Nombre de Carol

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Un nombre de Carol est un nombre de forme 4^n - 2^{n + 1} - 1=(2^n - 1)^2 - 2, où n est un entier naturel non nul.

Propriétés[modifier | modifier le code]

La suite des nombres de Carol (suite A093112 de l'OEIS) commence par : -1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16127, 65023, 261119, 1046527

L'amateur qui les étudie, Cletus Emmanuel, leur a donné le nom d'un ami, Carol G. Kirnon.

Pour n > 2, la représentation binaire du ne nombre de Carol est, de gauche à droite, (n - 2) uns consécutifs, un zéro au milieu, puis (n + 1) uns consécutifs ; dit de manière algébrique :

\sum_{0\le k\le 2n-1,~k\ne n+1}2^k.

Par exemple, 47 est égal à 101111 en binaire, 223 est égal à 11011111, etc. La différence entre le (2n)e nombre de Mersenne et le ne nombre de Carol est 2^{n + 1}. Ceci donne une nouvelle expression équivalente pour les nombres de Carol, (2^{2n} - 1) - 2^{n + 1}. La différence entre le ne nombre de Kynea et le ne nombre Carol est la (n + 2)e puissance de deux.

Nombres de Carol premiers[modifier | modifier le code]

Commençant par 7, chaque troisième nombre de Carol est un multiple de 7. Ainsi, pour qu'un nombre de Carol soit premier, il faut que son indice ne soit pas de la forme 3x + 2 avec x entier strictement positif.

La suite des nombres de Carol premiers (suite A091516 de l'OEIS) commence par : 7, 47, 223, 3967, 16127.

En juillet 2007, le plus grand nombre de Carol premier connu[1] est le nombre de Carol d'indice 253987, qui a 152916 chiffres. Il a été trouvé par Cletus Emmanuel en mai 2007 en utilisant MultiSieve et PrimeFormGW. C'est le 40e nombre de Carol premier.

Note et références[modifier | modifier le code]