{p\in\mathbb{P},\; n\geq 1}p^{-ns}\ln p . On voit également que b+1 = \zeta '(0) / \zeta(0) = \ln 2\pi, ce qui donne

 \sum_{p\in\mathbb{P},\; n\geq 1}p^{-ns}\ln p = -\ln 2\pi +\frac{s}{s-1} -\sum_{\rho\in Z}\frac{s}{\rho(s-\rho)}

pour Re(s) > 1. On veut maintenant intégrer cette égalité contre la fonction xs / s (avec x constante fixée). Le contour d'intégration est un rectangle de côté droit {Re(s) = σ} avec σ > 1 et qui s'étend à l'infini verticalement et à gauche. Après des calculs faisant appel au théorème des résidus, on obtient la célèbre formule explicite de Riemann, pour x > 0 non puissance d'un nombre premier :

 \sum_{p\in\mathbb{P}, \; m\geq 1, \; p^m < x} \ln p = x - \sum_\rho \frac{x^\rho}{\rho} - \ln 2\pi - \frac{1}{2}\ln \left(1-\frac{1}{x^2}\right)

avec cette fois ρ balayant seulement les zéros non triviaux de zêta (les triviaux ont été regroupés dans le dernier terme). À gauche on reconnaît la fonction de Tchebychev ψ(x), asymptotiquement équivalente à π(x) ln(x). Le théorème des nombres premiers est par conséquent presque démontré, puisqu'à droite on voit le terme x attendu. Le dernier point à montrer est que les autres termes de droite sont négligeables devant x, autrement dit qu'il n'y a pas de zéro ρ dont la partie réelle est 1. Ce point a été prouvé par Hadamard et La Vallée Poussin.

Ce qu'il advint de la « profondeur »[modifier | modifier le code]

Il est convenu de distinguer plusieurs types de démonstrations mathématiques, en fonction du degré de sophistication des théories mathématiques auxquelles on fait appel ; le théorème des nombres premiers fournit un prototype pour ce genre de considérations.

On a longtemps cru, au début du XXe siècle, et notamment Godfrey Hardy, que toute démonstration du théorème des nombres premiers devait forcément faire appel à des théorèmes d'analyse complexe ; ce qui par ailleurs pouvait paraître frustrant pour un énoncé semblant porter essentiellement sur les nombres entiers (quoique nécessitant les nombres rationnels, voire les nombres réels pour pouvoir être énoncé). C'était donc un défi pour les mathématiciens d'essayer de trouver une démonstration élémentaire de ce théorème — élémentaire ne voulant pas dire simple, ni peu sophistiquée, mais seulement faisant le moins possible appel à des méthodes externes, à l'arithmétique dans notre cas — ou bien de comprendre précisément pourquoi certains énoncés ne sont accessibles qu'avec des méthodes plus évoluées que ce à quoi on pouvait s'attendre. Hardy parlait donc de « profondeur » des théorèmes et pensait que le théorème des nombres premiers faisait partie des énoncés dont la « profondeur » ne les rendait accessibles que par le biais de l'analyse complexe.

Une première brèche dans cette conception fut la découverte d'une démonstration basée seulement sur le théorème taubérien de Wiener ; mais il n'était pas clair qu'on ne puisse pas attribuer à ce théorème une « profondeur » équivalente aux théorèmes issus de l'analyse complexe.

Le débat fut tranché en 1949, quand Paul Erdős et Atle Selberg donnèrent chacun une démonstration indéniablement élémentaire du théorème des nombres premiers. Quelle que soit la valeur du concept de « profondeur », celle du théorème des nombres premiers n'exigeait pas d'analyse complexe. De manière plus générale, la découverte de ces démonstrations élémentaires provoqua un regain d'intérêt pour les méthodes de crible, qui trouvèrent ainsi toute leur place dans l'arithmétique.

Approximations du n-ième nombre premier[modifier | modifier le code]

Le théorème des nombres premiers équivaut au fait que le n-ième nombre premier, noté pn, vérifie :

p_n \sim n \ln n (autrement dit, \lim_{n\to\infty}p_n /(n \ln n)=1 ).

Des résultats de La Vallée Poussin de 1899, on déduit des développements asymptotiques bien plus précis que cet équivalent. Par exemple (avec la notation o de Landau) :

\frac n{p_n}=\frac1{\ln p_n}+\frac1{(\ln p_n)^2}+\frac2{(\ln p_n)^3}+\frac6{(\ln p_n)^4}+o\left(\frac1{(\ln p_n)^4}\right),

qui permet de démontrer[13]

\frac{p_n}n=\ln n+\ln\ln n-1+\frac{\ln\ln n-2}{\ln n}-\frac{(\ln\ln n)^2-6\ln\ln n+11}{2(\ln n)^2}+o\left(\frac1{(\ln n)^2}\right).

Le théorème de Rosser montre que pn est supérieur à n ln n. On a pu préciser cette majoration[14], obtenant l'encadrement[15] : \ln n+\ln\ln n-1<\frac{p_n}n<\ln n+\ln\ln n\quad\text{pour } n \ge 6 et même[15], \frac{p_n}n<\ln n+\ln\ln n-0,948\quad\text{pour }n\ge40~000.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Prime number theorem » (voir la liste des auteurs)

  1. D'après l'estimation de 1899 de La Vallée Poussin, le développement asymptotique de li(x) vaut aussi pour π(x), à tout ordre. Or x/lnx n'en est que le premier terme.
  2. Dans la littérature scientifique, notamment anglo-saxonne, la fonction logarithme intégral li(x) est parfois notée Li(x) avec une majuscule, alors que cette dernière notation désigne plutôt la fonction d'écart logarithmique intégrale. En cas de doute, il suffit de se souvenir que Li(2) = 0 alors que li(2) = 1,045…
  3. Gilles Lachaud, « L'hypothèse de Riemann – Le Graal des mathématiciens », Les Dossiers de La Recherche, no 20,‎ août 2005, p. 26-35 (lire en ligne), p. 30.
  4. Jean-Pierre Kahane, « Le nombre, cet inconnu », Conférence aux Assises de mathématiques, Poitiers,‎ 2 avril 1999.
  5. Voir l'article « Nombre de Skewes ».
  6. (de) Lettre de Gauss de 1849 à Encke : « Die gütige Mittheilung Ihrer Bemerkungen über die Frequenz der Primzahlen ist mir in mehr als einer Beziehung interessant gewesen. Sie haben mir meine eigenen Beschäftigungen mit demselben Gegenstande in Erinnerung gebracht, deren erste Anfänge in eine sehr entfernte Zeit fallen, ins Jahr 1792 oder 1793, wo ich mir die Lambertschen Supplemente zu den Logarithmentafeln angeschafft hatte. »
  7. (en) Szilárd Révész, « On some extremal problems of Landau », Serdica Math. J., vol. 33,‎ 2007, p. 125-162 (lire en ligne).
  8. (en) Szilárd Gy. Révész, « The Prime Number Theorem and Landau’s Extremal Problems » (Harmonic Analysis Seminar at the Rényi Institute Lecture Notes).
  9. (en) V. V. Arestov et V. P. Kondrat'ev, « Certain extremal problem for nonnegative trigonometric polynomials », Mathematical notes of the Academy of Sciences of the USSR, vol. 47, no 1,‎ janvier 1990, p. 10-20 (DOI 10.1007/BF01157278).
  10. (en) Lowell Schoenfeld, « Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x). II », Math. Comp., vol. 30,‎ 1976, p. 337-360 (lire en ligne).
  11. Pierre Dusart. Autour de la fonction qui compte le nombre de nombres premiers. Thèse de doctorat de l'Université de Limoges, soutenue le 26 mai 1998. Théorème 1.12 p.38
  12. page 226 de: Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. Third corrected edition, two volumes in one, Chelsea 1974.
  13. La démonstration de Ernest Cesàro, « Sur une formule empirique de M. Pervouchine », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, vol. 119,‎ 1894, p. 848-849 (lire en ligne) repose sur un développement qu'il énonce comme démontré en 1893 mais qui ne le sera que par les travaux ultérieurs de La Vallée Poussin. Cf. (en) Juan Arias de Reyna et Jérémy Toulisse, « The n-th prime asymptotically », 2012, arXiv:1203.5413.
  14. (en) Eric Bach (en) et Jeffrey Shallit, Algorithmic Number Theory, vol. 1, MIT Press,‎ 1996 (ISBN 0-262-02405-5, lire en ligne), p. 233.
  15. a et b (en) Pierre Dusart, « The kth prime is greater than k(ln k + ln ln k – 1) for k ≥ 2 », Math. Comp., vol. 68,‎ 1999, p. 411-415 (lire en ligne).

Articles connexes[modifier | modifier le code]