Nombre premier primoriel

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En arithmétique, un nombre premier primoriel est un nombre premier de la forme n# + 1 (nombre d'Euclide) ou n# – 1, où n# désigne la primorielle d'un entier naturel n (produit de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à n).

Exemples[modifier | modifier le code]

Le produit vide étant égal à 1, le nombre d'Euclide 0# + 1 = 1# + 1 vaut 2. C'est donc le plus petit nombre premier primoriel.

Le k-ième nombre premier étant noté pk, les six plus petits indices k pour lesquels pk# – 1 est premier (suite A057704 de l'OEIS) sont 2, 3, 5, 6, 13 et 24 et les sept plus petits k pour lesquels le nombre d'Euclide pk# + 1 est premier (A014545) sont 1, 2, 3, 4, 5, 11 et 75.

Les douze plus petits nombres premiers primoriels après 2 sont donc donnés par les deux dernières colonnes de la table suivante :

k pk pk# – 1 pk# + 1
1 2 3
2 3 5 7
3 5 29 31
4 7 211
5 11 2 309 2 311
6 13 30 029
11 31 200 560 490 131
13 41 304 250 263 527 209
24 89 23 768 741 896 345 550 770 650 537 601 358 309

En 2010, les deux plus grands nombres premiers primoriels connus étaient p33 237# + 1 = 392 113# + 1 et p67 132# – 1 = 843 301# − 1. En 2012, ce record fut dépassé avec p85 586# – 1 = 1 098 133# – 1, un nombre à 476 311 chiffres.

Références[modifier | modifier le code]