Nombre de Cullen

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En mathématiques, un nombre de Cullen est un entier naturel de la forme n.2^n + 1\, (écrit \mathcal C_n ). Les nombres de Cullen furent étudiés en premier par le jésuite irlandais James Cullen en 1905.

Il a été montré que presque tous les nombres de Cullen sont composés ; les seuls nombres premiers de Cullen connus sont ceux pour n = 1, 141, 4 713, 5 795, 6 611, 18 496, 32 292, 32 469, 59 656, 90 825, 262 419, 361 275, 481 899, 1 354 828, 6 328 548 et 6 679 881 suite A005849 de l'OEIS. De plus, il a été conjecturé qu'il existe une infinité de nombres premiers de Cullen.

À la date du 21 juillet 2011, le plus grand nombre premier de Cullen connu est 6 679 881 × 26 679 881 + 1. C'est un megaprime (en) avec 2 010 852 chiffres (base 10) et il a été découvert par un participant japonais du projet PrimeGrid[1].

Un nombre de Cullen \mathcal C_n est divisible par p = 2n - 1\, si p est un nombre premier de la forme 8k - 3\, ; par conséquent, il découle du petit théorème de Fermat que si p est un nombre premier impair, alors p divise \mathcal C_{m(k)}\, pour chaque m(k) = (2^k - k) . (p - 1) - k\, (pour k > 0). Il a aussi été montré que le nombre premier p divise

\mathcal C_{\frac{p + 1}{2}}\, si le symbole de Jacobi \left(\frac{2}{p}\right) est + 1 et
\mathcal C_{\frac{3p - 1}{2}}\, si le symbole de Jacobi \left(\frac{2}{p}\right) est − 1.


On ignore s'il existe un nombre premier p tel que \mathcal C_p\, est aussi un nombre premier.

Quelques fois, un nombre de Cullen généralisé est défini comme un nombre de la forme n.b^n + 1\,, où n + 2 > b\, ; si un nombre premier peut être écrit sous cette forme, il est alors appelé un nombre premier de Cullen généralisé. Les nombres de Woodall sont quelquefois appelés nombres de Cullen de deuxième espèce.

Note[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  • Cullen, James (1905). Question 15897. Educ. Times (Décembre 1905), 534.

Liens externes[modifier | modifier le code]