Théorème de Mertens

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Page d'aide sur l'homonymie Un autre théorème de Mertens, en analyse, porte sur le produit de Cauchy de deux séries.

En théorie des nombres, trois théorèmes de Mertens, démontrés en 1874 par Franz Mertens[1], sont reliés à la densité des nombres premiers.

Dans ce qui suit, par convention, une indexation par pn ne porte que sur les nombres premiers p inférieurs à n.

Premier théorème[modifier | modifier le code]

\forall n\ge1,~\left|\sum_{p\le n}\frac{\ln p}p-\ln n\right|<2.

La démonstration utilise la formule de Legendre sur les valuations p-adiques de n !.

Deuxième théorème[modifier | modifier le code]

\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{p\le n}\frac1p-\ln\ln n-M\right)=0,

M est la constante de Meissel-Mertens.

Plus exactement, Mertens montre que l'expression sous la limite n'excède pas en valeur absolue

\frac4{\ln(n+1)}+\frac2{n\ln n}\ \  (n\ge 2).

Importance historique[modifier | modifier le code]

Ce théorème est le résultat principal de l'article de Mertens, qui se réfère au comportement asymptotique de la somme des inverses des nombres premiers jusqu'à une limite donnée (il utilise la lettre G, sans doute pour "Grösse", on préfère x de nos jours) comme à une "formule curieuse de Legendre". Mertens rappelle que ladite formule se trouve dans la troisième édition de la Théorie des nombres de Legendre (1830; en fait elle se trouve déjà dans la seconde édition de 1808), et qu'une version précise a été démontrée par Tchebychev en 1851[2]. On peut noter qu'Euler, en 1737 déjà, avait découvert le comportement asymptotique de cette somme[3]. Mertens annonce diplomatiquement une preuve plus précise et rigoureuse. Mais en réalité, aucune des preuves précédentes n'est valable selon des critères modernes: celle d'Euler parce qu'elle fait appel à des quantités infinies (l'infini, le logarithme hyperbolique de l'infini, et le logarithme du logarithme de l'infini!); celle de Legendre qui est un argument heuristique; et finalement celle de Tchebychev, tout à fait rigoureuse mais qui fait appel à la conjecture de Legendre-Gauss, laquelle ne sera démontrée qu'en 1896 et qui sera baptisée ensuite le théorème des nombres premiers.

La preuve de Mertens ne fait usage d'aucune hypothèse non démontrée, et s'obtient par des arguments élémentaires d'analyse réelle. Elle précède de 22 ans la première démonstration du théorème des nombres premiers qui, elle, fera un usage essentiel du comportement de la fonction zêta de Riemann dans le plan complexe. En cela, elle est tout à fait remarquable: l'argument simple de Mertens livre en effet une estimation dont on sait maintenant qu'elle est "presque" équivalente au théorème des nombres premiers, dans le sens suivant. Avec une notation moderne, le théorème de Mertens s'écrit

\sum_{p\le x}\frac1p=\log\log x+M+O(1/\log x)

et le théorème des nombres premiers (sous sa forme la plus simple, sans évaluation du reste), est équivalent à[4]

\sum_{p\le x}\frac1p=\log\log x+M+o(1/\log x).


Troisième théorème[modifier | modifier le code]

\prod_{p\le n}\left(1-\frac1p\right)=\frac{e^{-\gamma}}{\ln n}\left(1+O\left(\frac1{\ln n}\right)\right) \ \ (n\ge2),

\gamma est la constante d'Euler-Mascheroni.

Note et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Mertens' theorems » (voir la liste des auteurs)

  1. (de) F. Mertens, « Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie », J. reine angew. Math., vol. 78,‎ 1874, p. 46-62
  2. P.L. Tchebychev. Sur la fonction qui détermine la totalité des nombres premiers. Mémoires présentés à l'Académie Impériale des Sciences de St-Pétersbourg par divers savants, VI 1851, 141-157
  3. Leonhard Euler. Variae observationes circa series infinitas. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9 (1737), 160-188
  4. Quoique cette équivalence n'y est pas explicitement mentionnée, elle s'obtient par exemple facilement à l'aide du chapitre I.3 de: G. Tenenbaum. Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres. Cours spécialisés 1. Société Mathématique de France, Paris 1995.

Liens externes[modifier | modifier le code]