Conjecture de Legendre

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

Pour les articles homonymes, voir Legendre.

La conjecture de Legendre, proposée par Adrien-Marie Legendre, énonce qu'il existe un nombre premier entre n² et (n+1)² pour tout entier n.

Cette conjecture est l'un des problèmes de Landau, et n'a pas été résolue à l'heure actuelle (2013).

Résultats partiels

Une des voies d'étude de ce problème a été de tenter d'adapter le postulat de Bertrand.

Chen Jingrun a démontré en 1975 qu'un nombre premier ou semi-premier vérifiait toujours la conjecture de Legendre.

D'autre part, il a été démontré par Iwaniec et Pintz en 1984, qu'il existe toujours un nombre premier entre $n - n^\theta$ et $n$, avec $\theta=23/42$.

Lien avec la conjecture de Riemann

La conjecture de Legendre est liée à l'hypothèse de Riemann :

Soit n la valeur $[\sqrt{p_m}]+1$. Selon la conjecture de Legendre il existerait un nombre premier p entre n² et (n+1)². On a ainsi les inégalités :

$[\sqrt{p_m}]^2 <p_m \le ([\sqrt{p_m}]+1)^2<p<([\sqrt{p_m}]+2)^2$

soit encore, puisque $p_{m+1} \le p$,

$[\sqrt{p_m}]^2 < p_m < p_{m+1} < p_m +4\sqrt{p_m}+4.$

On a ainsi

$p_{m+1}-p_m \le 4\sqrt{p_m}+4.$

Or l'hypothèse de Riemann implique, pour une constante C > 0 adaptée,

$p_{m+1}-p_m \le C\sqrt{p_m} \ln p_m.$

Voir aussi

Articles connexes

• Conjecture d'Andrica (en)
• Conjecture de Brocard
• Conjecture de Cramér
• Conjecture d'Opperman (en)
• Conjecture de Redmond-Sun (en)

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Legendre's conjecture », MathWorld

Bibliographie

Martin Aigner et Günter M. Ziegler, Raisonnements divins, Springer, 2006 (ISBN 2-287-33845-4)