Test de Pépin

En mathématiques, le test de Pépin est un test de primalité, qui est utilisé pour déterminer si un nombre de Fermat est premier ou non. C'est une variante du théorème de Proth. Ce test porte le nom du mathématicien français Théophile Pépin.

Énoncé

Soit $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ le n-ième nombre de Fermat. Le test de Pépin indique que, pour n > 0: 

$F_{n}$ est premier si et seulement si $3^{(F_{n}-1)/2}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}.$

L'expression $3^{(F_{n}-1)/2}$ peut être évaluée modulo $F_{n}$ par exponentiation rapide. Le test a donc une faible complexité en temps. Cependant, les nombres de Fermat croissent si rapidement que seule une poignée d'entre eux peut être testée dans un laps de temps et d'espace raisonnable.

D'autres bases peuvent être utilisées à la place de 3, par exemple 5, 6, 7 ou 10 (suite A129802 de l'OEIS).

Démonstration

Condition suffisante : supposons que la congruence

$3^{(F_{n}-1)/2}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}$ soit vérifiée.

En élevant au carré, nous obtenons $3^{F_{n}-1}\equiv 1{\pmod {F_{n}}}$, donc l'ordre multiplicatif de 3 modulo $F_{n}$ divise $F_{n}-1=2^{2^{n}}$, qui est une puissance de deux. D'autre part, l'ordre ne divise pas $(F_{n}-1)/2$, et doit donc être égal à $F_{n}-1$. Or, d'après le théorème d'Euler, l'ordre multiplicatif de 3 modulo $F_{n}$ divise φ($F_{n}$) (où φ est l'indicatrice d'Euler), et dans ce cas précis, lui est donc égal (car φ(k) ne peut être supérieure à k - 1).

Il existe donc $F_{n}-1$ nombres inférieurs à $F_{n}$ premiers avec $F_{n}$, ce qui signifie que $F_{n}$ est premier.

Condition nécessaire : supposons que $F_{n}$ soit premier.

D'après le critère d'Euler,

$3^{(F_{n}-1)/2}\equiv \left({\frac {3}{F_{n}}}\right){\pmod {F_{n}}}$, où  $\left({\frac {3}{F_{n}}}\right)$ est le symbole de Legendre.

$F_{n}$ est premier et $F_{n}\equiv 1{\pmod {4}}$, d'où $\left({\frac {3}{F_{n}}}\right)=\left({\frac {F_{n}}{3}}\right)$, d'après la loi de réciprocité quadratique.

Par élévations au carré successives, on trouve $2^{2^{n}}\equiv 1{\pmod {3}}$, donc $F_{n}\equiv 2{\pmod {3}}$, et alors : $\left({\frac {F_{n}}{3}}\right)=\left({\frac {2}{3}}\right)=-1$.

On obtient donc $3^{(F_{n}-1)/2}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}$.

Tests de Pépin historiques

En raison de la rareté des nombres de Fermat, le test de Pépin n'a été utilisé que huit fois (sur des nombres de Fermat dont les statuts de primalité ne sont pas encore connus). Mayer, Papadopoulos et Crandall pensent que, en raison de la taille des nombres de Fermat encore indéterminés, il faudra des décennies avant que la technologie permette d'exécuter plus de tests de Pépin. En 2020, le plus petit nombre de Fermat non testé sans facteur premier connu est $F_{33}$ qui est composé de 2 585 827 973 chiffres.

Année	Chercheurs	nombre de Fermat	Résultat du test de Pépin	Facteur trouvé plus tard?
1905	Morehead & Western	$F_{7}$	composé	Oui (1970)
1909	Morehead & Western	$F_{8}$	composé	Oui (1980)
1952	Robinson	$F_{10}$	composé	Oui (1953)
1960	Paxson	$F_{13}$	composé	Oui (1974)
1961	Selfridge & Hurwitz	$F_{14}$	composé	Oui (2010)
1987	Buell & Young	$F_{20}$	composé	Non
1993	Crandall, Doenias, Norrie & Young	$F_{22}$	composé	Oui (2010)
1999	Mayer, Papadopoulos & Crandall	$F_{24}$	composé	Non

Articles connexes

• Crible d'Ératosthène
• Théorème de Proth
• Théorème de Pocklington
• Test de primalité de Miller-Rabin
• Test de primalité de Fermat
• Test de primalité de Solovay-Strassen
• Test de primalité de Lucas-Lehmer
• Test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne
• Spirale d'Ulam
• Spirale de Sacks

Notes et références

Notes

• Théophile Pépin, « Sur la formule $2^{2^{n}}+1$ », Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, vol. 85,‎ 1877, p. 329–333 (lire en ligne, consulté le 16 novembre 2018).

Liens externes

• The Prime Glossary: Pepin's test