Conjecture de Legendre

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La conjecture de Legendre, proposée par Adrien-Marie Legendre, énonce qu'il existe un nombre premier entre n² et (n+1)² pour tout entier n.

Cette conjecture est l'un des problèmes de Landau, et n'a pas été résolue à l'heure actuelle (2012).

Résultats partiels

Une des voies d'étude de ce problème a été de tenter d'adapter le postulat de Bertrand.

Chen Jingrun a démontré en 1975 qu'un nombre premier ou semi-premier vérifiait toujours la conjecture de Legendre.

D'autre part, il a été démontré par Iwaniec et Pintz en 1984, qu'il existe toujours un nombre premier entre n-$n^\theta$ et n, avec $\theta=23/42$.

Lien avec la conjecture de Riemann

La conjecture de Legendre est liée à l'hypothèse de Riemann :

Soit n la valeur $[\sqrt{p_m}]+1$. Selon la conjecture de Legendre il existerait un nombre premier p entre n² et (n+1)². On a ainsi les inégalités :

$[\sqrt{p_m}]^2 <p_m \le ([\sqrt{p_m}]+1)^2<p<([\sqrt{p_m}]+2)^2$

soit encore, puisque $p_{m+1} \le p$,

$[\sqrt{p_m}]^2 < p_m < p_{m+1} < p_m +4\sqrt{p_m}+4.$

On a ainsi

$p_{m+1}-p_m \le 4\sqrt{p_m}+4.$

Or l'hypothèse de Riemann implique, pour une constante C > 0 adaptée,

$p_{m+1}-p_m \le C\sqrt{p_m} \ln p_m.$

Voir aussi

Articles connexes

• Conjecture d'Andrica (en)
• Conjecture de Brocard (en)
• Conjecture de Cramér
• Conjecture d'Opperman (en)

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Legendre's conjecture », MathWorld

Bibliographie

Martin Aigner et Günter M. Ziegler, Raisonnements divins, Springer, 2006 (ISBN 2-287-33845-4)