Nombre premier de Sophie Germain

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Un nombre premier « p » est appelé nombre premier de Sophie Germain, noté « G » dans cet article, si « 2p + 1 » est aussi un nombre premier. Le nombre premier résultant (« 2G + 1 »), noté « S » dans cet article, est alors appelé nombre premier sûr.

Ces nombres premiers particuliers ont reçu une signification en raison de la démonstration de Sophie Germain à propos de la véracité du dernier théorème de Fermat pour de tels nombres premiers.

Il est conjecturé qu'il existe une infinité de nombres premiers de Sophie Germain ; cependant, comme pour la conjecture des nombres premiers jumeaux, ceci n'a pour le moment pas été démontré.

Listes de nombres premiers de Sophie Germain[modifier | modifier le code]

Les premiers nombres premiers de Sophie Germain, classés dans les « tableau 1 » et « tableau 2 » ci-dessus, sont (voir suite A005384 de l'OEIS) :

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1 013, 1 019, 1 031, 1 049, 1 103, 1 223, 1 229, 1 289,...

Nombres premiers de Sophie Germain compris entre 0 et 127[modifier | modifier le code]

Les nombres premiers de Sophie Germain, notés « G » dans le présent article et compris dans l'intervalle [0, 127], sont tous présentés dans le « tableau 1 » ci-dessous, ordonnés sous la forme « Gi » inscrite en gras sous leur occurrence dans la liste complète des nombres premiers « p », associés à leur nombre premier sûr noté « Si=2.Gi + 1  » dans la cellule immédiatement au-dessous.

Tableau 1 : Tous les nombres premiers « p » compris entre 0 et 127, dont les premiers de Sophie Germain « G » ; leurs premiers sûrs résultants « S = 2.G + 1 ».
décades
d'entiers n
première
décade
deuxième
décade
troisième
décade
quatrième
décade
cinquième
décade
sixième
décade
septième
décade
huitième
décade
neuvième
décade
dixième
décade
onzième
décade
douzième
décade
treizième
décade
entiers n = 00 à 09 10 à 19 20 à 29 30 à 39 40 à 49 50 à 59 60 à 69 70 à 79 80 à 89 90 à 99 100 à 109 110 à 119 120 à 127
premiers dont Gi et Si -[1] 11
G4 et S3
23
G5 et S4
31 41
G7
53
G8
61 71 83
G9 et S7
97 101 113
G11
127
S -[1] S4=23 S5=47 - S7=83 S8=107 - - S9=167 - - S11=227 -
premiers dont Gi et Si -[2] 13 29
G6
37 43 59
S6
67 73 89
G10
  103   (131)
(G12)
S -[2] - S6=59 - - - - - S10=179   -   (S12=263)
premiers dont Gi et Si 2
G1
17     47
S5
    79     107
S8
  (173)
(G13)
S S1=5 -     -     -     -   (S13=347)
premiers dont Gi et Si 3
G2
19                 109   (179)
(S10 et G14)
S S2=7 - - (S14=359)
premiers dont Gi et Si 5
G3 et S1
(191)
(G15)
S S3=11 (S15=383)
premiers dont Gi et Si 7
S2
(233)
(G16)
S - (S16=467)
sous-totaux des p, Gi, Si, par décade 4 p
3 G
2 S
4 p
1 G
1 S
2 p
2 G
1 S
2 p
0 G
0 S
3 p
1 G
1 S
2 p
1 G
1 S
2 p
0 G
0 S
3 p
0 G
0 S
2 p
2 G
1 S
1 p
0 G
0 S
4 p
0 G
1 S
1 p
1 G
0 S
1 p
0 G
0 S
Totaux et ratios A - A1 -
25 soit 25 % de nombres premiers « p » parmi les 100 entiers « n » compris entre 0 et 99, à comparer à :

10 soit 10 % de nombres premiers de Sophie Germain « G » parmi les 100 entiers « n » compris entre 0 et 99.
7 soit 7 % de nombres premiers sûrs « S » parmi les 100 entiers « n » compris entre 0 et 99.
- A2 -
46 soit 23 % de nombres premiers « p » parmi les 200 entiers « n » compris entre 0 et 199, à comparer à :
15 soit 7,5 % de nombres premiers de Sophie Germain « G » parmi les 200 entiers « n » compris entre 0 et 199.
10 soit 5 % de nombres premiers sûrs « S » dilués parmi les 200 entiers « n » compris entre 0 et 199.

 
Totaux et ratios B - B1 -
31 soit 24 % de nombres premiers « p » parmi les 128 entiers « n » compris entre 0 et 127, à comparer à :

11 soit 8,6 % de nombres premiers de Sophie Germain « G » parmi les 128 entiers « n » compris entre 0 et 127.
8 soit 6,25 % de nombres premiers sûrs « S » parmi les 128 entiers « n » compris entre 0 et 127.
- B2 -
54 soit 21 % de nombres premiers « p » parmi les 256 entiers « n » compris entre 0 et 255, à comparer à :
18 soit 7 % de nombres premiers de Sophie Germain « G » parmi les 256 entiers « n » compris entre 0 et 255[3].
11 soit 4,3 % de nombres premiers sûrs « S » dilués parmi les 256 entiers « n » compris entre 0 et 255.

Les dix-huit premiers nombres premiers de Sophie Germain sont (voir suite A005384 de l'OEIS) : 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251,...
Seuls les seize premiers nombres premiers de Sophie Germain sont classés dans ce tableau 1 ci-dessus.
À partir de « (131) », les nombres premiers ordinaires « p » intermédiaires ne sont plus indiqués.

Nombres premiers de Sophie Germain compris entre 0 et 1023[modifier | modifier le code]

Les nombres premiers de Sophie Germain, notés « G » dans le présent article et compris dans l'intervalle [0, 1023], sont présentés dans le « tableau 2 » ci-dessous, ordonnés sous la forme « Gi » inscrite en gras sous leur occurrence dans la liste complète des nombres premiers « p », associés à leur nombre premier sûr noté « Si=2.Gi + 1 » dans la cellule immédiatement au-dessous.

Tableau 2 : Tous les nombres premiers « p » compris entre 0 et 1023, dont les premiers de Sophie Germain « G » ; leurs premiers sûrs résultants « S = 2.G + 1 ».
centaines d'entiers n premier
cent
deuxième
cent
troisième
cent
quatrième
cent
cinquième
cent
sixième
cent
septième
cent
huitième
cent
neuvième
cent
dixième
cent
+ 23

1023
Typ Qté 00 10 20 00 10 20 00 10 00 10 00 10 00 10 00 10 00 10 00 10 00 10 00
p
Gi
Si
01 2
G1
31 73 101 151 199 211 269 307 367 401 461 503

S18
577 601 659
G30
701 769 809
G35
863

S23
907 977 1009
S   S1=5 - - - - - - - - - - - - - - S30=1319 - - S35=1619 - - - -
p
Gi
Si
02 3
G2
37 79 103 157   223 271 311 373 409 463 509
G26
587

S20
607 661 709 773 811 877 911
G36
983

S25
1013
G38
S   S2=7 - - - -   - - - - - - S26=1019 - - - - - - - S36=1823 - S38=2027
p
Gi
Si
03 5
G3
S1
41
G7
83
G9
S7
107

S8
163   227

S11
277 313 379 419
G22
467

S16
521 593
G27
613 673 719
G32
S21
787 821 881 919 991 1019
G39
S26
S   S3=11 S7=83 S9=167 - -   - - - - S22=839 - - S27=1187 - - S32=1439 - - - - - S39=2039
p
Gi
Si
04 7

S2
43 89
G10
109 167

S9
  229 281
G19
317 383

S15
421 479

S17
523 599 617 677 727 797 823 883 929 997 1021
S   - - S10=179 - -   - S19=563 - - - - - - - - - - - - - - -
p
Gi
Si
05 11
G4
S3
47

S5
97 113
G11
173
G13
  233
G16
283 331 389 431
G23
487 541   619 683
G31
733   827 887

S24
937   (1031)
(G40)
S   S4=23 - - S11=227 S13=347   S16=467 - - - S23=863 - -   - S31=1367 -   - - -   (S40= 2063)
p
Gi
Si
06 13 53
G8
127 179
G14
S10
  239
G17
293
G20
337 397 433 491
G25
547   631 691 739   829   941   (1049)
(G41)
S   - S8=107   - S14=359   S17=479 S20=587 - - - S25=983 -   - - -   - -   (S41= 2099)
p
Gi
Si
07 17 59

S6
  131
G12
181   241   347

S13
  439 499 557   641
G28
  743
G33
  839

S22
  947   (1103)
(G42)
S   - -   S12=263 -   -   -   - - -   S28=1283   S33=1487   -   -   (S42= 2207)
p
Gi
Si
08 19 61   137 191
G15
  251
G18
  349   443
G24
  563

S19
  643   751   853   953
G37
  (1223)
(G43)
S   - -   - S15=383 S18=503   -   S24=887   -   -   -   -   S37=1907   (S43= 2447)
p
Gi
Si
09 23
G5
S4
67   139 193   257   353   449   569   647   757   857   967   (1229)
(G44)
S   S5=47 -   - -   -   -   -   -   -   -   -   -   (S44= 2459)
p
Gi
Si
10 29
G6
71   149 197   263

S12
  359
G21
S14
  457   571   653
G29
  761
G34
  859   971   (1289)
(G45)
S   S6=59 -   - -   -   S21=759   -   -   S29=1307   S34=1523   -   -   (S45= 2579)
ss-totaux et ratios par cent 25 p → 25 %
10 G → 10 %
7 S → 7 %
21 p → 21 %
5 G → 5 %
3 S → 3 %
16 p → 16 %
5 G → 5 %
2 S → 2 %
16 p → 16 %
1 G → 1 %
3 S → 3 %
17 p → 17 %
4 G → 4 %
2 S → 2 %
14 p → 14 %
2 G → 2 %
3 S → 3 %
16 p → 16 %
4 G → 4 %
0 S → 0 %
14 p → 14 %
3 G → 3 %
1 S → 1 %
15 p → 15 %
1 G → 1 %
3 S → 3 %
14 p → 14 %
2 G → 2 %
1 S → 1 %
4 p
2 G
1 S
Totaux et ratios A - A1 -
168 soit 16,8 % de nombres premiers « p » parmi les 1000 entiers « n » compris entre 0 et 999, à comparer à :

37 soit 3,70 % de nombres premiers de Sophie Germain « G » parmi les 1000 entiers « n » compris entre 0 et 999.
25 soit 2,50 % de nombres premiers sûrs « S » parmi les 1000 entiers « n » compris entre 0 et 999.
- A2 -
303 soit 15,2 % de nombres premiers « p » parmi les 2000 entiers « n » compris entre 0 et 1999, à comparer à :
? soit ? % de nombres premiers de Sophie Germain « G » parmi les 2000 entiers « n » compris entre 0 et 1999.
37 soit 1,85 % de nombres premiers sûrs « S » dilués parmi les 2000 entiers « n » compris entre 0 et 1999.

 
Totaux et ratios B - B1 -
172 soit 16,8 % de nombres premiers « p » parmi les 1024 entiers « n » compris entre 0 et 1023, à comparer à :

39 soit 3,81 % de nombres premiers de Sophie Germain « G » parmi les 1024 entiers « n » compris entre 0 et 1023.
26 soit 2,54 % de nombres premiers sûrs « S » parmi les 1024 entiers « n » compris entre 0 et 1023.
- B2 -
309 soit 15,1 % de nombres premiers « p » parmi les 2048 entiers « n » compris entre 0 et 2047, à comparer à :
? soit ? % de nombres premiers de Sophie Germain « G » parmi les 2048 entiers « n » compris entre 0 et 2047.
39 soit 1,90 % de nombres premiers sûrs « S » dilués parmi les 2048 entiers « n » compris entre 0 et 2047.

Les quarante-cinq premiers nombres premiers de Sophie Germain, classés dans le « tableau 2 » ci-dessus, sont (voir suite A005384 de l'OEIS) :
2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1 013, 1 019, 1 031, 1 049, 1 103, 1 223, 1 229, 1 289,...

À partir de 1 031, les nombres premiers ordinaires « p » intermédiaires ne sont plus indiqués.

Quantité de nombres premiers de Sophie Germain[modifier | modifier le code]

Une estimation heuristique pour la quantité de nombres premiers de Sophie Germain inférieurs à n est 2C2 n / (ln n)² où C2 est la constante des nombres premiers jumeaux, approximativement égale à 0,660161. Pour n = 104, cette estimation prédit 156 nombres premiers de Sophie Germain, qui est de 20 % d'erreur comparé à la valeur exacte de 190 ci-dessus. Pour n = 107, l'estimation prédit 50 822, qui est d'un écart de 10 % par rapport à la valeur exacte de 56 032.

Chaîne de Cunningham[modifier | modifier le code]

Une suite {p, 2p + 1, 2(2p + 1) + 1, ...} de nombres premiers de Sophie Germain est appelée une chaîne de Cunningham de première espèce. Chaque terme d'une telle suite, à l'exception du premier et du dernier, est à la fois un nombre premier de Sophie Germain et un nombre premier sûr. Le premier est un nombre de Sophie Germain, le dernier un nombre premier sûr.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. a et b Le nombre « 0 » n'est pas premier car il est divisible par plus de deux nombres, à savoir tous les autres entiers ; de plus il n'est pas divisible par lui-même. Par conséquent « 1 » = 2x0 + 1 n'est pas un nombre premier sûr.
  2. a et b Le nombre « 1 » n'est pas premier car il ne possède qu'un seul diviseur. Par conséquent « 3 » = 2x1 + 1 n'est pas un nombre premier sûr.
  3. Les deux nombres premiers de Sophie Germain complémentaires inférieurs à 256 qui n'apparaissent pas dans le tableau sont : G17=239 et G18=251.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

  • (en)oeis.org The OEIS Foundation - list A005384 : Sophie Germain primes p: 2p+1 is also prime (Formerly M0731)
  • villemin.gerard.free.fr Nombres - Curiosités, théorie et usages : Nombres premiers de Sophie Germain