Nombre premier de Pierpont

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Un nombre premier de Pierpont est un nombre premier de la forme 2^u 3^v + 1, pour u et v deux entiers naturels positifs.

Ils sont nommés ainsi d'après le mathématicien James Pierpont.

Il est possible de prouver que si v = 0 et u > 0, alors u doit être une puissance de 2, faisant de ce nombre un nombre de Fermat.

Par ailleurs, si v est positif alors u doit être positif, et le nombre de Pierpont est de la forme 6k + 1 (car si u = 0 et v > 0 alors 2u3v + 1 est un nombre pair supérieur à 2 et par conséquent composé).

Liste de nombres premiers de Pierpont[modifier | modifier le code]

Les premiers nombres de Pierpont sont :

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, etc.

Voir suite A005109 de l'OEIS pour davantage d'occurrences.

Distribution des nombres premiers de Pierpont[modifier | modifier le code]

Distribution des exposants des plus petits nombres de Pierpont

Andrew Gleason (en) a conjecturé qu'il y a une infinité de nombres premiers de Pierpont. Ils ne sont pas particulièrement rares et il y a peu de restrictions par rapport à la factorisation algébrique; il n'y a donc pas de conditions comme la primalité de l'exposant dans les nombres premiers de mersenne. Il y a 36 nombres premiers de Pierpont inférieurs à 106, 59 inférieurs à 109, 151 inférieurs 1020, et 789 inférieurs à 10100; conjecturellement, il y a O(log N) premiers de Pierpont plus petits que N, en comparaison de la conjecture O(log log N) premiers de Mersenne plus petits que N.

Les nombres de Pierpont connus en tant que facteurs de nombres de Fermat[modifier | modifier le code]

Dans le cadre de la recherche internationale de facteurs de facteurs premiers de nombres de Fermat, des nombres premiers de Pierpont ont été annoncé comme tels. La table suivante[1] donne des valeurs de m, k, et n tels que :

k\cdot 2^n + 1\text{ divise }2^{2^m} + 1. \,
k\cdot 2^n + 1 est un premier de Pierpont quand k est une puissance de 3; :2^{2^m} + 1. \, est un nombre de Fermat.
m k n année de découverte Chercheurs
38 3 41 1903 Cullen, Cunningham & Western
63 9 67 1956 Robinson
207 3 209 1956 Robinson
452 27 455 1956 Robinson
9428 9 9431 1983 Keller
12185 81 12189 1993 Dubner
28281 81 28285 1996 Taura
157167 3 157169 1995 Young
213319 3 213321 1996 Young
303088 3 303093 1998 Young
382447 3 382449 1999 Cosgrave & Gallot
461076 9 461081 2003 Nohara, Jobling, Woltman & Gallot
672005 27 672007 2005 Cooper, Jobling, Woltman & Gallot
2145351 3 2145353 2003 Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
2478782 3 2478785 2003 Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot

De 2008 à 2011, le plus grand nombre premier de Pierpont connu est 3 · 22478785 + 1[2], dont la primalité fut prouvée par John B. Cosgrave (en) en 2003 avec un logiciel de Paul Jobling, George Woltman, et Yves Gallot[3]. En 2011, le plus grand nombre premier de Pierpont connu est 3 · 27033641 + 1[2], dont la primalité a été prouvée par Michael Herder en 2011.

En mathématiques des origamis, les axiomes de Huzita définissent six des sept types de pliage possibles. Il a été montré que ces pliages sont suffisants pour permettre de former n'importe quel polygone régulier à N côtés, tant que N > 3 et de la forme 2m3nρ, où ρ est le produit de nombres premiers de Pierpont distincts. C'est la même classe de polygones réguliers que ceux que l'on peut construire au compas, à la règle, et au trisecteur d'angle. Les polygones réguliers qui peuvent être construits avec seulement un compas et une règle (Construction à la règle et au compas#Polygones réguliers) correspondent au cas spécial où n = 0 et ρ est le produit de nombres premiers de Fermat distincts, eux-mêmes un sous-ensemble des nombres premiers de Pierpont.

Le plus petit nombre premier qui ne soit pas un nombre premier de Pierpont (ou de Fermat) est 11, donc le hendécagone est le plus petit polygone régulier qui ne peut pas être construit au compas, à la règle, et au trisecteur d'angle. Tous les autres n-gones réguliers avec 3≤n≤21 peuvent être construits au compas, à la règle, et au trisecteur d'angle (si besoin).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Wilfrid Keller, Fermat factoring status.
  2. a et b Chris Caldwell, The largest known primes at The Prime Pages.
  3. Proof-code: g245 at The Prime Pages.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]