Fonction de Möbius

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En mathématiques, la fonction de Möbius désigne généralement une fonction multiplicative particulière, définie sur les entiers strictement positifs et à valeurs dans l'ensemble {–1, 0, 1}. Elle intervient dans la formule d'inversion de Möbius.

Elle est utilisée dans des branches différentes des mathématiques. Vue sous un angle élémentaire, la fonction de Möbius permet certains calculs de dénombrement, en particulier pour l'étude des p-groupes ou en théorie des graphes. En arithmétique, elle est parfois définie comme l'inverse de la fonction multiplicative constante 1, pour l'opération convolution de Dirichlet. On la trouve encore pour l'étude des polynômes cyclotomiques sur le corps des nombres rationnels. Son rôle est analogue pour les corps finis et, par voie de conséquence, la fonction de Möbius intervient dans la théorie des codes correcteurs. En théorie analytique des nombres, la fonction de Möbius est plus souvent introduite à l'aide des séries de Dirichlet. Elle intervient dans certaines démonstrations liées à l'étude de l'hypothèse de Riemann sur les nombres premiers.

L'usage de cette fonction est ancien : on le trouve chez Euler en 1748 ou encore chez Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticae en 1801. C'est néanmoins Möbius qui le premier l'étudie systématiquement, en 1832.

August Ferdinand Möbius est le premier, en 1832, à étudier systématiquement la fonction qui porte maintenant son nom.

Définition et propriétés[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Dans toute la suite de l'article, N désigne l'ensemble des entiers naturels et N* celui des entiers strictement positifs. La définition la plus courante est la suivante :

Définition de la fonction de Möbius[1],[2] — La fonction de Möbius μ est définie de N*+ dans {–1, 0, 1}. L'image μ(n) d'un entier n > 0 vaut :

  • 0 si n est divisible par un carré parfait différent de 1,
  • 1 si n est le produit d'un nombre pair de nombres premiers distincts,
  • –1 si n est le produit d'un nombre impair de nombres premiers distincts.

Le tableau de ses vingt premières valeurs est donc :

n  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20 
μ(n) 1 –1 –1 0 –1 1 –1 0 0 1 –1 0 –1 1 1 0 –1 0 –1 0

et le graphe de ses cinquante premières valeurs est :

Graphe des cinquante premières valeurs de la fonction de Möbius

Fonction multiplicative[modifier | modifier le code]

La fonction de Möbius est multiplicative, ce qui signifie que :

Fonction multiplicative[3] — L'image par μ de 1 est égale à 1, et si n et m sont deux entiers strictement positifs premiers entre eux, alors

\mu(nm)=\mu (n)\mu (m).

En effet, si l'un des deux entiers n et m est divisible par un carré parfait différent de 1, la formule est vérifiée et donne 0. Sinon, soient s le nombre de diviseurs premiers de n et t celui de m. L'entier nm admet s + t diviseurs premiers donc on a bien : μ(nm) = (–1)s+t = (–1)s(–1)t = μ(n)μ(m).

Définition alternative[modifier | modifier le code]

On déduit directement de la définition le résultat suivant[4] :

Caractérisation de la fonction de Möbius — Pour tout entier n > 0, la somme des valeurs de la fonction de Möbius sur tous les diviseurs positifs de n vaut :

\sum_{d | n} \mu(d) = \left\{\begin{matrix}1&\mbox{ si } n=1\\ 0&\mbox{ si } n>1.\end{matrix}\right.

Ce résultat se reformule en disant que μ est l'inverse de la fonction constante 1 pour la convolution de Dirichlet[5], ce qui caractérise complètement la fonction de Möbius.

Formule d'inversion de Möbius[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Formule d'inversion de Möbius.

La caractérisation ci-dessus de μ permet de démontrer la formule suivante[4] :

Si f et g sont des fonctions arithmétiques vérifiant

\forall n\in\N^*\quad g(n)=\sum_{d\mid n}f(d)

alors

\forall n\in\N^*\quad f(n)=\sum_{d\mid n}g(d)\mu(n/d)=\sum_{d\mid n}\mu(d)g(n/d).

Combinatoire[modifier | modifier le code]

Définitions et propriétés élémentaires[modifier | modifier le code]

Une approche combinatoire permet de généraliser l'étude ci-dessus[6]. La technique consiste à étudier un ensemble A fini et ensemble partiellement ordonné dont la relation d'ordre est notée ≤. On utilise la définition suivante :

Définition d'une chaîne[7] — Soient a et b deux éléments de A tels que a ≤ b. Pour tout entier naturel p, on appelle chaîne de longueur p joignant a à b, toute suite finie (x0x1, ..., xp) telle que :

a=x_0< x_1 < \cdots x_{p-1}< x_p=b.

Dans la suite du paragraphe, on note cp(ab) le nombre de chaînes de longueur p reliant a à b. On dispose immédiatement de quelques propriétés. Par exemple, si a est un élément de A, cp(aa) vaut 1 pour p = 0 et vaut 0 pour p > 0, et si b est un élément de A strictement plus grand que a alors c0(ab) = 0 et c1(ab) = 1. Plus généralement, on établit le lemme suivant :

Lemme[7] — Si a et b sont deux éléments de A tels que a < b alors, pour tout entier naturel p,

c_{p+1}(a,b) = \sum_{a\le c<b} c_p(a,c) = \sum_{a< c\le b} c_p(c,b).

En effet, toute chaine de longueur p + 1 joignant a à b est composée d'une chaîne de longueur p reliant a à c et d'une chaîne de longueur 1 reliant c à b, ce qui démontre la première égalité. La deuxième se montre de la même manière.

Gian-Carlo Rota définit une nouvelle fonction de Möbius, qu'il note μA, et dont on verra qu'elle généralise μ :

Définition de G.-C. Rota de la fonction de Möbius μA — La fonction de Möbius μA, à valeurs entières, est définie sur A×A par :

\forall a,b \in A \quad a\le b \Rightarrow \mu_A(a,b) = \sum_{p \in \N} (-1)^pc_p(a,b) \quad\text{et}\quad  a\not\le b\Rightarrow \mu_A(a,b) = 0.

Autrement dit, on compte positivement toutes les chaînes de longueurs paires reliant a à b et négativement celles de longueurs impaires. On remarque de plus que ces définitions restent valables si A est infini, à condition qu'il n'existe qu'un nombre fini d'éléments situés entre a et b (on dit alors que l'ordre est localement fini (en)). Le lemme permet de démontrer l'analogue suivant de la caractérisation de μ :

Caractérisation de μA[8] — Soient a et b deux éléments de A tel que a < b :

\mu_A(a,a)=1 \quad\text{et}\quad \sum_{a\le c\le b} \mu_A(a,c) = \sum_{a\le c\le b} \mu_A(c,b)=0.

Le produit de convolution de Dirichlet se généralise, permettant d'associer à tout ordre localement fini A son algèbre d'incidence (en), et le résultat ci-dessus se reformule alors par l'interprétation de μA comme un inverse dans cet anneau unitaire.

Ce résultat permet aussi de montrer une formule d'inversion pour μA.

Relation entre la définition de Möbius et celle de Rota[modifier | modifier le code]

Ici, l'ensemble A désigne celui des entiers strictement positifs munis de la relation d'ordre  : a ≤ b lorsque a est un diviseur de b.

Cet ordre est localement fini, et lorsqu'on lui applique la caractérisation de μA avec 1 comme première variable, on retrouve la caractérisation μ.

On remarque aussi que si a divise b, l'application qui à une chaîne (x1x1,..., xp) associe la chaîne (1, x2/x1,..., xp/x1) constitue une bijection entre l'ensemble des chaînes de longueur p reliant a à b et celles reliant 1 à b/a.

On en déduit donc :

Relation entre les définitions des fonctions de Möbius[9] — En deux entiers strictement positifs a et b tels que a divise b, la fonction μ de Möbius et celle μA de Rota sont reliées par :

\mu_A(a,b) = \mu_A\left(1,\frac ba\right) = \mu\left(\frac ba\right).

Via ce lien, la formule d'inversion classique pour μ peut être vue comme un cas particulier de celle pour μA.

Série de Dirichlet[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. G. Villemin, Fonction de Möbius par le site : Nombres : curiosités - théorie - usage.
  2. D. Madore, Corps finis, École normale supérieure.
  3. F. Badiou, « Formule d'inversion de Möbius », Séminaire Delange-Pisot-Poitou Théorie des nombres, vol. 2, exp. 1,‎ 1960, p. 1 (lire en ligne).
  4. a et b Badiou 1960, p. 3.
  5. Badiou 1960, p. 2.
  6. (en) G.-C. Rota, « On the foundations of combinatorial theory, I: Theory of Möbius functions », Z. Wahrscheinlichkeitstheorie u. verw. Gebiete, vol. 2, 1963, p. 340-368.
  7. a et b IREM de Marseille, Cours et activités en arithmétiques pour les classes terminales (lire en ligne), p. 75.
  8. IREM-Marseille, p. 76.
  9. IREM-Marseille, p. 80.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Möbius function », MathWorld