Conjecture de Goldbach

Illustration graphique de la conjecture de Goldbach sur les nombres pairs de 2 à 50

La conjecture de Goldbach est une assertion mathématique non démontrée qui s’énonce comme suit :

Tout nombre entier pair supérieur à 3 peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers.

Formulée en 1742 par Christian Goldbach, c’est l’un des plus vieux problèmes non résolus de la théorie des nombres et des mathématiques. Il partage avec l'hypothèse de Riemann et la conjecture des nombres premiers jumeaux le numéro 8 des problèmes de Hilbert, énoncés par celui-ci en 1900.

La figure ci-contre montre, pour les premiers nombres pairs (2N allant de 4 à 50), les solutions de l’équation 2N = p + q représentées par des ronds. La conjecture de Goldbach correspond au fait qu’aussi loin qu’on prolonge la figure vers le bas, toute ligne horizontale grise contiendra au moins un rond :

4 =	2 + 2	(1 solution)
6 =	3 + 3	(1 solution)
8 =	3 + 5	(1 solution)
10 =	3 + 7 = 5 + 5	(2 solutions)
12 =	5 + 7	(1 solution)
14 =	3 + 11 = 7 + 7	(2 solutions)
	………………………………………
50 =	19 + 31 = 13 + 37 = 7 + 43 = 3 + 47	(4 solutions)

Une formulation équivalente via une division par deux :

Tout nombre entier supérieur à 1 est la moyenne arithmétique de deux nombres premiers.

La conjecture de Goldbach est un cas particulier d’une conjecture liée à l’hypothèse H de Schinzel.

Origine

Lettre de 1742 à Euler dans laquelle Goldbach introduit sa conjecture, à la fin de l’ajout en marge : « Es scheinet wenigstens, daß eine jede Zahl, die größer ist als 2, ein aggregatum trium numerorum primorum sey ».

Le 7 juin 1742, le mathématicien prussien Christian Goldbach écrivit au mathématicien suisse Leonhard Euler une lettre dans laquelle il proposait incidemment la conjecture suivante :

Tout nombre plus grand que 2 peut être écrit comme une somme de trois nombres premiers.

(Goldbach admettait 1 comme nombre premier ; la conjecture moderne exclut 1, et remplace donc 2 par 5.)

Dans sa réponse datée du 30 juin 1742, Euler remarque que cet énoncé découle du suivant :

Tout nombre pair peut être écrit comme somme de deux nombres premiers.

(Comme précédemment, « nombre » est à prendre au sens « entier supérieur à 0 » et la conjecture moderne remplace 0 par 2.)

Selon une version plus faible de la conjecture, tout nombre impair supérieur ou égal à 9 est somme de trois nombres premiers impairs.

Justification heuristique

La majorité des mathématiciens pense que la conjecture de Goldbach est vraie, surtout sur des considérations statistiques axées sur la répartition probabiliste des nombres premiers : plus le nombre est grand, plus il y a de manières disponibles pour le représenter sous forme de somme de deux ou trois autres nombres, et la plus « compatible » devient celle pour qui au moins une de ces représentations est constituée entièrement de nombres premiers.

Une version très grossière de l’argument probabiliste heuristique (pour la forme forte de la conjecture de Goldbach) est la suivante. Le théorème des nombres premiers affirme qu’un entier $m$ sélectionné aléatoirement d’une manière brute possède $\tfrac1{\ln m}$ chance d’être premier. Ainsi, si $n$ est un grand entier pair et $m$, un nombre compris entre 3 et $n/2$, alors on peut s’attendre à ce que la probabilité que $m$ et $n-m$ soient tous deux premiers soit égale à $\tfrac1{\ln m \ln (n-m)}$. Cet argument heuristique n’est pas rigoureux pour de nombreuses raisons ; par exemple, on suppose que les évènements que $m$ et $n-m$ soient premiers sont statistiquement indépendants l’un de l’autre. Si l’on poursuit quand même ce raisonnement heuristique, on peut estimer que le nombre total de manières d’écrire un grand nombre entier pair $n$ comme la somme de deux nombres premiers impairs vaut environ

$\sum_{m=3}^{n/2} \frac{1}{\ln m} \frac{1}{\ln (n-m)} \approx \frac{n}{2 \ln^2 n}.$

Puisque cette quantité tend vers l’infini lorsque $n$ augmente, on peut s’attendre à ce que tout entier pair suffisamment grand non seulement possède au moins une représentation sous forme de somme de deux nombres premiers, mais en fait en possède beaucoup.

L’argument heuristique ci-dessus est en fait quelque peu imprécis, car il ignore certaines corrélations entre les probabilités que $m$ et $n-m$ soient premiers. Par exemple, si $m$ est impair alors $n-m$ aussi, et si $m$ est pair alors $n-m$ aussi, or les nombres premiers sont tous impairs à part 2. De même, si $n$ est divisible par 3, et si $m$ est déjà un nombre premier distinct de 3, alors $n-m$ est aussi premier avec 3 donc sa probabilité d’être premier est légèrement supérieure à celle d’un entier quelconque. En poursuivant ce type d’analyse avec plus de soin, Hardy et Littlewood conjecturèrent en 1923 (c’est une partie de la célèbre conjecture des $n$-uplets premiers de Hardy-Littlewood) que pour tout c ≥ 2 fixé, le nombre de représentations d’un grand entier $n$ sous la forme de somme de $c$ premiers $n=p_1+ \cdots +p_c$ avec $p_1 \leq \ldots \leq p_c$ devrait être équivalent à

$\left(\prod_p \frac{p \gamma_{c,p}(n)}{(p-1)^c}\right) \int\limits_{2 \leq x_1 \leq \ldots \leq x_c \atop x_1+\ldots+x_c = n} \frac{\mathrm dx_1 \ldots \mathrm dx_{c-1}}{\ln x_1 \ldots \ln x_c}$

où le produit porte sur tous les nombres premiers $p$, et $\gamma_{c,p}(n)$ est le nombre de solutions de l’équation $n\equiv q_1 + \cdots + q_c \mod p$ en arithmétique modulaire, soumise aux contraintes $q_1,\ldots,q_c\not\equiv 0 \mod p$. Cette formule a été rigoureusement démontrée comme étant asymptotiquement valide pour c ≥ 3 à partir du travail de Vinogradov, mais est encore à l’état de conjecture pour $c=2$. Dans ce dernier cas, l’expression ci-dessus est nulle lorsque $n$ est impair, et lorsque $n$ est pair elle se simplifie en

$2\Pi_2\left(\prod\limits_{p|n\atop p\ge3}\frac{p-1}{p-2}\right)\int_2^n\frac{\mathrm dx}{\ln^2x}\approx2\Pi_2\left(\prod\limits_{p|n\atop p\ge3}\frac{p-1}{p-2}\right)\frac n{\ln^2n},$

où $\Pi_2$ est la constante des nombres premiers jumeaux

$\Pi_2=\prod_{p\ge3}\left(1-\frac1{(p-1)^2}\right)=0,660~161~815~8\ldots.$

Cette formule asymptotique est quelquefois appelée conjecture étendue de Goldbach. La conjecture forte de Goldbach est en fait très similaire à celle des nombres premiers jumeaux, et les deux conjectures sont présumées de difficulté comparable.

État des recherches

Théorèmes apparentés

Dans le cadre de recherches en vue de démontrer la conjecture de Goldbach, plusieurs théoriciens des nombres ont abouti à des théorèmes plus faibles que la conjecture. Citons, chronologiquement :

Année	Auteurs	Théorème	Détails
1920	Viggo Brun	Tout entier pair assez grand est somme de deux entiers composés chacun de 9 facteurs premiers au plus.
1924	Hans Rademacher	Tout entier pair assez grand est somme de deux entiers composés chacun de 7 facteurs premiers au plus.
1931	Lev Schnirelmann	Tout entier > 1 est somme de 20 nombres premiers au plus.
1937	Ivan Vinogradov	Tout entier impair assez grand est somme de trois nombres premiers. Corollaire : Tout entier pair assez grand est somme de quatre nombres premiers.	Article détaillé : Théorème de Vinogradov.
1937	Nikolai Chudakov	Presque tout entier pair est somme de deux nombres premiers.
1938	Johannes van der Corput
1938	Theodor Estermann
1947	Alfréd Rényi	Il existe une constante K telle que tout entier pair est somme d’un nombre premier et d’un nombre ayant au plus K facteurs premiers.
1951	Yuri Linnik	Il existe une constante K telle que tout entier pair assez grand est somme de deux nombres premiers et d’au plus K puissances de 2.
1966	Chen Jingrun	Tout entier pair assez grand est somme d’un nombre premier et d’un nombre ayant au plus deux facteurs premiers.	Article détaillé : Théorème de Chen.
1975	Hugh Montgomery et Robert Charles Vaughan	La plupart des entiers pairs sont la somme de deux nombres premiers.
1995	Olivier Ramaré	Tout entier pair est somme de six nombres premiers au plus. Corollaire : Tout entier impair est somme de sept nombres premiers au plus.
2002	Roger Heath-Brown et Jan-Christoph Schlage-Puchta	Le résultat de Linnik (1951) vaut avec K = 13.
2003	János Pintz et Imre Z. Ruzsa	Le résultat de Linnik (1951) vaut avec K = 8.
2012	Terence Tao	Tout entier impair > 1 est somme de cinq nombres premiers au plus. Corollaire : résultat d’Olivier Ramaré, 1995.
2013	Harald Helfgott	Tout entier impair > 5 est somme de trois nombres premiers. Corollaire : résultat de Terence Tao, 2012.	Preuve soumise à publication

Pour plus de détails sur les versions concernant les entiers impairs, voir l’article Conjecture faible de Goldbach.

Vérifications numériques

La comète de Goldbach (en) est le graphe du nombre de façons d’écrire un entier n pair comme somme de deux nombres premiers (ici, 4 ≤ n ≤ 1 000 000).

L’existence de deux nombres premiers affirmée dans la conjecture de Goldbach a été vérifiée par ordinateur pour tous les entiers pairs jusqu’à 2.10¹⁸ à la date de novembre 2010.

Dans la culture

• En 2007, Luis Piedrahita et Rodrigo Sopeña produisent le film espagnol La Cellule de Fermat (es) (La Habitación de Fermat) mettant en scène un jeune mathématicien qui affirme faussement avoir démontré la conjecture et un vieux mathématicien qui, lui, l’aurait démontrée.
• Le roman Oncle Petros et la conjecture de Goldbach [détail des éditions], d’Apostolos Doxiadis, raconte l’histoire fictive d’un mathématicien ayant consacré sa vie professionnelle à la seule conjecture de Goldbach, gaspillant ainsi ses ressources intellectuelles et se mettant lui-même à l’écart de la vie scientifique et de sa famille. Le roman en profite surtout pour fournir un éclairage culturel sur quelques mathématiciens et logiciens du début du siècle (Kurt Gödel, Alan Turing, Srinivasa Ramanujan, Godfrey Harold Hardy …) et les rapports entre leurs différents travaux.
• Le roman Le Théorème du Perroquet, de Denis Guedj, met en scène un mathématicien qui, au fond de l’Amazonie, réussit à démontrer la conjecture de Goldbach. Refusant de la livrer à l’humanité, il se suicide en brûlant ses recherches. Mais avant, il la fait apprendre par son perroquet. Des mafieux veulent s’approprier l’oiseau mais ce dernier reste muet. Excédés, ils l’abattent. Le roman se termine dans la forêt où le perroquet, blessé, récite la démonstration aux autres animaux. Elle demeure ainsi inconnue des hommes.
• Afin de faire de la publicité pour le livre Uncle Petros and Goldbach’s Conjecture de Apostolos Doxiadis, l’éditeur britannique Tony Faber offrit en 2000 un prix de 1 000 000 $ pour une preuve de la conjecture. Le prix ne pouvait être attribué qu’à condition que la preuve soit soumise à publication avant avril 2002. Il n’a jamais été réclamé.

Voir aussi

Articles connexes

• Constante de Schnirelmann
• Problème de Waring-Goldbach (en)

Liens externes

• Projet de calcul distribué des nombres de Goldbach
• (en) Chris Caldwell, Goldbach’s conjecture, sur le site Prime Pages
• (en) « Goldbach conjecture verification » ^{(Archive • Wikiwix • Que faire ?)}. Consulté le 2013-03-26, site coopératif

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Goldbach's conjecture » (voir la liste des auteurs)