Nombre premier de Sophie Germain

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Un nombre premier p est appelé nombre premier de Sophie Germain, noté G dans cet article, si 2p + 1 est aussi un nombre premier. Le nombre premier résultant (2G + 1), noté S dans cet article, est alors appelé nombre premier sûr.

Un corollaire du théorème de Sophie Germain est que pour ces nombres premiers particuliers, le premier cas du dernier théorème de Fermat est vrai, c'est-à-dire qu'il n'existe pas d'entiers x, y, z tous trois non divisibles par p tels que xp + yp = zp.

Il est conjecturé qu'il existe une infinité de nombres premiers de Sophie Germain ; cependant, comme pour la conjecture des nombres premiers jumeaux, ceci n'a pour le moment pas été démontré.

Listes de nombres premiers de Sophie Germain[modifier | modifier le code]

Les quarante-cinq premiers nombres premiers de Sophie Germain sont (voir suite A005384 de l'OEIS) :

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1 013, 1 019, 1 031, 1 049, 1 103, 1 223, 1 229 et 1 289.

Ils sont classés dans les deux tableaux ci-dessous, ordonnés sous la forme Gi inscrite en gras sous leur occurrence dans la liste complète des nombres premiers p, associés à leur nombre premier sûr noté Si = 2Gi + 1 dans la case immédiatement au-dessous.

Quantité de nombres premiers de Sophie Germain[modifier | modifier le code]

Une estimation heuristique pour la quantité de nombres premiers de Sophie Germain inférieurs à n est 2C2 n / (ln n)² où C2 est la constante des nombres premiers jumeaux, approximativement égale à 0,660161. Pour n = 104, cette estimation prédit 156 nombres premiers de Sophie Germain, qui est de 20 % d'erreur comparé à la valeur exacte de 190 ci-dessus. Pour n = 107, l'estimation prédit 50 822, qui est d'un écart de 10 % par rapport à la valeur exacte de 56 032.

Chaîne de Cunningham[modifier | modifier le code]

Une suite {p, 2p + 1, 2(2p + 1) + 1, ...} de nombres premiers de Sophie Germain est appelée une chaîne de Cunningham de première espèce. Chaque terme d'une telle suite, à l'exception du premier et du dernier, est à la fois un nombre premier de Sophie Germain et un nombre premier sûr. Le premier est un nombre de Sophie Germain, le dernier un nombre premier sûr.

Référence[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sophie Germain prime » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Conjecture de Dickson

Lien externe[modifier | modifier le code]

« Nombres - Curiosités, théorie et usages : Nombres premiers de Sophie Germain », sur villemin.gerard.free.fr