Fonction négligeable

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Page d'aide sur l'homonymie Ne pas confondre avec Ensemble négligeable en théorie de la mesure

En mathématiques, la notion de prépondérance ou de négligeabilité exprime le fait qu'une fonction numérique « l'emporte » localement sur une autre. On dit que la première fonction est prépondérante devant la deuxième ou que la deuxième fonction est négligeable devant la première.

En physique, une quantité l'est par rapport à une autre si ses effets le sont par rapport à ceux de l'autre. Par exemple, la masse d'une fourmi est négligeable devant celle d'un l'éléphant, et la masse de l'ensemble peut être assimilée à celle du pachyderme.

Définition en mathématiques[modifier | modifier le code]

Soient I une partie de \R, a un point de l'adhérence de I, f et g des applications de I vers \R

Lorsque a est réel, on dit que f est négligeable devant g (ou que g est prépondérante devant f) au voisinage de a si et seulement si :

\forall\varepsilon >0,\,\exists \eta>0,\,x\in]a-\eta,a+\eta[\cap I\Rightarrow\,\left|f(x)\right| \le \varepsilon\,\left|g(x)\right|

Dans le cas où a est égal à +\infty, on dit que f est négligeable devant g au voisinage de a si et seulement si :

\forall\varepsilon >0,\,\exists A>0,\,x\in[A,+\infty[\cap I\Rightarrow\,\left|f(x)\right| \le \varepsilon\,\left|g(x)\right|

Une définition équivalente et plus utile en pratique pour montrer qu'une fonction l'emporte sur l'autre au voisinage d'un point a est, dans le cas où g est (sauf peut-être en a) non nulle sur un voisinage de a: f est négligeable devant g au voisinage de a si et seulement si :

\lim_{x\rightarrow a, x\not=a}{f(x) \over g(x)} = 0

On écrit alors f =_{a} o(g) qui se lit « f est un petit o de g au voisinage de a ». C'est une des notations de Landau.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Si f_1=_a o(g)\, et f_2=_a o(g)\, alors pour tous réels \alpha et \beta, \alpha\,f_1 + \beta\,f_2=_a o(g)\,
  • Si f_1=_a o(g_1)\, et f_2=_a o(g_2)\, alors f_1 . f_2=_a o(g_1.g_2)\,
  • Si f=_a o(g)\, et h\, bornée au voisinage de a alors h.f=_a o(g)\,
  • Si f_1 =_a o(g)\, et f_2 =_a o(f_1)\, alors f_2 =_a o(g)\, (transitivité)
  • f \sim_a g \Leftrightarrow f - g =_a o(g) \Leftrightarrow f =_a g + o(g)

Échelle de comparaison[modifier | modifier le code]

Une échelle de comparaison E_a est une famille de fonctions définies au voisinage de a (sauf peut-être en a), non-équivalentes à 0 en a, telle que :

\forall (f,g) \in {E_a}^2,\, f\ne g\ \Rightarrow (f=_a o(g)\  \mathrm{ou} \ g=_a o(f))\,

Partie principale d'une fonction par rapport à une échelle[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Soient une fonction f\, définie dans un voisinage V de a (sauf peut-être en a), ne s'annulant pas sur V-\{a\}\,, E_a\, une échelle de comparaison en a. On dit que f\, admet la fonction g \in E_a\, comme partie principale par rapport à l'échelle E_a\, si et seulement s'il existe un réel A non nul tel que f \sim_a A.g (ou f =_a A.g + o(g)).

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Unicité en cas d'existence
  • Soient f_1\, et f_2\, admettant respectivement g_1\, et g_2\, comme partie principale par rapport à l'échelle de comparaison E_a\,. La partie principale de f_1.f_2\, par rapport à l'échelle de comparaison E_a\, est la fonction g_1.g_2\,
  • Soient f_1\, et f_2\, admettant respectivement g_1\, et g_2\, comme partie principale par rapport à l'échelle de comparaison E_a\,.
  1. Si g_1 =_a o(g_2)\, alors g_2\, est la partie principale de f_1 + f_2\, par rapport à l'échelle de comparaison E_a\,.
  2. Si g_2 =_a o(g_1)\, alors g_1\, est la partie principale de f_1 + f_2\, par rapport à l'échelle de comparaison E_a\,.
  3. Si g_1 = g_2\, et que A_1 + A_2 \ne 0\, alors g_1\, est la partie principale de f_1 + f_2\, par rapport à l'échelle de comparaison E_a\,.

Comparaison pour les suites[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Une suite (u_n)\, de nombres réels est dite négligeable devant une suite réelle (v_n)\, lorsque :

\forall\varepsilon >0,\,\exists N\in\N,\,n\ge N\,\Rightarrow\,|u_n| \leq \varepsilon |v_n|.

Une définition équivalente : une suite (u_n)\, de nombres réels est dite négligeable devant une suite réelle (v_n)\, lorsqu'il existe une suite (\varepsilon_n)_{n\geq N_0}\, de limite nulle telle que :

\forall n\geq N_0,\, u_n=\varepsilon_nv_n\,

On note: u_n=o(v_n).\,

Proposition équivalente[modifier | modifier le code]

Une définition plus utile en pratique pour montrer qu'une suite est négligeable devant une autre est, lorsque (v_n)\, ne s'annule pas à partir d'un certain rang :

u_n=o(v_n) \Leftrightarrow \lim_{n \to +\infty}\frac{u_n}{v_n}=0.\,

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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