Paul Erdős

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Dans le nom hongrois Erdős Pál, le nom de famille précède le prénom, mais cet article utilise l’ordre habituel en français Pál Erdős, où le prénom précède le nom.

Paul Erdős

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Paul Erdős en 1992.

Naissance 26 mars 1913
Budapest (Hongrie)
Décès 20 septembre 1996 (à 83 ans)
Varsovie (Pologne)
Nationalité Drapeau de la Hongrie hongrois
Champs mathématiques
Institutions Université de Manchester
Université de Princeton
Université Purdue
Université Notre-Dame
Université de Memphis
puis itinérant
Diplôme Université Loránd Eötvös
Directeur de thèse Lipót Fejér
Étudiants en thèse Frederick Bagemihl (en)
Béla Bollobás
Bonifac Donat
Biswajit Karmakar
Joseph Kruskal
Alexander Soifer (en)
Renommé pour Nombre d'Erdős,
plusieurs conjectures,
plusieurs théorèmes portant son nom, etc.
Distinctions Prix Frank Nelson Cole (1951)
Prix Wolf (1983-84)

Paul Erdős, né Pál Erdős ([ˈpaːl], [ˈɛrdøːʃ]) le 26 mars 1913 à Budapest et mort le 20 septembre 1996 à Varsovie, est un mathématicien hongrois d'origine juive, célèbre pour son excentricité, le nombre de ses publications scientifiques (environ 1 500) et de ses collaborateurs. Son œuvre prolifique a donné naissance au concept de nombre d'Erdős représentant le degré de séparation entre le mathématicien hongrois, la centaine de collaborateurs directs, coauteurs d'articles, de nombre 1, indirects, de nombre 2, etc.

Biographie[modifier | modifier le code]

La vie de Paul Erdős a été tout entière consacrée à ses travaux de recherche. Vivant dans un grand dénuement (il n’avait pas de femme, pas d’emploi, pas même une maison pour l’attacher quelque part ; il vivait avec une vieille valise et un sac plastique orange de supermarché ; la seule possession qui comptait pour lui était son petit calepin[1]), il est un chercheur très prolifique, toutes disciplines confondues, avec plus de 1 500 articles de recherche publiés. En particulier, nombre de ces articles visait à étudier ses domaines de prédilection (théorie des graphes, théorie des nombres, combinatoire) sous des angles différents, et à améliorer sans cesse l'élégance des démonstrations. Parmi ses contributions, le développement de la théorie de Ramsey et de l'application de la méthode probabiliste en particulier se distinguent.

Âgé d'un an lorsque survient la Première Guerre mondiale, Erdős voit son père capturé par l'armée russe. Sa mère, redoutant de ne pouvoir veiller sur ses enfants hors du foyer, préfère dès lors engager un précepteur. Toutefois, elle-même étant professeur de mathématiques, elle lui transmet le goût de cette discipline, ce qui amènera le jeune Erdős à s'intéresser très tôt à des problèmes mathématiques.

En 1934,alors qu'il était encore étudiant il parvient à re-démontrer le théorème de Chebychev, obtenant de ce fait son doctorat de mathématiques à 21 ans sans même finir le cursus habituel.

Il est contraint par ses origines juives à s'exiler dans un premier temps à l'université de Manchester puis aux États-Unis. Il travaille à l'université de Princeton, puis est ensuite invité par Stanislaw Ulam à l'université de Wisconsin. C'est à cette époque qu'il parvient, avec le mathématicien Atle Selberg, à établir une preuve élégante du théorème des nombres premiers. Mais Selberg publie seul le document, et obtient la médaille Fields l'année suivante[2].

Installé à l'université Purdue en Indiana, Erdős est invité à rejoindre le programme de développement de la bombe atomique américaine en 1943, mais sa candeur le fait échouer lors des entretiens. Ce n'est qu'en 1948 qu'il peut retourner en Hongrie pour retrouver sa famille revenue de déportation. Quelques années plus tard, en 1950, le maccarthysme bat son plein aux États-Unis et il est accusé de communisme. En conséquence, il n'est plus autorisé à circuler aux États-Unis.

Erdős reçoit le prix Frank Nelson Cole en 1951 et il est fait membre étranger de la Royal Society en 1989.

Installé durant les années 1960 en Israël, Erdős ne peut à nouveau fouler le sol américain qu'en 1963. Il entreprend dès lors une carrière de chercheur et professeur itinérant, et finit par décéder dans sa chambre d'hôtel à l'âge de 83 ans.

Travaux mathématiques[modifier | modifier le code]

Erdős fut l'un des plus prolifiques éditeurs d'articles dans l'histoire des mathématiques, avec Léonard Euler ; il publia environ 1 525 articles en collaboration avec 511 mathématiciens.

Au point de vue « style mathématique », Erdős fut plus un « résolveur de problèmes » qu'un « développeur de théories ». Selon Joel Spencer, «  sa place dans le panthéon des mathématiques du XXe siècle est sujette à controverse, car il s'est résolument concentré sur des théorèmes particuliers et des conjectures au cours de son illustre carrière. ».

Erdős ne gagna jamais la médaille de Fields, mais il gagna le prix Wolf pour ses nombreuses contributions à la théorie des nombres, à l'analyse combinatoire, aux probabilités, à la théorie des ensembles et à l'analyse, et pour avoir personnellement stimulé les mathématiciens autour du monde.

Parmi ses contributions, le développement de la théorie de Ramsey et l'application de la méthode probabiliste sont les plus remarquables. Les praticiens des théories combinatoires lui doivent une approche entière, dérivée de l'analyse de la théorie des nombres. Erdős fit une démonstration du postulat de Bertrand qui se montra plus soignée que celle originelle de Chebyshev. Il fit également une démonstration élémentaire du théorème des nombres premiers en collaboration avec Atle Selberg, qui montra combien les théories combinatoires étaient une méthode efficace pour compter les collections. Erdős contribua aussi dans des domaines pour lesquels il n'avait qu'un faible intérêt, tels que la topologie où il est considéré comme la première personne à donner un exemple d'espace topologique totalement discontinu qui ne soit pas de dimension zéro.

Problèmes d'Erdős[modifier | modifier le code]

Au cours de sa carrière, Erdős offrait parfois différents prix pour trouver des solutions à des problèmes non résolus. Ceux-ci allaient de 25 dollars pour des problèmes dont il pensait qu'ils étaient seulement hors de portée de la pensée mathématique actuelle, jusqu'à plusieurs milliers de dollars pour ceux qui étaient à la fois difficiles à résoudre et importants pour les mathématiques. On pense qu'il existe au moins un millier de prix de cet ordre, bien qu'il n'existe pas de liste officielle. Ces prix restent actifs malgré la mort d'Erdős ; Ronald Graham est l'administrateur (non officiel) des solutions. Les gagnants peuvent recevoir soit un chèque signé d'Erdős (pour encadrer) ou un chèque encaissable de Graham.

Le plus célèbre des problèmes associés à un prix Erdős est probablement la conjecture de Collatz, aussi connue sous le nom de « problème 3N+1 », ou encore « conjecture de Syracuse » ; sa solution vaut 500 dollars. Mais le problème le plus fondamental (qui vaut actuellement 5 000 dollars) est sans doute la conjecture d'Erdős sur les progressions arithmétiques qui s'énonce ainsi :

« Si la série des inverses d'une séquence de nombres entiers diverge, alors la séquence contient des progressions arithmétiques de longueur arbitraire. »

Si cette assertion est vraie, elle résout plusieurs autres problèmes ouverts de la théorie des nombres. Il ne s'agit encore en 2014 que d'une conjecture, mais l'une de ses implications principales, selon laquelle la suite des nombres premiers contient des suites arithmétiques arbitrairement longues, a été démontrée de façon indépendante en 2004 par Green et Tao.

Anecdotes[modifier | modifier le code]

  • Le caractère particulièrement prolifique d'Erdős amena la création du « nombre d'Erdős », signalant le degré de collaboration d'un chercheur avec Erdős. Ce dernier a par définition le nombre 0. Les mathématiciens ayant publié un papier de recherche cosigné par lui ont pour nombre d'Erdős 1. Les chercheurs ayant publié avec ces derniers ont un nombre d'Erdős de 2 (comme Albert Einstein), et ainsi de suite par récurrence. Les personnes qui n'ont jamais écrit d'article mathématique, de même que celles n'ayant pas de coauteur qui soit relié à Erdős de la manière décrite ci-dessus, ont un nombre d'Erdős égal à l'infini. En 2008, le plus grand nombre d'Erdős connu d'un mathématicien en activité était 13[3].
  • Lorsque Hardy et Erdős se rencontrèrent, Hardy avait 57 ans et sentait ses capacités mathématiques diminuer. Il aimait dire que les mathématiques appartiennent à la jeunesse : « Galois est mort à vingt et un ans, Abel à vingt-sept […]. Riemann à quarante […]. Je ne connais pas d'exemple d'un progrès majeur en mathématiques dû à un homme de plus de cinquante ans. » Erdős, qui n'avait que 20 ans, était trop jeune pour savoir qu'il deviendrait l'un des plus célèbres contre-exemples de cette opinion de Hardy.
  • Erdős continua de voyager et de donner des conférences jusqu'à sa mort. Interrogé sur son désir de continuer à faire des mathématiques malgré son grand âge, il répondit : « Les premiers signes de la sénilité sont quand un homme oublie ses théorèmes. Le deuxième signe, c'est quand il oublie de fermer sa braguette. Le troisième, c'est quand il oublie de l'ouvrir ! » (D'après Paul Hoffman[1], Erdős citait ici son ami Stanislaw Ulam, qui serait l'auteur du mot.)
  • Pour le débarrasser de sa dépendance aux amphétamines, qui avait pris naissance à la mort de sa mère en 1971, le directeur de la section mathématique des laboratoires Bell avait parié 500 dollars avec lui qu'il n'arriverait pas à cesser d'en consommer pendant un mois, en 1979. Après quelques semaines, Erdős revint trouver Graham et l'avertit : « Graham, avant, lorsque je regardais une feuille blanche, mon esprit était plein d'idées. Aujourd'hui, tout ce que je vois c'est une feuille blanche. » Erdős gagna le pari, mais se plaignit ensuite de ce que Graham avait retardé d'un mois les progrès des mathématiques...
  • Paul Erdős entendit un jour que les géologues estimaient l'âge de la Terre à quatre milliards et demi d'années. Se souvenant que, dans sa jeunesse, on n’en attribuait à la planète que deux milliards, il donna pour titre à une conférence autobiographique : Mes Deux Premiers Milliards d'années et demi en mathématiques
  • Au jour de ses soixante ans, Paul Erdős décida de signer toutes ses lettres par Paul Erdős L.D. (« L.D. » pour living dead, « mort vivant »).
Paul Erdős en compagnie de Ronald Graham et sa femme Fan Chung, Japon 1986
  • La conversation d'Erdős était plutôt ésotérique. Ses amis le comprenaient parfaitement lorsqu'il affirmait s'être « fort bien remis de la grippe que le S.F. a cru bon de lui envoyer » (« S.F. » pour Suprême Fasciste, c'est-à-dire Dieu), ou encore que l'« epsilon de Charles a encore grandi » (epsilon, lettre grecque employée pour désigner une quantité infime, désigne un enfant). De même, les patrons désignent les femmes, tandis que les esclaves désignent les hommes. Tous les epsilons sont égalements des patrons. Quand on lui demanda alors à partir de quel moment les epsilons masculins deviennent des esclaves, il répondit « quand ils commencent à courir après les patrons »[1].
  • Une des courtes nouvelles de Sonates de bar de l'oulipien Hervé Le Tellier est un hommage à Paul Erdős, que l'écrivain avait rencontré peu avant sa mort.
  • Une des maximes favorites de Erdős était : « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution ».
  • Une autre phrase célèbre souvent attribuée incorrectement à Erdős, mais provenant en réalité d'Alfréd Rényi[4] : « un mathématicien est une machine qui transforme le café en théorèmes ».
  • Erdős aimait effectuer des démonstrations de pile ou face au moyen de pièces de monnaie auprès des epsilons de ses collègues mathématiciens. Il lançait sa pièce de monnaie en l'air, qui voltigeait et continuait de tournoyer en tombant sur le sol. Puis il remettait sa pièce dans sa poche, laissant certaine epsilon plutôt interloquée.[réf. nécessaire]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a, b et c Paul Hoffman (en), Paul Erdös : 1913-1996 : l'homme qui n'aimait que les nombres (en), Éditions Belin, 2000 (ISBN 2-7011-2539-1) (lire en ligne)
  2. (en) John J. O’Connor et Edmund F. Robertson, « Paul Erdős », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne).
  3. (en) « Facts about Erdös Numbers and the Collaboration Graph », sur le site The Erdös Number Project
  4. (en) Bruce Schechter, My Brain Is Open : The Mathematical Journeys of Paul Erdos, 1998, p. 155

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]