n-uplet

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En mathématiques, si n est un entier naturel alors un n-uplet est une collection ordonnée de n objets, appelés composantes du n-uplet. (La traduction en anglais, « tuple » , est parfois utilisée pour « uplet » dans des ouvrages en français.)

Pour n > 0, si nous notons a₁ le premier élément, a₂ le deuxième élément, ..., a_n le n^e élément, le n-uplet s'écrit : (a₁,a₂,...,a_n).

Le 0-uplet s'écrit ( ).

L'égalité des n-uplets se définit par

(a₁,a₂,...,a_n)=(b₁,b₂,...,b_n) si et seulement si a₁=b₁ et a₂=b₂ ... et a_n=b_n.

Un 1-uplet est un singleton, un 2-uplet est un couple, un 3-uplet est un triplet, un 4-uplet est un quadruplet, un 5-uplet est un quintuplet, ...

Si E₁, ..., E_n sont des ensembles alors l'ensemble des n-uplets (a₁,a₂,...,a_n) où a₁ appartient à E₁, ..., a_n appartient à E_n est le produit cartésien de ceux-ci, noté E₁ × ... × E_n.

Exemples

• Les nombres complexes peuvent se construire à partir de couples de réels.
• Les points de l'espace vectoriel ordinaire sont représentés par des triplets de réels.
• Un quaternion peut être représenté par un quadruplet.
• En informatique théorique, un automate fini est représenté par un quintuplet.

Formalisation

Un n-uplet peut être défini à partir de la notion de couple (qui lui-même peut se définir en termes d'ensemble, voir l'article Couple).

(a₁,a₂,...,a_n)=((...((a₁,a₂),a₃),...,a_n-1),a_n).

c'est-à-dire qu'un n+1-uplet, est un couple dont la première composante est un n-uplet. ou en utilisant une définition par récurrence, la notion de couple étant connue :

1. $\varnothing$ est un 0-uplet
2. si x = (a₁,a₂,...,a_n) est un n-uplet, alors (x,a_n+1) est un (n+1)-uplet, et (a₁,a₂,...,a_n, a_n+1) = (x,a_n+1).

La propriété caractéristique des n-uplets (la définition de l'égalité) se démontre immédiatement par récurrence à partir de celle des couples.

On a choisi pour définir un n+1-uplet d'ajouter un élément « à la fin » d'un n-uplet : c'est arbitraire, et il est possible de commencer par le début, c'est-à-dire de définir un n+1-uplet comme un couple dont la seconde composante est un n-uplet. Ceci conduit à une définition différente mais qui a les mêmes propriétés.

Il est enfin possible de définir un n-uplet comme une suite finie, c'est-à-dire une fonction définie sur un ensemble fini, {0, … , n-1} ou {1, … , n}.