Hypothèse de Riemann

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Représentation du module de la fonction zêta de Riemann.

En mathématiques, l'hypothèse de Riemann est une conjecture formulée en 1859 par le mathématicien allemand Bernhard Riemann. Elle dit que les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont tous pour partie réelle 1/2. Sa démonstration améliorerait la connaissance de la répartition des nombres premiers.

Cette conjecture constitue l'un des problèmes non résolus les plus importants des mathématiques du début du XXIe siècle : elle est l'un des fameux problèmes de Hilbert proposés en 1900, et l'un des sept problèmes du prix du millénaire et des dix-huit problèmes de Smale. Comme pour les six autres problèmes du millénaire, l'énoncé exact de la conjecture à démontrer est accompagné d'une description détaillée[1], fournissant de nombreuses informations sur l'historique du problème, son importance, et l'état des travaux à son sujet[2] ; beaucoup des remarques informelles de cette page en proviennent.

La fonction zêta de Riemann[modifier | modifier le code]

Article détaillé : fonction zêta de Riemann.

La fonction zêta de Riemann est définie pour tous les nombres complexes s de partie réelle strictement supérieure à 1 par \zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} =
\frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots.
\!

Leonhard Euler l'introduisit (en liaison avec sa solution du problème de Bâle) et montra qu'elle est donnée par le produit eulérien \zeta(s) = \prod_{p \text{ premier}} \frac{1}{1-p^{-s}}= \frac{1}{1-2^{-s}}\cdot\frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\frac{1}{1-5^{-s}}\cdot\frac{1}{1-7^{-s}} \cdots \frac{1}{1-p^{-s}}\cdots où le produit infini porte sur tous les nombres premiers p (et converge, là encore, pour tous les s de partie réelle >1) ; c'est ce résultat qui explique l'intérêt de la fonction zêta dans l'étude de la répartition des nombres premiers (Euler en déduisit par exemple que la série des inverses des nombres premiers est divergente). Par définition de la convergence d'un produit infini, ce résultat montre au passage que la fonction ne s'annule pour aucun s (de partie réelle strictement supérieure à 1).

L'hypothèse de Riemann porte sur les zéros de cette fonction en dehors du domaine de convergence qu'on vient de voir, ce qui peut sembler n'avoir aucun sens. L'explication tient dans la notion de prolongement analytique : on peut démontrer qu'il existe une fonction holomorphe unique définie pour tout complexe (différent de 1, où elle présente un pôle simple) et coïncidant avec zêta pour les valeurs où cette dernière est définie ; on note encore ζ(s) cette nouvelle fonction.

L'une des techniques[3] pour construire ce prolongement est la suivante.

  • Il est d'abord facile de vérifier que, pour s de partie réelle > 1, on a : 
\left(1-\frac{2}{2^s}\right)\zeta(s) =\eta(s)=
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} =
\frac{1}{1^s} - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \cdots
\ ; or la série de droite (appelée fonction êta de Dirichlet) converge pour tout s de partie réelle strictement positive[4]. On prolonge ainsi ζ à tous les s ≠ 1 de partie réelle > 0 (même ceux de la forme 1 + 2ikπ/ln(2) avec k entier non nul, car on montre qu'en ces points, la fonction possède une limite finie).
  • On montre ensuite, pour tout s de partie réelle strictement comprise entre 0 et 1, l'identité fonctionnelle[5] 
\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s)
\!,Γ est la fonction Gamma d'Euler. Il devient alors possible d'utiliser cette formule pour définir zêta pour tout s de partie réelle négative (avec ζ(0) = –1/2 (en) par passage à la limite).

On en déduit que les entiers pairs strictement négatifs sont des zéros de zêta (appelés zéros triviaux) et que les zéros non triviaux sont symétriques par rapport à l'axe Re(s) = 1/2 et sont tous de partie réelle comprise, au sens large, entre 0 et 1 ; cette région du plan complexe s'appelle la bande critique.

De plus, il n'y a aucun zéro sur l'axe Re(s) = 1 (ce résultat est équivalent au théorème des nombres premiers[6], voir section historique ci-dessous). Du coup, l'hypothèse de Riemann peut se reformuler ainsi : si 0 < Re(s) < 1 et si s est un zéro de ζ (ou, ce qui revient au même, de η), alors sa partie réelle vaut 1/2.

Historique de la conjecture[modifier | modifier le code]

« […] es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien. »

« […] il est fort probable que toutes les racines soient réelles. Bien sûr, une démonstration rigoureuse en serait souhaitable ; pour le moment, après quelques vagues tentatives restées vaines, j'ai provisoirement mis de côté la recherche d'une preuve, car elle semble inutile pour l'objectif suivant de mes investigations. »

— énoncé par Riemann de l'hypothèse, dans l'article de 1859 ; Riemann y parle d'une fonction obtenue à partir de zêta, dont toutes les racines devraient être réelles plutôt que sur la ligne critique.

Riemann mentionna la conjecture, appelée plus tard « hypothèse de Riemann », dans son article paru en 1859, Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une taille donnée (Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse en allemand)[7], dans lequel il donnait une formule explicite pour le nombre de nombres premiers π(x) inférieurs à un nombre donné x.

Cette formule affirme que les zéros de la fonction zêta contrôlent les oscillations des nombres premiers autour de leur position « attendue ». Riemann savait que les zéros non triviaux de zêta étaient distribués symétriquement autour de l'axe s = ½ + it, et aussi qu'ils devaient tous être dans la bande critique 0 ≤ Re(s) ≤ 1. Il vérifia que les premiers zéros avaient pour partie réelle exactement 1/2 (ce point sera discuté plus bas ; il s'agit bien d'une démonstration, et non d'un calcul numérique approché) et suggéra qu'ils pourraient bien être tous sur l'axe de symétrie (la ligne critique) Re(s)=1/2 ; c'est cette conjecture qu'on appelle l'hypothèse de Riemann.

En 1896, Hadamard et La Vallée-Poussin prouvèrent indépendamment qu'aucun zéro ne pouvait se trouver sur la ligne Re(s) = 1, et donc que tous les zéros non triviaux devaient se trouver dans l'intérieur de la bande critique 0 < Re(s) < 1. Ceci s'avéra être un résultat-clé dans la première démonstration complète du théorème des nombres premiers.

En 1900, Hilbert inclut l'hypothèse de Riemann dans sa célèbre liste de 23 problèmes non résolus : c'est le 8e problème. Il aurait dit à son propos  : « Si je devais me réveiller après avoir dormi pendant mille ans, ma première question serait : l'hypothèse de Riemann a-t-elle été prouvée[8] ? ».

En 1914, Hardy prouva qu'il y a une infinité de zéros sur la droite critique Re(s) = 1/2. Cependant il reste possible qu'il y ait une infinité de zéros non triviaux ailleurs. Des travaux ultérieurs de Hardy et Littlewood en 1921, puis de Selberg en 1942 ont donné une estimation de la densité moyenne de zéros sur la droite critique.

Des travaux plus récents se sont focalisés sur le calcul explicite d'endroits où se trouvent beaucoup de zéros (dans l'espoir de trouver un contre-exemple) et de placer des bornes supérieures sur la proportion de zéros se trouvant ailleurs que sur la droite critique (dans l'espoir de la réduire à zéro).

L'hypothèse de Riemann est l'un des sept problèmes de Hilbert non encore résolus, et fut d'ailleurs le seul problème de Hilbert choisi pour figurer dans la liste des problèmes du prix du millénaire de l'institut de mathématiques Clay.

Tests numériques[modifier | modifier le code]

Dès l'énoncé par Riemann de la conjecture, des calculs numériques des premiers zéros non triviaux de la fonction permirent de la confirmer (on trouvera dans la table ci dessous un exposé des divers résultats obtenus). Dans les années 1980, Andrew Odlyzko s'était spécialisé dans ce type de calcul, et on affirme ainsi généralement que le milliard et demi de zéros calculés par lui vérifient tous l'hypothèse de Riemann ; on pourrait penser que cela signifie seulement qu'ils sont positionnés assez près de la droite critique (au sens où l'imprécision de calcul ne permettrait pas d'exclure qu'ils peuvent y être exactement) ; il n'en est rien, comme on va le voir. Cependant, si on a une certitude mathématique pour, mettons, les premiers millions de zéros, la complexité (y compris informatique) des calculs rend plus relative la confiance qu'on peut avoir dans les derniers résultats ; cette question est soigneusement analysée par Xavier Gourdon 2004 (page 3, et plus précisément section 3.3.1) où il annonce le record de vérification des 1013 premiers zéros (et des tests statistiques sur des zéros bien plus éloignés encore).

Les méthodes de vérification numérique partent le plus souvent de la remarque selon laquelle la fonction : s\mapsto\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) a les mêmes zéros que zêta dans la bande critique, et qu'elle est réelle sur la droite critique (à cause de l'équation fonctionnelle vue plus haut reliant \zeta(s) et \zeta(1-s)). Il est alors facile de montrer l'existence d'au moins un zéro entre deux points de cette droite en vérifiant numériquement que cette fonction a des signes opposés en ces deux points. En pratique, on utilise la fonction Z (en) de Hardy et la fonction θ de Riemann-Siegel (en), avec : \zeta(1/2 +it) = Z(t)e^{-i\pi\theta(t)}\  ; en déterminant de nombreux intervalles dans lesquels Z change de signe, on montre l'existence du même nombre de zéros sur la ligne critique. Pour contrôler l'hypothèse de Riemann jusqu'à une partie imaginaire T donnée, il reste à démontrer qu'il n'y a pas d'autres zéros dans cette région ; il suffit pour cela de calculer le nombre total de zéros dans la région en question (le rectangle de sommets 0,1, iT et 1+iT), ce qui peut se faire en appliquant le théorème des résidus à la fonction 1/ζ (techniquement, le problème d'éventuels zéros doubles fait qu'on utilise en réalité la fonction ζ'/ζ, même si une autre conjecture est qu'il n'en existe pas) : comme ce nombre doit être entier, un calcul numérique suffisamment précis de l'intégrale appropriée donne une certitude. La table suivante recense les calculs effectués jusqu'ici (lesquels, bien sûr, ont tous confirmé l'hypothèse) et donne des indications sur les méthodes utilisées.


Année Nombre de zéros Auteurs et méthodes utilisées
1859? 3 B. Riemann utilisa la formule de Riemann-Siegel (non publié, mais cité par Siegel 1932).
1903 15 J. P. Gram 1903 utilisa la formule d'Euler-Maclaurin et découvrit la loi de Gram. Il montra que les 10 zéros de partie imaginaire inférieure à 50 étaient sur la droite critique en calculant la somme des puissances 10-èmes des zéros qu'il avait trouvés.
1914 79 (γn ≤ 200) R. J. Backlund 1914 introduisit une meilleure méthode de contrôle, en étudiant l'argument S(T) de la fonction zêta.
1925 138 (γn ≤ 300) J. I. Hutchinson 1925 découvrit la première exception à la loi de Gram, au point de Gram g126.
1935 195 E. C. Titchmarsh 1935 utilisa la formule de Riemann-Siegel, qui venait d'être redécouverte, et qui est beaucoup plus rapide que la formule sommatoire d'Euler : il faut environ O(T3/2+ε) étapes pour tester des zéros de partie imaginaire inférieure à T, alors que la méthode d'Euler-Maclaurin prend environ O(T2+ε) étapes.
1936 1041 E. C. Titchmarsh 1936 et L. J. Comrie furent les derniers à calculer des zéros à la main.
1953 1104 A. M. Turing 1953 trouva une méthode plus efficace pour contrôler l'absence de zéros en dehors de la droite critique jusqu'à la hauteur T, en vérifiant que Z a le signe correct en plusieurs points de Gram consécutifs, et en utilisant le fait que S(T) est de valeur moyenne 0. Cela ne demande presque aucun calcul supplémentaire, car le signe de Z aux points de Gram est déjà connu ; cette méthode est toujours la plus fréquemment utilisée. Ce calcul est le premier à avoir été effectué par un ordinateur.
1956 15000 D. H. Lehmer 1956 découvrit quelques cas de zéros « tout juste » sur la ligne : deux zéros sont si proches qu'il est difficile de montrer un changement de signe entre eux. Ceci est appelé le « phénomène de Lehmer », et se produit pour la première fois aux zéros de partie imaginaire 7005,063 et 7005,101, qui diffèrent de seulement 0,04, alors que l'écart moyen entre d'autres zéros dans cette région est de l'ordre de 1.
1956 25000 D. H. Lehmer
1958 35337 N. A. Meller
1966 250000 R. S. Lehman
1968 3500000 Rosser, Yohe et Schoenfeld 1969 énoncèrent la règle de Rosser (voir plus bas).
1977 40000000 R. P. Brent (en)
1979 81000001 R. P. Brent
1982 200000001 R. P. Brent, J. van de Lune, H. te Riele, D. T. Winter
1983 300000001 J. van de Lune, H. te Riele
1986 1500000001 van de Lune, te Riele et Winter 1986 donnèrent des informations statistiques sur la répartition des zéros, et déterminèrent plusieurs graphes de Z en des points où son comportement est inattendu.
1987 Quelques zéros à de grandes hauteurs A. M. Odlyzko 1987 calcula, avec une grande précision, un nombre beaucoup plus petit de zéros, mais à des hauteurs T de l'ordre de 1012, pour tester la conjecture de Montgomery sur les corrélations entre paires de zéros.
1992 Quelques zéros à de grandes hauteurs A. M. Odlyzko 1992 calcula quelques autres zéros à des hauteurs allant jusqu'à 1020, accompagnés d'une discussion approfondie des résultats.
2001 10000000000 J. van de Lune (non publié)
2004 900000000000 S. Wedeniwski (ZetaGrid ; informatique répartie)
2004 10000000000000 Xavier Gourdon 2004 et Patrick Demichel utilisèrent l'algorithme d'Odlyzko–Schönhage (en). Ils vérifièrent également quelques zéros à des hauteurs bien plus grandes.

Essais de démonstration[modifier | modifier le code]

De nombreuses preuves supposées de l'hypothèse de Riemann sont régulièrement proposées, principalement sur Internet, ainsi que quelques infirmations, souvent le fait de mathématiciens en marge du système universitaire traditionnel. Aucun de ces travaux n'a pour le moment reçu l'assentiment de la communauté mathématique.

Le site du mathématicien britannique Matthew R. Watkins[9] recense quelques-unes de ces supposées preuves — y compris des « preuves » que l'hypothèse serait fausse —, en plus de quelques parodies.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. (en) Enrico Bombieri, The Riemann Hypothesis
  2. Le texte de Bombieri a été mis à jour en 2004 par Peter Sarnak : (en) Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis (2004), une analyse des travaux récents.
  3. Pour d'autres méthodes, voir Fonction zêta de Riemann#Extension à ℂ-{1}.
  4. Mais si 0 < Re(s) < 1, la convergence (évidemment non absolue) est excessivement lente ; cette série, sous cette forme, ne permet absolument pas le calcul numérique de zêta ; il est heureusement possible de la transformer grâce à la formule d'Euler-Maclaurin pour obtenir une convergence rapide.
  5. Voir Fonction zêta de Riemann#Relation fonctionnelle pour une démonstration de cette identité.
  6. (en) Peter Borwein, The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike, Springer,‎ 2008 (lire en ligne), p. 16.
  7. Le manuscrit original, sur le site du Clay Institute, et sa traduction en français par L. Laugel, sur wikisource.
  8. (en) Richard Bellman, A Brief Introduction of Theta Functions (Holt, 1961) p. 33-34
  9. (en) Matthew R. Watkins, « proposed (dis)proofs of the Riemann Hypothesis », sur Exeter University's School of Engineering, Computing and Mathematics (consulté le 9 janvier 2010)

Références[modifier | modifier le code]

  • R. J. Backlund, « Sur les zéros de la fonction ζ(s) de Riemann », CRAS, vol. 158,‎ 1914, p. 1979–1981
  • (en) X. Gourdon, « The 1013 first zeros of the Riemann zeta function, and zeros computation at very large height », une version consultable en ligne,‎ octobre 2004, voir aussi (en) Computation of zeros of the zeta function
  • J. P. Gram, « Note sur les zéros de la fonction ζ(s) de Riemann », Acta Mathematica, vol. 27,‎ 1903, p. 289–304 (DOI 10.1007/BF02421310)
  • (en) J. I. Hutchinson (en), « On the Roots of the Riemann Zeta-Function », Trans. AMS, vol. 27, no 1,‎ 1925, p. 49–60 (DOI 10.2307/1989163, JSTOR 1989163)
  • (en) D. H. Lehmer, « Extended computation of the Riemann zeta-function », Mathematika. A Journal of Pure and Applied Mathematics, vol. 3, no 02,‎ 1956, p. 102–108 (DOI 10.1112/S0025579300001753)
  • (en) A. M. Odlyzko, « On the distribution of spacings between zeros of the zeta function », Mathematics of Computation (en), vol. 48, no 177,‎ 1987, p. 273–308 (DOI 10.2307/2007890, JSTOR 2007890)
  • (en) A. M. Odlyzko, The 1020-th zero of the Riemann zeta function and 175 million of its neighbors,‎ 1992 (lire en ligne)
    Ce livre non publié décrit l'implémentation de l'algorithme et discute les résultats de façon détaillée.
  • (en) J. Barkley Rosser, J. M. Yohe et Lowell Schoenfeld (en), « Rigorous computation and the zeros of the Riemann zeta-function. (With discussion) », Information Processing 68 (Proc. IFIP Congress, Edinburgh, 1968), Vol. 1: Mathematics, Software, Amsterdam, North-Holland,‎ 1969, p. 70–76
  • (de) C. L. Siegel, « Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie », Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. und Phys. Abt. B: Studien 2,‎ 1932, p. 45–80 Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966
  • (en) E. C. Titchmarsh, « The Zeros of the Riemann Zeta-Function », Proceedings of the Royal Society, Series A, Mathematical and Physical Sciences, vol. 151, no 873,‎ 1935, p. 234–255 (DOI 10.1098/rspa.1935.0146, JSTOR 96545)
  • (en) E. C. Titchmarsh, « The Zeros of the Riemann Zeta-Function », Proceedings of the Royal Society, Series A, Mathematical and Physical Sciences, The Royal Society, vol. 157, no 891,‎ 1936, p. 261–263 (DOI 10.1098/rspa.1936.0192, JSTOR 96692)
  • (en) A. M. Turing, « Some calculations of the Riemann zeta-function », Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, vol. 3,‎ 1953, p. 99–117 (DOI 10.1112/plms/s3-3.1.99)
  • (en) J. van de Lune, H. te Riele et D. T. Winter, « On the zeros of the Riemann zeta function in the critical strip. IV », Mathematics of Computation, vol. 46, no 174,‎ 1986, p. 667–681 (DOI 10.2307/2008005, JSTOR 2008005)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Karl Sabbagh, The Riemann Hypothesis: The Greatest Unsolved Problem in Mathematics, Farrar, Straus and Giroux,‎ 2004 (ISBN 0-374-52935-3).
  • Marcus du Sautoy, La Symphonie des nombres premiers, Éditions Héloïse d'Ormesson (ISBN 2-35087-011-1)
  • Rossana Tazzioli, Riemann, le géomètre de la nature, Belin (ISBN 2842451066)

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]