Nombre premier de Fibonacci

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Un nombre premier de Fibonacci est un nombre premier qui appartient à la suite de Fibonacci définie par \mathcal F_{n+2}=\mathcal F_{n+1}+\mathcal F_n avec \mathcal F_0=0 et \mathcal F_1=1

Liste de nombres premiers de Fibonacci[modifier | modifier le code]

Les premiers nombres premiers de Fibonacci sont (voir suite A005478 de l'OEIS) :

2, 3, 5, 13, 89, 233, 1 597, 28 657, 514 229, 433 494 437, 2 971 215 073, etc.

Primalité des nombres de Fibonacci[modifier | modifier le code]

On ignore s'il existe une infinité de nombres de Fibonacci premiers. On sait que \mathcal F_n divise \mathcal F_{kn} (voir Propriétés, Propriété 6 de la suite de Fibonacci), et donc que, pour tout n >4\, , si \mathcal F_n est premier, alors n\, est premier, mais la réciproque est fausse (\mathcal F_{19}=4181=37\times 113 est le premier contre-exemple non trivial). À ce jour (août 2011), le plus grand nombre premier de Fibonacci connu est \mathcal F_{81~839}[1] et le plus grand nombre de Fibonacci probablement premier connu est \mathcal F_{1~636~007}[2], qui possède 341 905 chiffres.

En 1964, Ronald Graham a donné une méthode pour construire des suites sans nombres premiers (en), c'est-à-dire des suites (\mathcal T_n) vérifiant en même temps les trois conditions suivantes :

  • \mathcal T_{n+2}=\mathcal T_{n+1}+\mathcal T_n
  • \mathcal T_n et \mathcal T_{n+1} sont premiers entre eux (ils n'ont aucun diviseur commun).
  • \forall n\in\N,\; \mathcal T_n n'est pas premier.

Dans la suite qu'il proposait (suite A083103 de l'OEIS), les deux termes initiaux comportaient 34 chiffres décimaux[3]. En affinant sa méthode, on a réussi à construire de telles suites avec deux termes initiaux plus petits :

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Fibonacci Number, sur le site Prime Pages
  2. suite A001605 de l'OEIS
  3. On ne sait en fait pas si tous les termes de cette suite sont effectivement composés, à cause d'une erreur de calcul. La suite A083104 en est la version rectifiée en 1990 par Knuth.
  4. (en) M. Vsemirnov, « A New Fibonacci-like Sequence of Composite Numbers », Journal of Integer Sequences, vol. 7, no 04.3.7,‎ 2004 (lire en ligne)

Voir aussi[modifier | modifier le code]