Théorème de Mertens

En théorie des nombres, trois théorèmes de Mertens, démontrés en 1874 par Franz Mertens, sont reliés à la densité des nombres premiers.

Dans ce qui suit, par convention, une indexation par p ≤ n ne porte que sur les nombres premiers p inférieurs à n.

Premier théorème

$\forall n\ge1,~\left|\sum_{p\le n}\frac{\ln p}p-\ln n\right|<2.$

La démonstration utilise la formule de Legendre sur les valuations p-adiques de $n !$.

Deuxième théorème

$\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{p\le n}\frac1p-\ln\ln n-M\right)=0,$

où $M$ est la constante de Meissel-Mertens.

Plus exactement, Mertens montre que l'expression sous la limite n'excède pas en valeur absolue

$\frac4{\ln(n+1)}+\frac2{n\ln n}\ \ (n\ge 2).$

Troisième théorème

$\prod_{p\le n}\left(1-\frac1p\right)=\frac{e^{-\gamma}}{\ln n}\left(1+O\left(\frac1{\ln n}\right)\right) \ \ (n\ge2),$

où $\gamma$ est la constante d'Euler-Mascheroni.

Note et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Mertens' theorems » (voir la liste des auteurs)

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Mertens' Second Theorem », MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Mertens' Theorem », MathWorld (troisième théorème)