Nombre premier de Ramanujan

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En mathématiques, un nombre premier de Ramanujan est un nombre premier qui satisfait un résultat démontré par Srinivasa Ramanujan relatif à la fonction de compte des nombres premiers.

Origines et définition[modifier | modifier le code]

En 1919, Ramanujan publia une nouvelle démonstration[1] du postulat de Bertrand qui, dit-il, fut d'abord démontré par Chebyshev. À la fin des deux pages publiées, Ramanujan déduisit un résultat généralisé, qui est :

\pi(x) - \pi(x/2) ≥ 1, 2, 3, 4, 5, ... pour tout x ≥ 2, 11, 17, 29, 41, ... suite A104272 de l'OEIS respectivement,

\pi(x) est la fonction de compte des nombres premiers, qui est le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x.

L'expression de ce résultat est la définition des nombres premiers de Ramanujan, et les nombres 2, 11, 17, 29, 41 sont les premiers nombres conformes à cette définition. Autrement dit :

Le nième premier de Ramanujan est l'entier Rn qui est le plus petit à satisfaire la condition
\pi(x) - \pi(x/2)n, pour tout xRn[2].

Une autre façon de poser ce résultat est:

Les nombres premiers de Ramanujan sont les entiers Rn qui sont les plus petits à garantir qu'il y a n premiers entre x et x/2 pour tout xRn.

Puisque Rn est le plus petit nombre conforme à ces conditions, il doit être premier: \pi(x) - \pi(x/2) et donc \pi(x) doivent augmenter en obtenant un autre nombre premier x = Rn. Puisque \pi(x) - \pi(x/2) peut augmenter d'au moins 1,

\pi(Rn) - \pi(Rn/2) = n.

Liste de nombres premiers de Ramanujan[modifier | modifier le code]

Les premiers éléments de la suite des nombres premiers de Ramanujan sont :

2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, 149, 151, 167, 179, 181, 227, 229, 233, 239, 241, 263, 269, 281, 307, 311, 347, 349, 367, 373, 401, 409, 419, 431, 433, 439, 461, 487, 491, etc.

Inégalités et équivalents[modifier | modifier le code]

Pour tout n ≥ 1,

2n ln 2n < Rn < 4n ln 4n

Si n > 1, alors

p2n < Rn < p3n,

pn est le nième nombre premier.

Si n tend vers l'infini, Rn est équivalent au 2nième premier, i.e.,

Rn ~ p2n,

et donc, en utilisant le théorème des nombres premiers,

Rn ~ 2n ln n.

Tous ces résultats sont démontrés dans l'ouvrage "Ramanujan primes and Bertrand's postulate"[3], excepté l'inégalité ci-dessus Rn < p3n, qui fut conjecturée par Jonathan Sondow et démontrée par Shanta Laishram.

Références[modifier | modifier le code]

  1. S. Ramanujan, "A proof of Bertrand's postulate". Journal of the Indian Mathematical Society 11 (1919), 181–182. [1]
  2. Jonathan Sondow, Ramanujan Prime from MathWorld
  3. J. Sondow, "Ramanujan primes and Bertrand's postulate". Amer. Math. Monthly 116 (2009), 630–635. [2]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]