Nombre premier de Stern

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Un nombre premier de Stern (du nom de Moritz Abraham Stern), est un nombre premier qui n'est pas la somme d'un nombre premier et du double du carré d'un nombre entier non nul.

Ou pour transcrire cela algébriquement, un nombre premier q est de Stern si pour tout entier b non nul, q - 2b2 n'est pas un nombre premier.

Liste des nombres premiers de Stern[modifier | modifier le code]

Les nombres premiers de Stern connus sont[1],[2]:

2, 3, 17, 137, 227, 977, 1 187, 1 493.

Ainsi, par exemple, si l'on tente de soustraire de 137 les premiers doubles de carrés, on obtient 135, 129, 119, 105, 87, 65, 39, 9, dont aucun n'est premier ; le nombre premier 137 est donc de Stern.

Par contre le nombre premier 139 n'est pas de Stern, car 139 = 137 + 2(12), ou 139 = 131 + 2(22), etc.

Propriétés[modifier | modifier le code]

En fait, beaucoup de nombres premiers ont plus d'une telle représentation q - 2b2. Pour une paire de nombres premiers jumeaux donnée, le plus grand des deux s'écrit p + 2(12). Et si ce nombre premier p+2 est le plus grand, p' +8, d'un quadruplet de nombres premiers, alors il s'écrit aussi p'  + 2(22).

Une représentation de Goldbach d'un entier est une décomposition de ce nombre sous la forme p + 2b2 avec p premier ou égal à 1 et b entier éventuellement nul. La suite A007697 de Sloane[3] a pour ne terme le plus petit nombre impair admettant au moins n représentations de Goldbach. Leonhard Euler a observé que plus les nombres sont grands, plus ils ont de représentations de Goldbach, suggérant que la liste des nombres premiers de Stern serait finie.

Cette liste pourrait même être non seulement finie, mais réduite aux huit nombres ci-dessus. Selon Judson S. McCranie, ce sont les seuls nombres premiers de Stern parmi les 100 000 premiers nombres premiers. Ces huit nombres premiers de Stern ont des représentations de Waring plus performantes que leur manque de représentations de Goldbach ne le laisserait penser. Christian Goldbach a conjecturé dans une lettre à Leonhard Euler que tout nombre impair possède au moins une représentation de Goldbach. Laurent Hodges[4] pense que Stern s'est intéressé au problème après avoir lu la correspondance de Goldbach.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Suite A042978 de l'encyclopédie en ligne des suites de nombres entiers
  2. Le nombre 1 étant à l'époque considéré comme premier, 3 ne faisait pas partie de la liste de Stern car il peut s'écrire 1 + 2(1²). Le reste de la liste était identique.
  3. (en) Suite A007697 de l'encyclopédie en ligne des suites de nombres entiers
  4. (en) L. Hodges, A lesser-known Goldbach conjecture, Math. Mag. 66 (1993), 45-47

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]