Nombre premier régulier

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En mathématiques, un nombre premier impair est dit régulier si une certaine propriété liée aux racines du polynôme xp-1 est vérifiée. Cette notion a été introduite par Ernst Kummer, pour une preuve du Dernier théorème de Fermat en 1847[1], dans un article intitulé Beweis des Fermat'schen Satzes der Unmöglichkeit von xλ+yλ=zλ für eine unendliche Anzahl Primzahlen λ.

Définitions[modifier | modifier le code]

Plusieurs formulations équivalentes sont possibles pour définir la régularité d'un nombre premier. L'une d'entre elles est que le nombre premier p ne doit pas être un diviseur du nombre de classes (c'est-à-dire du cardinal du groupe des classes) du corps cyclotomique ℚ(ζp), où ζp est une racine primitive p-ème de l'unité. Une manière de tester la régularité en pratique est donnée par la caractérisation suivante : le nombre premier p est régulier si et seulement s'il ne divise le numérateur d'aucun des nombres de Bernoulli Bk, pour k prenant les valeurs paires entre 2 et p-3.

Un nombre premier irrégulier est un nombre premier impair non régulier. Les plus petits sont[2] : 37, 59, 67, 101.

Il existe une infinité de nombres premiers irréguliers. Plus précisément, un théorème de Metsänkylä (fi)[3] assure que pour tout sous-groupe propre H du groupe des unités de l'anneau ℤ/n, il existe une infinité d'entiers premiers irréguliers dont la classe modulo n n'appartient pas à H.

En revanche, l'existence d'une infinité de nombres premiers réguliers reste une question ouverte[4].

Travaux de Kummer[modifier | modifier le code]

Le travail de Kummer permet précisément de montrer l'assertion suivante : si p est un nombre premier régulier, l'équation xp+yp=zp n'a pas de solutions pour x, y et z entiers relatifs tous non divisibles par p. Le point central de l'argument, développé en termes modernes, est qu'une telle identité se factorise en :

\prod_{i=0}^{p-1}(x+\zeta_p^iy)=z^p,

dans le corps ℚ(ζp). Cette égalité peut alors être interprétée comme une égalité entre le produit des idéaux (x+\zeta_p^iy) et l'idéal (z) élevé à la puissance p. Il peut être montré que les idéaux (x+\zeta_p^iy) sont premiers entre eux, la théorie de la décomposition des idéaux premiers, et celle des anneaux de Dedekind permet d'assurer que chacun est la puissance p-ème d'un certain autre idéal Ai ; l'idéal Aip est principal, l'hypothèse que le nombre p est régulier (il n'est pas diviseur du nombre de classes de ℚ(ζp)), montre alors que l'idéal Ai lui-même est principal, ce qui fournit une égalité de la forme x+\zeta_p^iy=\epsilon\alpha^p, pour une certaine unité \epsilon. Quelques calculs permettent d'aboutir à une contradiction.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Washington 1997, notes du chapitre 1.
  2. suite A000928 de l'OEIS
  3. Washington 1997, p. 84
  4. En dépit du titre de l'article de Kummer.

(en) Lawrence C. Washington (de), Introduction to cyclotomic fields,‎ 1997 [détail de l’édition]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème de Herbrand-Ribet