n-uplet

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En mathématiques, si n est un entier naturel, alors un n-uplet ou n-uple est une collection ordonnée de n objets, appelés « composantes » ou « éléments » ou « termes » du n-uplet.

En programmation informatique, on trouve une notion équivalente dans certains langages, tels que Python, OCaml ou MDX. Dans les langages fonctionnels, les tuples sont réalisés comme types produits ; dans les langages impératifs, on trouve des tuples nommés, où les composantes sont repérées par un nom, sous la forme de struct (C) ou record (Pascal).

Note : l'utilisation du terme anglais tuple pour uplet dans des ouvrages en français[1] est courante en programmation.

Définitions[modifier | modifier le code]

Pour n > 0, si nous notons a1 le premier élément, a2 le deuxième élément, …, an le n-ième élément, le n-uplet s'écrit : (a1,a2,…,an).

Le 0-uplet s'écrit ().

L'égalité des n-uplets se définit par

(a1,a2,…,an) = (b1, b2,…,bn) si et seulement si a1 = b1 et a2 = b2 … et an = bn.

Un 1-uplet est un singleton, un 2-uplet est un couple, un 3-uplet est un triplet, un 4-uplet est un quadruplet, un 5-uplet est un quintuplet, etc.

Si E1, …, En, sont des ensembles, alors l'ensemble des n-uplets (a1,a2,…,an) où a1 appartient à E1,…,an appartient à En, est le produit cartésien de ceux-ci, noté « E1 × … × En ».

Exemples[modifier | modifier le code]

Formalisation[modifier | modifier le code]

Un n-uplet peut être défini à partir de la notion de couple, qui elle-même peut se définir en termes d'ensembles :

(a1, a2, … ,an) = ((… ((a1, a2), a3), … , an–1), an)

(c'est-à-dire qu'un n+1-uplet est un couple dont la première composante est un n-uplet), ou en utilisant une définition par récurrence, la notion de couple étant connue :

  1. est un 0-uplet
  2. si x = (a1, a2, … ,an) est un n-uplet, alors (x,an+1) est un (n+1)-uplet, et (a1, a2, … ,an, an+1) = (x, an+1).

La propriété caractéristique des n-uplets (la définition de l'égalité) se démontre immédiatement par récurrence à partir de celle des couples.

On a choisi pour définir un n+1-uplet d'ajouter un élément « à la fin » d'un n-uplet : c'est arbitraire, et il est possible de commencer par le début, c'est-à-dire de définir un n+1-uplet comme un couple dont la seconde composante est un n-uplet. Ceci conduit à une définition différente mais qui a les mêmes propriétés.

Il est enfin possible de définir un n-uplet comme une suite finie, c'est-à-dire une fonction définie sur un ensemble fini, {0, … , n – 1} ou {1, … , n}.

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. Par exemple dans le manuel de F. Aprahamian, A Bertrand, D. Besancenot, J.-B. Ferrari, K. Huynh, Microéconomie, Bréal, 2007 (ISBN 9782749507491) p. 226