Singleton (mathématiques)

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En mathématiques, un ensemble E est un singleton lorsqu'il ne contient qu'un seul élément a, et il s'écrit alors :

E=\left\{a\right\}

Exemples[modifier | modifier le code]

  • \{\pi\} est un singleton de réels.
  • \{\cos\} est un singleton de fonctions de variable réelle.
  • \{\{1\}\} est un singleton d'ensemble d'entiers et ne doit pas être confondu avec \{1\}, qui lui est un singleton d'entiers.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Pour tout ensemble E il n'y a qu'une seule fonction de E dans le singleton, ou encore l'ensemble des fonctions de E dans le singleton est un singleton.

Appartenance d'un élément à un singleton[modifier | modifier le code]

Un élément x appartient à un singleton si et seulement s'il est égal à l'élément de ce singleton ; ce qui s'écrit mathématiquement :

(x \in \{a\}) \Longleftrightarrow (x = a)

Égalité de deux singletons[modifier | modifier le code]

Les singletons \{a\} et \{b\} sont égaux si et seulement si leurs éléments sont égaux.

(\{a\} = \{b\}) \Longleftrightarrow (a = b)

Disjonction de deux singletons[modifier | modifier le code]

Deux singletons \{a\} et \{b\} sont disjoints si et seulement si leurs éléments a et b sont différents, ce qui revient à dire que les singletons disjoints sont les singletons différents.

(\{a\} \cap \{b\} = \emptyset) \Longleftrightarrow (a \neq b) \Longleftrightarrow (\{a\} \neq \{b\})

Cardinalité d'un singleton[modifier | modifier le code]

Le cardinal d'un singleton est 1, puisque par définition il ne contient qu'un seul élément.

Confusion possible[modifier | modifier le code]

En mécanique des solides, les torseurs sont notés entre accolades. Ainsi, \{ \mathcal{T} \} désigne un torseur statique, et non pas le singleton contenant l'élément \mathcal{T}. De même, dans ce contexte, {0} désigne le torseur nul et non pas le singleton zéro.

Voir aussi[modifier | modifier le code]