Conjecture de Legendre

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La conjecture de Legendre, proposée par Adrien-Marie Legendre, énonce qu'il existe un nombre premier entre n2 et (n + 1)2 pour tout entier n.

Cette conjecture est l'un des problèmes de Landau, et n'a pas été résolue à l'heure actuelle (2013).

Résultats partiels[modifier | modifier le code]

Une des voies d'étude de ce problème a été de tenter d'adapter le postulat de Bertrand.

Chen Jingrun a démontré en 1975 qu'il existe un nombre premier ou semi-premier entre n2 et (n + 1)2 pour tout entier n.

D'autre part, il a été démontré par Iwaniec (en) et Pintz, en 1984, qu'il existe toujours un nombre premier entre n – n23/42 et n.

Lien avec la conjecture de Riemann[modifier | modifier le code]

La conjecture de Legendre est liée à l'hypothèse de Riemann :

Soient pm le nombre premier de rang m et n la valeur [pm] + 1. Selon la conjecture de Legendre, il existerait un nombre premier p entre n2 et (n + 1)2. On aurait alors les inégalités[1]

(n-1)^2<p_m<n^2<p<(n+1)^2

dont on déduirait que

p_{m+1}\le p\le((n-1)+2)^2-1<(\sqrt{p_m}+2)^2-1=p_m+4\sqrt{p_m}+3.

On aurait ainsi

p_{m+1}-p_m<4\sqrt{p_m}+3.

Or l'hypothèse de Riemann implique, pour une constante C > 0 adaptée

p_{m+1}-p_m \le C\sqrt{p_m} \ln p_m.

Note[modifier | modifier le code]

  1. Strictes car le carré d'un entier ne saurait être premier.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Legendre's conjecture », MathWorld

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Martin Aigner et Günter M. Ziegler, Raisonnements divins, Springer, 2006 (ISBN 2-287-33845-4)