Singleton (mathématiques)

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En mathématiques, un ensemble $E$ est un singleton lorsqu'il ne contient qu'un seul élément $a$, et il s'écrit alors :

$E=\left\{a\right\}$

Exemples

• $\{\pi\}$ est un singleton de réels.
• $\{\cos\}$ est un singleton de fonctions de variable réelle.
• $\{\{1\}\}$ est un singleton d'ensemble d'entiers et ne doit pas être confondu avec $\{1\}$, qui lui est un singleton d'entiers.

Propriétés

• Pour tout ensemble $E$ il n'y a qu'une seule fonction de $E$ dans le singleton, ou encore l'ensemble des fonctions de $E$ dans le singleton est un singleton.

Appartenance d'un élément à un singleton

Un élément $x$ appartient à un singleton si et seulement s'il est égal à l'élément de ce singleton ; ce qui s'écrit mathématiquement :

$(x \in \{a\}) \Longleftrightarrow (x = a)$

Égalité de deux singletons

Les singletons $\{a\}$ et $\{b\}$ sont égaux si et seulement si leurs éléments sont égaux.

$(\{a\} = \{b\}) \Longleftrightarrow (a = b)$

Disjonction de deux singletons

Deux singletons $\{a\}$ et $\{b\}$ sont disjoints si et seulement si leurs éléments $a$ et $b$ sont différents, ce qui revient à dire que les singletons disjoints sont les singletons différents.

$(\{a\} \cap \{b\} = \emptyset) \Longleftrightarrow (a \neq b) \Longleftrightarrow (\{a\} \neq \{b\})$

Cardinalité d'un singleton

Le cardinal d'un singleton est 1, puisque par définition il ne contient qu'un seul élément.

Voir aussi

• Ensemble
• Paire