Nombre de Carol

En mathématiques récréatives, le n-ième nombre de Carol (où n est un entier strictement positif) est l'entier

$(2^{n}-1)^{2}-2=4^{n}-2^{n+1}-1.$

L'amateur qui les étudie, Cletus Emmanuel, leur a donné le nom d'une amie, Carol G. Kirnon.

Propriétés

Les dix premiers nombres de Carol (suite A093112 de l'OEIS) sont

–1, 7, 47, 223, 959, 3 967, 16 127, 65 023, 261 119 et 1 046 527.

Leurs classes de congruence modulo 7 sont

–1, 0, –2, –1, 0, –2, –1, 0, –2, etc.

donc pour tout entier k > 0, le (3k+2)-ième nombre de Carol n'est pas premier.

Le n-ième nombre de Carol est égal à (2²ⁿ – 1) – 2ⁿ⁺¹, ainsi qu'à ((2ⁿ + 1)² – 2) – 2ⁿ⁺².

Sa représentation binaire si n > 2 est, de gauche à droite, (n – 2) uns consécutifs, un zéro au milieu, puis (n + 1) uns consécutifs, puisque

$2^{2n}-1-2^{n+1}=\sum _{0\leq k\leq 2n-1,~k\neq n+1}2^{k}.$

Par exemple, le troisième nombre de Carol (47) s'écrit 101111 en binaire et le quatrième (223) s'écrit 11011111.

Nombres de Carol premiers

Les dix plus petits nombres de Carol premiers (suite  A091516) et leurs indices (suite  A091515) sont :

indice n	2	3	4	6	7	10	12	15	18	19
nombre de Carol premier	7	47	223	3 967	16 127	1 046 527	16 769 023	1 073 676 287	68 718 952 447	274 876 858 367

Le plus grand nombre de Carol premier connu est le nombre de Carol d'indice 253 987, qui a 152 916 chiffres. Il a été trouvé par Cletus Emmanuel en 2007 en utilisant les programmes MultiSieve et PrimeFormGW. C'est le 40^e nombre de Carol premier.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Carol number » (voir la liste des auteurs).