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l’Analyse et des Systèmes dynamiques

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Présentation

L'analyse est une branche des mathématiques comprenant l’étude des fonctions d’une ou plusieurs variables, mais aussi des suites et séries, de leur limite éventuelle et plus généralement des systèmes dynamiques.

Trouvant ses origines d'une part dans certaines méthodes de calcul pour des mesures géométriques, d'autre part dans l'approximation et la comparaison de grandeurs numériques, l'analyse prend son essor avec le calcul infinitésimal. Elle est aujourd'hui subdivisée en plusieurs branches et a donné lieu à plusieurs domaines des mathématiques, dont la topologie et la géométrie différentielles ou la théorie analytique des nombres, la théorie du potentiel

Image du jour
GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg

Portrait d'Isaac Newton, coinventeur du calcul infinitésimal et auteur d'une méthode d'approximation des zéros d'une fonction.

Sommaire
Panorama

Histoire de l'analyse[modifier | modifier le code]

méthode d'exhaustionEudoxe de CnideBhāskara IIméthode des indivisibles
histoire du calcul infinitésimalcalcul opérationnelnotation de Leibnizhistoire des fonctions trigonométriquesTraité de la roulettehistoire de la fonction zêta de Riemannhistoire de l'analyse fonctionnellefluxionÉléments d'analyse

NewtonLeibnizLaplaceLagrangeRiemannLebesgueFourierCauchyWeierstrass

Analyse algébrique[modifier | modifier le code]

arrondierreur d'arrondi
inégalité de Bernoulli
moyenne arithmétiquegéométrique (inégalité arithmético-géométrique) – moyenne harmonique

Analyse réelle[modifier | modifier le code]

L'analyse réelle est fondée sur la définition de l'ensemble des nombres réels par Dedekind et Cauchy. La notion de limite s'y exprime en termes d'intervalles et peut faire appel à l'infini avec la droite réelle achevée.

Approche élémentaire des fonctions[modifier | modifier le code]

1rightarrow.png Liste de fonctions numériques 1rightarrow.png Glossaire des fonctions


Vocabulaire élémentaire
fonctionexpressionvariablevaleurensemble de départensemble d'arrivéegraphedomaine de définitionimageantécédentpréimagerestrictioncompositionréciproque
Représentation graphique d'une fonction
Étude de fonction 
domaine de définitionpériodicitéparitécontinuitédérivabilitédérivée (seconde) – variationsextremumzérossignelimitescomparaison asymptotique
Courbe représentative 
tangentesasymptotesbranches paraboliquesconcavitépoints d'inflexionposition relativequadrantpente
Dérivation 
règle du produitfonctions composéesdérivation itérée (formule de Faà di Bruno) – théorème de Glaeser
Calcul de limites 
opérations (forme indéterminée) – compositionthéorème des gendarmesthéorème de la limite monotonedéveloppement asymptotique (équivalentnégligeable) – règle de L'Hôpital
Intégration 
primitiveintégrabilitéintégralethéorème fondamental de l'analyseintégration par partieschangement de variables (règles de Bioche)
Corollaires de la propriété de la borne supérieure 
théorème des valeurs intermédiairesde la bijectionde la moyenne
théorème des bornesthéorème de Rollethéorème des accroissements finisthéorème de Darbouxthéorème de la moyenne de Cauchy
Approximation locale 
approximation linéairethéorème de Taylordéveloppement limité
Régularité (par morceaux)
Lipschitzcondition de Hölderabsolue continuitécontinuité uniformevariation bornéesemi-continuité

Suites numériques[modifier | modifier le code]

Vocabulaire élémentaire 
suitetermerangsous-suiterelation de récurrenceraison
Exemples
arithmétiquesgéométriquesarithmético-géométriquesrécurrentes linéaires (FibonacciTribonacciPerrinPadovanPellLucas) – logistiques
Propriétés 
suites adjacentes (moyenne arithmético-géométrique) – équivalentes (formule de Stirling)
suite bornéesuite de Cauchysuite périodique
Convergence
limitelimites inférieure et supérieurelemme de Cesàrothéorème de Stolz-Cesàrolemme de l'escalier
valeur d'adhérencethéorème de Bolzano-Weierstrass
Applications 
développement décimalfraction continueproduit infiniproduit infini de Cantor
Vitesse de convergence des suites 
convergence linéaireconvergence quadratique

Séries numériques[modifier | modifier le code]

Exemples 
séries géométriquesharmoniquesérie des inverses des nombres premiersséries de RiemannBertrandGrandisérie alternée des entiers
série double
Propriétés 
série alternée (critère de convergence) – série télescopique
Convergence
convergence absolueconvergence inconditionnelle
règle de Cauchyrègle de d'Alembertrègle de Raabe-Duhamel
Autres résultats 
inégalité de Carlemanthéorème de réarrangement de Riemannlemme de Kronecker
Méthodes de calcul 
produit de Cauchysommation par partiessommation de Borel
Applications 
série d'EisensteinEngelLambertzêta rationnelle

Fonctions de plusieurs variables[modifier | modifier le code]

dérivée partielledérivée directionnelledifférentiellepoint critique (point col) – matrice hessiennegradientligne de niveaumultiplicateur de Lagrange

théorème de SardMongeSchwarzRademacherlemme de Hadamard

théorème d'Euler (fonction homogène)

laplacienfonction harmonique (sphériqueellipsoïdale)

intégrale curvilignelemme d'estimationintégrale multipleintégrale de surfacethéorème de Green

Analyse vectorielle[modifier | modifier le code]

divergencethéorème de flux-divergencerotationnelthéorème du gradientthéorème du rotationnelinégalité des accroissements finisNablamatrice jacobiennechamp de vecteurs (conservatifsolénoïdalirrotationnel) – champ scalairethéorème de Helmholtz-Hodge

Géométrie différentielle[modifier | modifier le code]

jetsingularitéthéorème de Stokesthéorème du redressementcourantflotflot géodésiquethéorème d'inversion localethéorème des fonctions implicites
difféomorphisme
forme différentiellethéorème de Poincaré

Suites de fonctions[modifier | modifier le code]

convergence simpleconvergence uniformeconvergence en moyenneconvergence en moyenne quadratique

théorème de la limite simple de Baireéquicontinuitéthéorèmes de Dini

Approximation de fonction (théorie de l'approximation
théorème d'approximation de Stone-Weierstrassapproximation de Bernsteinthéorème de Müntzthéorème de Chudnovskythéorème de Bernstein

Séries de fonctions[modifier | modifier le code]

convergence normalesérie de Taylorsérie de Fourier
série trigonométriqueinégalité de Bernstein
Série entière 
rayon de convergencefonction analytiquethéorème d'Abelsérie hypergéométriquesérie lacunaire

Analyse harmonique[modifier | modifier le code]

série de Fourierégalité de Parsevalthéorème de Fejérthéorème de Dirichletnoyau de DirichletFejérsomme de Fejérpolynôme trigonométrique
phénomène de Gibbsapproximation sigmadensité spectrale

théorème de Riemann-Lebesguethéorème de Plancherelthéorème de Riesz-Fischerthéorème de Balian-Low lemme de Calderón-Zygmundthéorème de Balian-Lowformule sommatoire de Poisson

Démonstration de problèmes[modifier | modifier le code]

problème de Dirichlet

Équations différentielles ordinaires[modifier | modifier le code]

Types d'équations différentielles ordinaires
autonomelinéaire (d'ordre 1d'ordre 2) – d'ordre 1 à variables séparées
Exemples 
équation différentielle de BernoulliClairautEulerLagrangeLiénardMathieuNewtonRiccatiSturm-LiouvilleVerhulst
Résolution
condition initialeproblème de Cauchythéorème de Cauchy-Lipschitz
méthode d'Eulervariation des constantesquadraturetransformée de Laplacewronskien:théorème de Wielandtthéorème de Bohr-Mollerupthéorème de Hölderthéorème d'inversion de Lagrange
équation aux q-différences
solution de forme ferméeséparation des variables
équation différentielle homogène (d'ordre nd'ordre 1)
théorème de Hartman-Grobman
théorème de Poincaré-Bendixsonthéorie de Sturm-Liouville
Équations aux dérivées partielles
théorème de Cauchy-Kowalevskilemme de Borelprincipe du maximumthéorème de Cauchy-Peano-Arzelà
équation de Laplaceéquation d'Euler-Lagrangecritère de Nagumoéquation biharmoniqueéquation d'ondeéquation de Helmholtzéquation de Korteweg et de Vrieséquation de Liénardéquation de Mathieuéquation de Navieréquation de Poissonéquation de Schrödinger semi-linéaireéquation de la chaleur (noyau de la chaleur) – Équations de Cauchy-Riemannéquations de LagrangeÉquations de Lotka-VolterraÉquations de Navier-Stokes
condition aux limites (initialedynamiquemêléepériodiquede DirichletNeumannRobin) – problème aux limitesthéorème d'unicité de Stokes
équation intégrale

Systèmes dynamiques[modifier | modifier le code]

système dynamique (de Lorenzmesuré) – cycle limiteattracteur (HénonLorenz) – billard de Sinaidécalage de Bernoullifer à cheval de Smaledynamique holomorpheeffet papillonoscillateur (de Van der Polà un degré de liberté) – pendule cycloïdalpoint fixeportrait de phaseprincipe du minimum de Pontryaginproblème à N corpstransformation du boulangersystème d'Anosov

théorème de Sarkovskiithéorèmes de point fixepoint d'accumulationthéorème de Poincaré-Bendixsonthéorème de récurrence de Poincaréthéorème de Floquet

théorie du chaosthéorie ergodique (théorème ergodique)

Théorie de l'intégration[modifier | modifier le code]

calcul intégral (calcul numérique d'une intégrale) – famille sommablefonction localement intégrablefonction simple
théorème de convergence dominéelemme de Fatoucarré sommablesomme de Riemannintégrale impropreintégrale de cheminlemme de Cousinpoint de Lebesgue
intégrale de : RiemannLebesgueKurzweil-HenstockStieltjes
intégrale impropreintégrale paramétrique
produit de convolutionvaleur principale de Cauchy
comparaison série-intégrale
inégalité de Jensenthéorème d'interversion série-intégraleinégalité de Wirtingerinégalité de Tchebychev pour les sommesinégalité de réarrangementinégalité de Younginégalité de Nesbittfonction maximale de Hardy-Littlewoodformule d'Euler-Maclaurinformule de Cauchy pour l'intégration successivelemme de Grönwallthéorème de Fubinithéorème de convergence dominéethéorème de convergence monotonethéorème de différentiation de Lebesgue

intégrales de Wallisintégrale de Gaussintégrale d'Eulerintégrale de Dirichletintégrale de Fresnel

Théorie de la mesure[modifier | modifier le code]

tribusigma-anneaumesureespace mesurableespace mesurépartie mesurablefonction mesurablesupport de mesure

Exemples 
mesure de comptagemesure de Diracmesure de Hausdorffmesure de Lebesgue
Propriétés 
mesure finiemesure sigma-finiemesure complèterégularité extérieure
Résultats 
théorème de Lusinpropriété Luzinlemme de transportthéorème de Radon-Nikodym-Lebesguethéorème d'Egoroffthéorème d'extension de Carathéodorythéorème de Borel-Cantelli
Constructions 
complétion d'une mesuremesure produitmesure secondairemesure signéemesure spectraletransformée de Stieltjes

Théorie géométrique de la mesureensemble rectifiable

Analyse complexe[modifier | modifier le code]

fonction multivaluéethéorème de Fatouthéorème de Goursatthéorème de Mergelyanthéorème de Moreraformule intégrale de Cauchyintégrale de Cauchythéorème intégral de Cauchysérie de Dirichletsérie d'Eisensteinsérie entièresérie hypergéométriquesérie de Laurentprolongement analytiquepôlezérorésidu (à l'infini) – singularité
formule d'Eulerconstantes de Landau
point de césure
théorème de Borellemme de Borel-Carathéodoryfonction holomorphefonction méromorphefonction entièreconjecture de Bieberbachlemme de Goursatprincipe de Harnackprincipe de l'argumentthéorème de Rouchéthéorème de Tsujithéorème de Weierstrass-Casoratithéorème des résidusthéorèmes de Picardthéorème de Liouvillethéorème de Mergelyanthéorème de Montelthéorème de relèvementthéorème de l'application ouvertethéorème de Gauss-Lucasthéorème de factorisation de Weierstrass
inégalité de Hilbertinégalité de Cauchy
fonction multiformebranche principalemonodromiepoint de branchement
forme modulaireformule d'Eulerformule de Jensenformule de Riemann-Siegellemme de Jordanlemme de Schwarzlemme de Hartogs
hypothèse de Riemann (généralisée) – théorème de la droite critique
indiceéquation différentielle holomorphe

fonction L (conjecture d'Artin) – série L de Dirichlet

Analyse fonctionnelle[modifier | modifier le code]

calcul des variations (lemme fondamental) – analyse fractionnairedérivée fonctionnelleformulation variationnelleformulation faible fonctionnellelemme de Hadamardthéorème de Banach-Steinhausthéorème de Hahn-Banachthéorème de Lax-Milgramthéorème de Mercerthéorème de Riemann-Lebesgueformulation faibleproblème de l'obstaclethéorème d'Ascolithéorème de Banach-Mazurthéorème de MercerThéorème d'AscoliThéorème de BaireThéorème de Banach-AlaogluThéorème de Banach-SchauderThéorème de Banach-SteinhausThéorème du graphe ferméThéorème de Hahn-BanachThéorème de Lax-Milgramthéorème de Fréchet-Kolmogorovthéorème de Rellichthéorème de Riesz-Fischerthéorème de Meyers-Serrin H=Wthéorèmes de Dinipropriété de Daugavetthéorème de représentation de Rieszthéorème de Borel

espace fonctionnelespace de suites lpespace L1espace L2 (carré sommable) – espace Lpespace Lespace de suites lpespace d'interpolationespace de Banachespace de Hilbertespace de Schwartzespace de Sobolevalgèbre de Banachalgèbre de von Neumannalgèbre norméeC*-algèbreapproximant de Padécalcul des variations inégalité de Minkowskiinégalité de Hölderinégalité de Korninégalité de Poincaréinégalité de Wirtinger

dérivée fonctionnelle
Transformées
HilbertLaplace (bilatérale) – Fourier (discrèteà court terme) – Fourier-MukaiMellinMöbiusShanksStieltjesWalshen Wen Zen cosinus discrèteen ondelettes continue
lifting en ondelettesthéorème de Plancherel
calcul opérationnel

Théorie des opérateurs[modifier | modifier le code]

norme d'opérateuralgèbre d'opérateursdéterminant de Fredholmfonction propre

Exemples 
opérateur laplacienopérateur laplacien vectoriellaplacien discretopérateur bilaplaciend'alembertienopérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsingopérateur de différence

opérateur différentielopérateur intégralopérateur pseudo-différentiel

Théorie des distributions[modifier | modifier le code]

distribution de Diracfonction de Greenpeigne de Diracdistribution tempérée

Analyse constructive[modifier | modifier le code]

suite de Speckerunzerlegbarkeit

Analyse non standard[modifier | modifier le code]

ensemble standardinfiniment petitAbraham RobinsonEdward Nelsonnombre hyperréelprincipe d'idéalisationprincipe de standardisation

Analyse numérique[modifier | modifier le code]

lissageméthode de la phase stationnaireméthode du point coltechnique de relaxation (dynamiquecontinue) – delta-2méthode de Monte-Carlooptimisationoptimisation linéaireoptimisation quadratiqueméthode des éléments finisméthode de Galerkincalcul numériquecritères de Wolfedescente de gradientdifférence finiedifférences diviséesséparation et évaluationextrapolation de RichardsonBFGSméthode de Newmarkméthode des caractéristiquesintégration de Verletproblème bien poséthéorème de Laxthéorème de Lax-Wendroffstabilité d'un schéma numériquethéorème de Sturmthéorème de Laguerrerecherche linéaireconditions de Kuhn-Tucker

ondeletteondelette de Haar

sous-différentiel

problème de l'obstacle

phénomène de Runge

linéarisation équivalente

Algorithmes numériques 
calcul de la racine n-ième d'un nombreméthode de Héron
résolution numérique des équations différentielles : méthode des volumes finisméthode des éléments finisméthode des éléments finis de frontièreméthode des différences finiesméthodes de Runge-Kutta
recherche des zéros d'une fonction : interpolation quadratique inverseiteration de Halleyitération de Householderméthode de Brentméthode de Laguerreméthode de Müllerméthode de Newtonméthode de Quasi-Newtonméthode de dichotomieméthode de la fausse positionméthode de la sécante
résolution de système linéaire : méthode des momentsméthode du gradient conjuguéméthode du gradient biconjugué
calcul numérique d'une intégrale : formules de Newton-Cotesméthode de Rombergméthode de la phase stationnaireméthode du point colméthodes de quadrature de Gaussméthode du point médian

Analyse p-adique[modifier | modifier le code]

théorème de Mahler

Théorie analytique des nombres[modifier | modifier le code]

théorème des nombres premiersthéorème de Mertensproblème de Bâleproduit eulérien

Autres[modifier | modifier le code]

théorie de Galois différentiellethéorie du potentielthéorie du transport

Applications[modifier | modifier le code]

mécanique hamiltonienne

Analyse du signal 
domaine fréquentiel