Fonction zêta de Riemann

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La fonction zêta de Riemann ζ(s) dans le plan complexe. La couleur d'un point s code la valeur de ζ(s) : des couleurs vives indiquent des valeurs proches de 0 et la nuance indique l'argument de la valeur. Le point blanc pour s = 1 est le pôle ; les points noirs sur l'axe réel négatif (demi-droite horizontale) et sur la droite critique Re(s) =  1/2 (droite verticale) sont les zéros.
Carte des couleurs utilisées dans la figure du dessus.

En mathématiques, la fonction ζ de Riemann est une fonction analytique complexe qui est apparue essentiellement dans la théorie des nombres premiers. La position de ses zéros complexes est liée à la répartition des nombres premiers. Elle est aussi importante comme fonction modèle dans la théorie des séries de Dirichlet et se trouve au carrefour d'un grand nombre d'autres théories. Les questions qu'elle soulève sont loin d'être résolues et elle sert aussi de motivation et de fil conducteur à de nouvelles études, à l'instar du rôle joué par le grand théorème de Fermat.

Sommaire

Prologue[modifier | modifier le code]

La théorie de la fonction ζ de Riemann est presque tout entière dominée par la question de la répartition de ses zéros. Comme l'explique la théorie générale des fonctions analytiques, toute fonction méromorphe s'écrit comme le produit de facteurs faisant apparaître les pôles et les zéros de cette fonction. L'hypothèse de Riemann selon laquelle tous les zéros non triviaux de la fonction ζ de Riemann sont de partie réelle égale à 1/2 renforce encore l'intérêt pour ces zéros. Aussi la théorie s'est développée dans plusieurs directions. La première est celle de l'étude des zéros eux-mêmes. On a cherché à démontrer l'hypothèse de Riemann elle-même avant de se rendre compte des difficultés. L'objectif est alors devenu plus modeste : démontrer une partie de l'hypothèse de Riemann. D'un autre côté, la communauté mathématique croit en l'hypothèse de Riemann, aussi a-t-on cherché les conséquences de l'hypothèse de Riemann en prévision de sa démonstration. Cependant chaque nouvelle conséquence de l'hypothèse de Riemann est aussi une voie nouvelle pour l'infirmer.

Par exemple, on démontre que l'on a, sous l'hypothèse de Riemann, si C > e2γ, pour t assez grand :

|\zeta(1+\mathrm it)| \le C\ln \ln t.

Si l'on démontrait l'existence d'une suite (tn) tendant vers l'infini telle que

|\zeta(1+\mathrm it_n)| > C\ln \ln t_n,

il en serait fini de l'hypothèse de Riemann.

Les conséquences de l'hypothèse de Riemann sont nombreuses. On a ainsi cherché à les démontrer indépendamment de cette hypothèse, ce qui s'avéra parfois possible. Et chacune de ces conséquences est devenu un objectif en lui-même. Devant la difficulté posée par la démonstration de l'hypothèse de Riemann, on a aussi énoncé des hypothèses plus faibles qu'on a également tenté de démontrer, sans beaucoup plus de succès.

Le présent article commence par la définition de la fonction à partir de la série de Dirichlet puis cette définition est étendue au plan complexe privé de 1. On examine ensuite ce qui se passe en 1. La théorie de la fonction ζ de Riemann définit trois régions dans le plan complexe, la région de convergence Re(s) > 1, la bande critique 0 ≤ Re(s) ≤ 1, et la région Re(s) < 0. À partir de la relation fonctionnelle, le module de la fonction est estimé dans chacune de ces régions. Cela nécessite des formules permettant d'estimer la fonction ou d'autres fonctions qui lui sont liées. Puis on étudie les zéros. La relation fonctionnelle fournit les zéros réels et également l’ordre de ces zéros : ils sont simples. Dans la bande critique, il en existe une infinité. On estime donc ce nombre N(T) dans un rectangle de hauteur T. Le théorème de Hardy en place une infinité sur l'axe 1/2. On estime, avec beaucoup de difficulté, le nombre N0(T) des zéros dont la partie imaginaire est comprise entre 0 et T et dont la partie réelle est 1/2. Pour étudier la répartition des zéros, différentes quantités les faisant intervenir sont estimées. Enfin, les hypothèses classiques sont examinées : définitions, conséquences, critères équivalents.

Les recherches sur la fonction zêta constituent un domaine très technique. La plupart des preuves, nécessitant une formation spécialisée en théorie analytique des nombres, sont omises ici.

Premières considérations sur la fonction[modifier | modifier le code]

Définition par la série de Riemann[modifier | modifier le code]

Articles détaillés : Série de Riemann et Série de Dirichlet.
La fonction zêta de Riemann pour les réels s > 1

La fonction ζ de Riemann est une fonction analytique complexe méromorphe définie, pour tout nombre complexe s tel que Re(s) > 1, par la série de Riemann :

\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty{\frac1{n^s}} = 1 + \frac1{2^s} + \frac1{3^s} + \frac1{4^s} + \cdots.

D'après la théorie des séries de Dirichlet[note 1], on déduit que la fonction ainsi définie est analytique sur son domaine de convergence. La série ne converge pas en s = 1 car on a

\sum_{k=1}^{k=m}\frac1{k}\ge \int_1^{m+1} \frac{\mathrm{d}u}{u}= \ln (m+1)\,\!

qui tend vers l'infini avec m (voir l'article détaillé série harmonique pour d'autres démonstrations de ce résultat, et une estimation plus précise de la valeur des sommes partielles). La valeur s = 1 est donc une singularité de la fonction.

Liens avec quelques fonctions arithmétiques[modifier | modifier le code]

À partir de la série de Dirichlet de ζ on démontre les formules suivantes[1],[2].

Si Re(s) > 1 :

\frac{1}{\zeta(s)}=1-\dfrac1{2^s}-\dfrac1{3^s}-\dfrac1{5^s}+\dfrac1{6^s}-\dfrac1{7^s}+\dfrac1{10^s}-\dfrac1{11^s}+\ldots=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}\;,μ est la fonction de Möbius.

En 1899, La Vallée Poussin démontra qu'il existe une constante K telle que \textstyle\left|\sum_{n=1}^{x} \frac{\mu(n)}{n}\right|<\frac{K}{\ln x}\;, de sorte que la série précédente converge également pour s = 1, vers 0 :

0=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n}=1-\dfrac12-\dfrac13-\dfrac15+\dfrac16-\dfrac17+\dfrac1{10}-\dfrac1{11}-\dfrac1{13}+\dfrac1{14}+\dfrac1{15}-\dfrac1{17}-\dfrac1{19}+\dfrac1{21}+\dfrac1{22}+\ldots

Ce résultat, conjecturé par Euler, avait déjà été démontré par von Mangoldt en 1897[3]. Von Mangoldt utilise dans sa preuve le théorème des nombres premiers, démontré en 1896. Et ce dernier théorème est en fait équivalent à la convergence vers 0 de la série ci-dessus, comme l'a finalement établi Edmund Landau en 1911[4].

Si Re(s) > 1 :

\frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\mu(n)|}{n^s}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\mu(n))^2}{n^s}\;.

Si Re(s) > 1 :

\frac{\zeta^2(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{\nu(n)}}{n^s}\;, où ν(n) désigne le nombre de facteurs premiers distincts de n.

Si Re(s) > 1 :

\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\lambda(n)}{n^s}\;, où λ est la fonction de Liouville.

Si Re(s) > 2 :

\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{\varphi(n)}{n^s}\;, où φ est l'indicatrice d'Euler.

Si Re(s) > 1 :

\zeta^2(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\tau(n)}{n^s}\;,τ est la fonction nombre de diviseurs : \textstyle~\tau(n) = \sum_{d|n} 1.

Si Re(s) > 2 :

\zeta(s) \zeta(s-1)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma(n)}{n^s}, où σ est la fonction somme des diviseurs : \textstyle~\sigma(n)= \sum_{d |n} d\,\!.

Les deux dernières formules sont des cas particuliers de l'égalité valide pour Re(s) > max (1, Re(a) + 1) :

\zeta(s) \zeta(s-a)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s}, où σa est la fonction diviseur à la puissance a : \textstyle~\sigma_a(n)= \sum_{d |n} d^a.

Si Re(s) > 1 :

\frac{\zeta^3(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\tau(n^2)}{n^s}.

Cette formule est un cas particulier de l'égalité valide pour Re(s) > 1 + max (0, 2Re(a)) :

\frac{\zeta(s) \zeta(s-a)\zeta(s-2a)}{\zeta(2s-2a)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{a}(n^2)}{n^s}.

Si Re(s) > 1 :

\frac{\zeta^4(s)}{\zeta(2s)}
=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\tau(n))^2}{n^s}.

Si Re(s) > 1 :

\frac{\zeta(s)^2\zeta(s+\mathrm i\vartheta)\zeta(s-\mathrm i\vartheta)}{\zeta(2s)}
=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\sigma_{\mathrm i\vartheta}(n)|^2}{n^s}.

Ces deux formules sont des cas particuliers de la formule de Ramanujan[5] valable si Re(s) > 1 + max (0, Re(a), Re(b), Re(a + b)) :

\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}
=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}.

Valeurs de la fonction zêta pour s entier supérieur à 1[modifier | modifier le code]

Euler a calculé (dans le cadre de sa solution au problème de Bâle) la valeur de la fonction ζ pour les entiers positifs pairs en utilisant l'expression de \textstyle\frac{\sin x}x sous forme de produit infini ; il en a déduit la formule :

 \zeta(2k)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^{2k}} \ = \ \frac{|B_{2k}| \ (2\pi)^{2k}} {2 \, (2k)!}

valable pour tout entier positif k, où les B2k sont les nombres de Bernoulli. Nous avons des séries infinies convergentes[6] de somme exprimée à l’aide des puissances paires de π :

\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6} \quad ;  \quad
\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90} \quad ; \quad
\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945}\quad ; \quad
\zeta(8) = \frac{\pi^8}{9450} \quad ; \quad \dots

Pour les premières valeurs de k, il est aussi possible d'établir ces valeurs à l'aide de l'égalité de Parseval. Voir à ce propos la page : Exercices sur les séries de Fourier et la fonction zêta.


Pour les entiers impairs, le calcul n'est pas si simple. Ramanujan a beaucoup travaillé sur ces séries et Apéry a démontré en 1979 que ζ(3), qui vaut environ 1,2020569…, est irrationnel (voir les articles « Constante d'Apéry » et « Théorème d'Apéry »). En 2000, Tanguy Rivoal a démontré qu'il existe une infinité de nombres irrationnels parmi les valeurs aux entiers impairs. On conjecture que toutes les valeurs aux entiers impairs sont irrationnelles et même algébriquement indépendantes sur ℚ(π)[7], en particulier transcendantes.

Liens avec les nombres premiers[modifier | modifier le code]

Le lien entre la fonction ζ et les nombres premiers avait déjà été établi par Leonhard Euler avec la formule, valable pour Re(s) > 1 :

\zeta(s) \ = \ \prod_{p\in\mathcal{P}} \ \frac{1}{1-p^{-s}} = \frac1{\left(1-\frac1{2^s}\right) \left(1-\frac1{3^s}\right)\left(1-\frac1{5^s}\right)
   \cdots}

où le produit infini est étendu à l'ensemble \scriptstyle\mathcal P des nombres premiers. Cette relation est une conséquence de la formule pour les suites géométriques et du théorème fondamental de l'arithmétique. On appelle parfois cette formule produit eulérien.

Un autre lien existe avec cette fois la fonction de comptage π(x) des nombres premiers inférieurs ou égaux à x :

\pi(x)=\sum_{p \in \mathcal{P}, p\le x} 1.

On a en effet, pour Re(s) > 1 :

\ln \zeta(s) = s \int_2^\infty{\frac{\pi(u)}{u(u^s-1)}\mathrm du}.

En fait, la position des zéros de la fonction ζ de Riemann fournit la position des nombres premiers. On peut même trouver une formule exprimant chaque nombre premier en fonction des zéros de la fonction ζ de Riemann.

Expression intégrale[modifier | modifier le code]

On a la formule intégrale, classique depuis Euler, valide si Re(s) > 1 :

\zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^1 \frac{(-\ln u)^{s-1}}{1-u} \mathrm du

Γ désigne la fonction Gamma, ce qui (par changement de variable) équivaut à :

\zeta(s)=\frac1{\Gamma(s)}\int_0^{+\infty}\frac{t^{s-1}}{\mathrm e^t-1}\mathrm dt.

Dérivées de la fonction zêta[modifier | modifier le code]

Une expression de la dérivée de la fonction ζ est donnée par la série de Dirichlet, convergente si Re(s) > 1 :

 \zeta'(s) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots \right) = - \left(\frac{\ln 2}{2^s} + \frac{\ln 3}{3^s} + \frac{\ln 4}{4^s} + \cdots \right) = -\sum_{n=2}^\infty \frac{\ln n}{n^s}.

La dérivée d'ordre k est donnée par :

 \zeta^{(k)}(s) = (-1)^k \, \sum_{n=2}^\infty \frac{(\ln n)^k}{n^s}.

Extension à ℂ-{1}[modifier | modifier le code]

La fonction ζ admet un prolongement analytique à tout le plan complexe, sauf 1. Il existe plusieurs démonstrations, faisant appel à différentes représentations de la fonction ζ.

Par la formule d'Euler-MacLaurin[modifier | modifier le code]

La formule d'Euler-MacLaurin[8], appliquée à la fonction x ↦ x–s sur l'intervalle [1, N], donne pour tout entier n :

\sum_{r=1}^N r^{-s}={{1-N^{1-s}}\over {s-1}}+{{1+N^{-s}}\over {2}}+\sum_{k=2}^nB_k\frac{s(s+1)...(s+k-2)}{k!}(1-N^{-s-k+1}) -R_{n, N}(s),

où les coefficients Bk sont les nombres de Bernoulli,

R_{n, N}(s)={1\over {n!}}s(s+1)...(s+n-1)\int_1^N B_n(x-[x])x^{-s-n}\mathrm dx,\,\!

où les Bn(x) sont les polynômes de Bernoulli et où [x] désigne la partie entière de x.

En faisant tendre N vers l'infini et en restant dans le demi-plan Re(s) > 1, on en déduit pour tout entier n = 1, 2, 3… que

\zeta(s)={{1}\over {s-1}}+{1\over {2}}+\sum_{k=2}^nB_k\frac{s(s+1)...(s+k-2)}{k!}
 -\frac{s(s+1)...(s+n-1)}{n!}\int_1^\infty B_n(x-[x])x^{-s-n}\mathrm dx.\,\!

Les fonctions x ↦ Bn(x – [x]) étant périodiques, elles restent bornées sur l'intervalle d'intégration, donc l'intégrale à droite converge si Re(s) > 1 – n. Donc le membre de droite définit, sur Re(s) > 1 – n, une fonction ζn, holomorphe en dehors de 1, qui prolonge ζ. L'unicité du prolongement analytique montre que les fonctions ζn et ζn + 1 sont identiques sur Re(s) > 1 – n. Ces identités permettent donc de définir une unique fonction méromorphe sur tout le plan complexe (avec un seul pôle en 1), coïncidant avec la fonction ζ déjà définie pour Re(s) > 1 et qu'on appelle encore ζ.

Par une intégrale sur ℝ+[modifier | modifier le code]

On part de l'expression intégrale vue plus haut, pour tout complexe s tel que Re(s) > 1 :

\Gamma(s)\zeta(s)=\int_0^\infty\frac{t^{s-1}}{{\rm e}^t-1}\mathrm dt.

La continuation analytique est réalisée[note 2] en écrivant

\Gamma(s)\zeta(s)=\int_0^1\frac{t^{s-1}}{\mathrm e^t-1}\mathrm dt+\int_1^\infty\frac{t^{s-1}}{\mathrm e^t-1}\mathrm dt.

La seconde intégrale est une fonction holomorphe de s. On décompose en série de Taylor dans la première. Les Bn désignant les nombres de Bernoulli, comme on a, pour tout t tel que | t | < 2π

\frac t{{\rm e}^t-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n t^n}{n!},

en remplaçant dans la première intégrale et en intégrant terme à terme, on trouve

\zeta(s)=\frac1{(s-1)\Gamma(s)}+\frac1{\Gamma(s)}\sum_{n=1}^\infty\frac{B_n}{n!(n+s-1)}+\frac1{\Gamma(s)}\int_1^\infty\frac{t^{s-1}}{\mathrm e^t-1} \mathrm dt.

La série est convergente et définit une fonction holomorphe partout sauf aux entiers négatifs ou nuls (car pour s différent de ces valeurs, le rayon de convergence de la série entière de coefficients Bn/n! n'est pas modifié lorsqu'on divise ces coefficients par les n + s – 1) et de même, au voisinage d'un entier négatif k, elle est la somme d'une fonction holomorphe et du terme \textstyle\frac{B_{k+1}}{(k+1)!~(s+k)}.

Quand s tend vers k, Γ(s) ayant un pôle simple en s=-k , ζ(s) est par conséquent la somme d'une fonction qui tend vers 0 et du terme :

\frac1{\Gamma(s)}~\frac{B_{k+1}}{(k+1)!~(s+k)}~\underset{\overset{s\to-k}{}}{\sim}~\frac{s+k}{\text{Res}(\Gamma,-k)}~\frac{B_{k+1}}{(k+1)!~(s+k)}=(-1)^k~k!~\frac{B_{k+1}}{(k+1)!}.

Ainsi, le prolongement méromorphe de ζ à tout le plan complexe n'a de pôle qu'au point 1, et l'on obtient au passage la formule d'Euler :

\zeta(-k)=(-1)^k\frac{B_{k+1}}{k+1}.

Par une intégrale de contour[modifier | modifier le code]

La fonction ζ(s) se prolonge aussi analytiquement par l'intégrale

\zeta(s)=\frac{\mathrm e^{-\mathrm i\pi s}\Gamma(1-s)}{2\mathrm i\pi}\oint_C{\frac{u^{s-1}}{\mathrm e^u-1}\mathrm du} ,

Γ étant la fonction gamma.

C désigne un lacet longeant l'axe réel et englobant 0 parcouru de +∞ à +∞ dans le sens trigonométrique.

Une fois cette formule démontrée initialement pour Re(s) > 1, l'expression à droite restant valable pour tout valeur bornée de s définit donc une fonction analytique. D'après le théorème du prolongement analytique, elle représente le prolongement (sauf en s = 1) de la fonction ζ.

Par la formule sommatoire d'Abel[modifier | modifier le code]

Utilisant la formule sommatoire d'Abel, on trouve pour Re(s) > 1,

 \zeta(s)=\sum_1^\infty{\frac{1}{n^s}}=s\int_1^\infty{\frac{[u]}{u^{1+s}}\mathrm du}.\,\!

La partie entière [u] se décompose en u – {u}, où {u} désigne la partie fractionnaire de u. On a alors :

 \zeta(s)=\frac{s}{s-1}-s\int_1^\infty{\frac{\{u\}}{u^{1+s}}\mathrm du},\,\!

Comme {u} est toujours compris entre 0 et 1, l'intégrale est convergente pour Re(s) > 0. À partir du prolongement pour Re(s) > 0 et en appliquant la relation fonctionnelle (valide pour 0 < Re(s) < 1, voir plus loin), on obtient le prolongement pour Re(s) ≤ 0 (sauf en s = 0).

Par la fonction êta de Dirichlet[modifier | modifier le code]

On peut encore étendre la fonction ζ sur Re(s) > 0 à partir de la définition de la série alternée (appelée fonction êta de Dirichlet) :

\eta(s) =\sum_{n=1}^\infty{\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}}=1-\frac1{2^s}+\frac1{3^s}-\frac1{4^s}+\frac1{5^s}-\frac1{6^s}+\frac1{7^s}-\frac1{8^s}+\cdots.

Cette série est convergente pour s réel strictement positif, par application du critère des séries alternées ; il en est en fait de même pour Re(s) > 0, ce qui se démontre en utilisant le lemme d'Abel (on peut aussi montrer plus simplement la convergence absolue de la série \textstyle\sum_{n=1}^\infty \frac{ (2n)^s - (2n-1)^s }{(2n)^s(2n-1)^s}).

\text{Si}\quad\text{Re}(s)>1, \qquad\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} =  \eta(s) + 2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^s} = \eta(s) + \frac{2}{2^s} \zeta(s),\quad\text{donc}[note 3] : (1-2^{1-s})\zeta(s) =\eta(s),\quad\mathrm{d'o\grave u}[9]
\zeta(s)=\frac{\eta(s)}{1-2^{1-s}},

cela réalise ainsi le prolongement de la fonction ζ sur Re(s) > 0, sauf pour

s=1+\mathrm i\frac{2k\pi}{\ln(2)}\qquad(k\in\Z)

qui sont les zéros de 1 – 21 – s.

À partir du prolongement pour Re(s) > 0 et en appliquant la relation fonctionnelle (voir plus loin), on obtient le prolongement partout sauf en ces points.

Pour ces points, on peut appliquer soit la série de Dirichlet de 1/ζ, qui converge sur Re(s) = 1, soit une autre relation du même genre[10].

De ce que

0<\textstyle\frac{1}{3n-2}+\frac{1}{3n-1}-\frac{2}{3n}=\frac{1}{3n^2}+O\left(\frac1{n^3}\right),

O est la notation de Landau, on déduit que la série[11]

\zeta_3(s)=\sum_{n=1}^\infty{\left(\frac{1}{(3n-2)^s}+\frac{1}{(3n-1)^s}-\frac{2}{(3n)^s}\right)}=1+\frac1{2^s}-\frac2{3^s}+\frac1{4^s}+\frac1{5^s}-\frac2{6^s}+\frac1{7^s}+\frac1{8^s}-\frac2{9^s}+\cdots

est convergente pour Re(s) = 1[note 4]. En procédant comme pour la fonction η, on montre que :

\zeta(s)=\frac{\zeta_3(s)}{1-{3^{1-s}}}.

Il suffit donc de calculer la série seulement pour ces points car ln 3/ln 2 se trouvant irrationnel, le dénominateur 1 – 31 – s ne peut être nul en même temps que 1 – 21 – s (sauf pour s = 1).

La fonction êta vérifie également

\eta(s)= \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{\mathrm e^x+1}~\mathrm dx.

On déduit, pour Re(s) > 0, sous réserve de ce qui a été dit pour le prolongement par la fonction êta de Dirichlet pour les points s = 1 + 2ikπ/ln(2), l'expression intégrale :

\zeta(s)=\frac1{(1-2^{1-s})\Gamma(s)}\int_0^1 \frac{|\ln u|^{s-1}}{1+u} \mathrm du.\,\!

Par la formule de Landau ou celle de Ramaswami[modifier | modifier le code]

Dans les formules précédentes, il est à remarquer que le prolongement ne s'obtient que dans une portion du plan et qu'il faut utiliser la relation fonctionnelle pour avoir un prolongement au plan tout entier. Les deux formules qui suivent n'ont pas ce défaut. Ces deux autres méthodes de prolongement de ζ, sans conteste les plus simples, sont fondées, chacune, sur une formule exprimant ζ(s) en fonction de ζ(s + 1), ζ(s + 2), …

On a ainsi la formule publiée par Edmund Landau :

\zeta(s)-\frac1{s-1}=1-s\frac{\zeta(s+1)-1}{2!}-s(s+1)\frac{\zeta(s+2)-1}{3!}-s(s+1)(s+2)\frac{\zeta(s+3)-1}{4!}-\ldots

 

\zeta(s)-\frac1{s-1}=1-\sum_{n=1}^\infty s^{\overline{n}}\,\frac{\zeta(s+n)-1}{(n+1)!}\! ,

s^{\overline{n}} étant la factorielle croissante.

On a aussi la formule de Ramaswami[note 5] :

\eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s)=\frac{s}{1!}\frac{\zeta(s+1)}{2^{s+1}}+\frac{s(s+1)}{2!}\frac{\zeta(s+2)}{2^{s+2}}+\frac{s(s+1)(s+2)}{3!}\frac{\zeta(s+3)}{2^{s+3}}+\ldots

 

(1-2^{1-s})\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{s^{\overline{n}}}{n!} \frac{\zeta(s+n)}{2^{s+n}}.

Ces formules se démontrent par des manipulations classiques sur les termes des séries.

Le prolongement analytique s'effectue par bandes de largeur 1. La série de Dirichlet étant absolument convergente sur Re(s) > 1, la formule choisie prolonge sur Re(s) > 0. En appliquant à nouveau la formule, on prolonge à Re(s) > –1, et ainsi de suite.

Propriétés diverses de la fonction[modifier | modifier le code]

Développement de Laurent au voisinage de 1[modifier | modifier le code]

Thomas Joannes Stieltjes s'intéressa de près à la fonction ζ de Riemann. Il est l'auteur d'une tentative avortée de démonstration de l'hypothèse de Riemann à partir d'une hypothèse voisine de celle de Mertens qu'il fut incapable de démontrer.

On a vu plus haut que :

 \zeta(s)=\frac{s}{s-1}-s\int_1^\infty{\frac{\{u\}}{u^{1+s}}\mathrm du}.\,\!

Comme {u} est toujours compris entre 0 et 1, l'intégrale est convergente et le terme est borné. Le premier terme vaut aussi \textstyle \frac{s}{s-1}=\frac1{s-1}+1, ce qui montre que la fonction ζ admet un pôle d'ordre 1 en 1 et de résidu 1. Cela constitue le théorème de Dirichlet. Le développement en série de Laurent de la fonction ζ(s) s'écrit donc

\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+\sum_{n=1}^\infty{(-1)^n\frac{\gamma_n}{n!}(s-1)^n} ,

γ est la constante d’Euler Mascheroni et où l'on a :

 \gamma_n=\lim_{k \rightarrow \infty}\left({\sum_{m=1}^k{\frac{(\ln m)^n}{m}-\frac{(\ln k)^{n+1}}{n+1}}}\right).

Ces nombres sont appelés constantes ou nombres de Stieltjes. Concernant ces nombres, Matsuoka, en 1985[12], a montré que l'on avait pour n > 4 :

|\gamma_n| \le 10^{-4}(\ln n)^n.

On sait aussi qu'il y a asymptotiquement la moitié de ces nombres qui sont positifs.

Le développement de Laurent à l’ordre 1 montre que ζ est négative sur l'axe réel juste avant 1[note 6] (elle est positive après 1 de manière élémentaire puisque tous les termes de la série de Dirichlet sont alors positifs). En effet, on a :

\textstyle (s-1)\zeta(s)=1+\gamma(s-1)+O((s-1)^2)

.

Or, en supposant s – 1 < 0 et suffisamment petit, on a (s – 1)ζ(s) ≥ 0, donc ζ(s) ≤ 0.

Relation fonctionnelle[modifier | modifier le code]

La fonction ζ satisfait à l'équation fonctionnelle :


\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin \left( \frac{\pi s}{2} \right) \Gamma(1-s)\zeta(1-s)

valable pour tout nombre complexe s différent de 0 et 1, démontrée par Riemann en 1859. Ici, Γ désigne la fonction gamma.

Représentation de la fonction zêta sur l'axe des réels entre –7 et 7.

De la relation fonctionnelle, on déduit que :

\zeta(1-s) = {2\over (2\pi)^s}\,\cos\left(\frac{\pi s}2\right)\,\Gamma(s)\,\zeta(s).

La fonction ξ (en) définie par

 \xi(s)=\frac12 s(s-1)\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)\quad

vérifie

\displaystyle \xi(s)=\xi(1-s).

On en déduit que la fonction

 \Xi(\sigma)=\xi\left(\textstyle\frac12+\mathrm{i}\sigma\right)

est paire : Ξ(s) = Ξ(–s).

On retrouvera ces deux fonctions dans l'étude des zéros non triviaux de ζ.

Valeurs de la fonction zêta pour s entier négatif ou nul[modifier | modifier le code]

Valeurs de la fonction zêta entre –14 et –0,9.

De la définition de la fonction zêta par une intégrale sur ℝ+, on a déduit[13] que pour tout entier naturel n, ζ(–n) est le rationnel suivant :

\zeta(-n) = (-1)^n\frac{B_{n+1}}{n+1}

Bn + 1 est un nombre de Bernoulli.

Si n est impair, n = 2k – 1 avec k > 0 :

\zeta(-(2k-1))=-\frac{B_{2k}}{2k}.

Par exemple :

\begin{align}\zeta(-1) &= -\frac{B_2}2= -\frac{1}{12},\\
\zeta(-3) &= -\frac{B_4}4= \frac{1}{120},\\
\zeta(-5) &= -\frac{1}{252},\\
\zeta(-7) &= \frac{1}{240},\\
\zeta(-9) &= -\frac{1}{132}.\end{align}

Pour n = 0, on a :

\zeta(0)=B_1=-\frac12.

Si n est pair mais non nul, n = 2k avec k > 0 :

\zeta(-2k)=\frac{B_{2k+1}}{2k+1}=0.

Définition de ln ζ et de sa dérivée[modifier | modifier le code]

La fonction ζ étant réelle sur l'axe réel et plus grande que 1, le logarithme de cette valeur existe et est réel. Il est donc naturel de choisir, parmi l'infinité des définitions possibles du logarithme d'une fonction analytique, celle qui prolonge le logarithme naturel sur la demi-droite ]1, +∞[. On prolonge donc par continuité les valeurs de ln ζ qui sont réelles sur ]1, +∞[.

Présentation élémentaire pour les complexes du demi-plan Re(s) > 1[modifier | modifier le code]

On part de la formule du produit eulérien, dont on sait qu'il converge pour tout s dans Re(s) > 1. On peut se limiter à considérer dans un premier temps s = σ réel. On prend le logarithme du produit. Cela a un sens puisque ζ(σ) ne s'annule pas sur σ > 1. On a alors

\ln \zeta(\sigma)=-\sum_{p\in\mathcal{P}}\ln\left(1-\frac1{p^\sigma}\right).

Il reste à développer le logarithme en série entière, ce qui est possible puisque p ≥ 2 et σ > 1. Cela justifie que l'on définisse, pour tout complexe s satisfaisant Re(s) > 1 la série :


D(s)=\sum_{p\in\mathcal{P}}\sum_{\nu\geq 1}\frac{1}{\nu p^{\nu s}}.

Cette série, normalement convergente sur tout compact du demi-plan Re(s) > 1, définit une fonction holomorphe sur ce demi-plan.

Si s = σ > 1 est réel, alors \sum_{\nu\geq 1}\textstyle\frac{1}{\nu p^{\nu s}}=-\ln\left(1-\textstyle\frac{1}{p^\sigma}\right) 
ln est le logarithme réel habituel. On en déduit que eD(σ) = ζ(σ). Les deux fonctions eD et ζ sont holomorphes sur Re(s) > 1 et elles coïncident sur la demi-droite ]1, +∞[. Par le principe de prolongement holomorphe, on a donc

\mathrm e^{D(s)}=\zeta(s)\

pour tout complexe s tel que Re(s) > 1. Par dérivation de l'égalité précédente, on obtient immédiatement \textstyle
D'(s)=\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}
. En dérivant la série définissant D, on obtient :


D'(s)=-\sum_{p\in\mathcal{P}}\sum_{\nu \ge 1}\frac{\ln p}{p^{\nu s}}

de sorte que l'on a, pour Re(s) > 1, l'égalité :

 D'(s)=\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=-\sum_{n=1}^\infty{\frac{\Lambda(n)}{n^s}}

où les seules valeurs de Λ(n) non nulles sont définies par Λ(n) = ln p lorsque n = pm, p étant premier et m entier non nul. Il s'agit de la fonction de von Mangoldt. La définition de la série D se réécrit alors

 D(s)=\sum_{n=2}^\infty{\frac{\Lambda(n)}{n^s \ln n }}.

Enfin en prenant le module de eD(s) = ζ(s) on obtient eRe(D(s)) = |ζ(s)| puis, prenant le logarithme réel on déduit

\text{Re}\Big(D(s)\Big)=\ln |\zeta(s)|.

Extension à Re(s) ≤ 1[modifier | modifier le code]

Pour les complexes s autres que 1 tels que Re(s) ≤ 1, la définition du logarithme de ζ(s) est plus délicate. La fonction ζ ayant une infinité de zéros, ln ζ admet une infinité de points de branchement. Dans les calculs, on pratique alors des coupures de la manière suivante. Une première coupure est pratiquée entre –2 et 1 (qui est aussi un point de branchement bien que ζ ne s'y annule pas). Pour les zéros triviaux, une coupure est pratiquée sur les intervalles [–4n – 4, –4n – 6[ pour tout n ≥ 0. Pour les autres zéros, encore hypothétiques, de la forme β + iγ avec β ∈ ]0, 1[, ils sont répartis symétriquement par rapport à l'axe Re(s) = 1/2. On pratique donc également une coupure parallèle à l'axe réel en reliant les deux zéros symétriques par rapport à l'axe 1/2. Pour les zéros de l'axe 1/2, la coupure pratiquée relie le point à l'infini au zéro considéré par une ligne parallèle à l'axe réel. Ce faisant, la fonction ln ζ est alors uniforme sur le domaine coupé.

Le choix effectué donne

\text{Re}\Big(\ln \zeta(s)\Big)=\ln |\zeta(s)|.

Représentation de 1/ζ et fonction M de Mertens[modifier | modifier le code]

La fonction 1/ζ est étudiée conjointement avec la fonction ζ. On a une représentation par une série de Dirichlet sous la formule vue plus haut :

 \frac1{\zeta(s)}=\sum_1^\infty{\frac{\mu(n)}{n^s}}.

On peut en déduire[14] que pour tout entier k > 1, la probabilité pour que k entiers > 0 pris au hasard soient premiers entre eux est égale à 1/ζ(k), ce qu'on pouvait « prévoir informellement » à partir du produit eulérien mentionné au § « Liens avec les nombres premiers ».

L'application de la formule sommatoire d'Abel donne également

\sum_1^\infty{\frac{\mu(n)}{n^s}}=s\int_1^\infty{\frac{M(u)}{u^{1+s}}\mathrm du}

M est la fonction sommatoire de (la fonction de) Möbius :

M(u) = \sum_{n \le u}^{\ }{\mu(n)}.\,\!

Cette formule est valable pour Re(s) > 1. L'hypothèse de Riemann conjecture que l'intégrale converge et que la relation reste vraie pour Re(s) > 1/2 (s ≠ 1).

On sait qu'elle est également valable pour s = 1 + it avec t ≠ 0.

La théorie de M est très obscure et cela probablement pour longtemps. On ne sait que démontrer l'estimation suivante[15] :


M(u) = O(u \mathrm e^{-a(\ln u)^{3/5}(\ln\ln u)^{-1/5}}),

estimation qui dépend directement de la plus grande région connue dans la bande critique qui ne contient pas de zéro de la fonction zêta (voir plus bas). L'hypothèse de Riemann est équivalente à l'affirmation suivante : pour tout ε > 0,

 M(x) =O(x^{\frac12+\varepsilon}).

Une autre conjecture est l'hypothèse de Mertens généralisée qui affirme que : 
M(x) = O(\sqrt{x}), c'est-à-dire que


|M(x)| \le A\sqrt{x}.

pour une certaine constante A (voir plus bas). Elle entraîne la conjecture de Riemann.

Que devient la série de Riemann sur l'axe Re(s) = 1 ?[modifier | modifier le code]

La théorie des séries de Dirichlet montre, par le lemme d'Abel, que si la série de Riemann converge en un point s0, elle converge pour tout s pour lequel Re(s) > Re(s0). Le domaine de convergence est donc un demi-plan. Pour la série de Riemann, la série converge sur le demi-plan Re(s) > 1 par suite du pôle en 1 (théorème de Dirichlet).

La série de Dirichlet converge-t-elle en dehors de 1, sur Re(s) = 1 ? La réponse est non. On a en effet (Re(s) > 0) :

\zeta(s)=\sum_{n=1}^N\frac1{n^s}+s\int_N^\infty{\frac{[u]-u+\textstyle\frac{1}{2}}{u^{s+1}}}\mathrm du + \frac{N^{1-s}}{s-1}-\frac12 N^{-s}.

En posant s = \sigma+i t, l'intégrale est O\left(\frac{t}{\sigma N^\sigma}\right) et le dernier terme se majore par O(N^{-\sigma})\ . Ces deux termes tendent donc vers 0 quand N tend vers l'infini. Pour l'avant-dernier terme on a

\left|\frac{N^{1-s}}{s-1}\right|=\frac{N^{1-\sigma}}{\sqrt{(\sigma-1)^2+t^2}}

et il en résulte que lorsque N tend vers l'infini, ce terme prend des oscillations de plus en plus importantes si 0 < σ < 1 : la série de Dirichlet diverge.

Pour s = 1 + it, le terme devient \left|\frac{N^{-\mathrm it}}{\mathrm it}\right|=\frac1t. Il ne tend pas vers 0 : la série diverge mais ses oscillations restent bornées par 1/t.

Pour les séries de Dirichlet de ζ'/ζ, ln ζ et 1/ζ, l'application de la deuxième formule de Perron montre que les deux dernières séries convergent sur l'axe 1 en dehors de s = 1 tandis que la première diverge en tout point de l'axe 1.

Inégalités[modifier | modifier le code]

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inégalité de La Vallée Poussin[modifier | modifier le code]

 \zeta^3(\sigma)|\zeta(\sigma+it)|^4|\zeta(\sigma+2it)|\ge1,

pour s= \sigma+it, Re(s)>1.

Cette inégalité permet de démontrer que la fonction ζ(s) ne s'annule pas sur Re(s)=1, ce qui est une étape cruciale dans la démonstration du théorème des nombres premiers.

inégalité de Laforgia & Natalini[réf. nécessaire][modifier | modifier le code]

 \frac{(s+1)\zeta(s)}{s\zeta(s+1)}> \frac{\zeta(s+1)}{\zeta(s+2)},

pour s>1.

inégalité de Ahsani & Lam-Estrada & Lopez-Bonilla & Lopez-Vazquez[réf. nécessaire][modifier | modifier le code]

Cette inégalité est

 \zeta(s)\zeta(s+2) > [\zeta(s+1)]^2,

pour s>1.

Elle implique l'inégalité de Laforgia & Natalini.

Estimation de la fonction dans les diverses régions du plan[modifier | modifier le code]

Le module de la fonction (u, t) ↦ ζ(u + it) de Riemann pour 0 ≤ u ≤ 3 et 0,1t ≤ 200. On notera la pointe due au pôle en 1 et la très grande irrégularité du module.

Presque périodicité[modifier | modifier le code]

La fonction ζ est presque périodique au sens de Bohr dans la région Re(s) > 1. Il en est de même de ses dérivées. La fonction 1/ζ est également presque périodique sur Re(s) > 1 ainsi que ses dérivées. Par contre sur l'axe 1, la presque périodicité de Bohr cède sa place à la presque périodicité B2, au sens de Besicovitch.

La presque périodicité au sens de Bohr, sur la ligne Re(s) = σ0, signifie qu'à ε près, la fonction se répète indéfiniment dans des intervalles de longueur L0, ε). Évidemment, plus ε est petit, plus L0, ε) est grand.

Estimations dans la région Re(s) > 1[modifier | modifier le code]

Dans le demi-plan Re(s) = σ > σ0 > 1 la fonction ζ(s) est bornée. Ses valeurs satisfont à l'inégalité

 \frac{\zeta(2\sigma)}{\zeta(\sigma)}\le|\zeta(\sigma+\mathrm it)| \le \zeta(\sigma).

Elle n'a donc aucun zéro dans le demi-plan Re(s) = σ > 1.

Ces deux bornes sont les meilleures possibles : on montre, pour chaque valeur σ, qu'il existe une suite de t tendant vers l'infini ayant cette valeur pour limite de la suite ζ(σ + it).

Charles-Jean de La Vallée Poussin démontra que pour σ > 1, on a

\zeta^3(\sigma)|\zeta(\sigma+\mathrm it)|^4|\zeta(\sigma+2\mathrm it)| \ge 1.

Une estimation, souvent utile, est donnée par la formule suivante pour les valeurs réelles de s supérieures à 1

\zeta(\sigma)\le \frac{\sigma}{\sigma-1}.

Elle résulte de la formule issue de la formule sommatoire d'Abel déjà donnée en remarquant que l'intégrale est toujours positive et affectée du signe –.

Estimations sur Re(s) = 1[modifier | modifier le code]

La fonction ζ est presque périodique sur le demi plan Re(s) > 1. Elle y est donc bornée sur tout demi-plan fermé strictement inclus. La présence du pôle en 1 empêche toute extension de la presque périodicité au sens de Bohr à un demi-plan plus vaste. Il est donc important de connaître le comportement de la fonction sur l'axe 1.

La méthode de Vinogradov-Korobov sur les majorations des sommes d'exponentielles permet de montrer que l'on a, pour tout t, l'inégalité

|\zeta(1+\mathrm it)|< C_1 (\ln |t|)^{2/3}.\,

On connaît, sans aucune hypothèse, une minoration de l'ordre des fonctions ζ(1 + it) et 1/ζ(1 + it). On a en effet (γ = 0,577… est la constante d'Euler-Mascheroni)

 \limsup_{t \rightarrow \infty}\frac{|\zeta(1+\mathrm it)|}{\ln \ln t} \ge\mathrm e^\gamma

et

 \limsup_{t \rightarrow \infty}\frac{\left|\textstyle\frac1{\zeta(1+\mathrm it)}\right|}{\ln \ln t}\ge \frac6{\pi^2}\mathrm e^\gamma.

La fonction n'est donc pas bornée sur l'axe 1, même en dehors du voisinage de 1.

On connaît, sous l'hypothèse de Riemann, l'ordre exact des fonctions ζ(1 + it) et 1/ζ(1 + it). On a en effet

\mathrm e^\gamma\le \limsup_{t \rightarrow \infty}\frac{|\zeta(1+\mathrm it)|}{\ln \ln t} \le\mathrm e^{2\gamma}

et

\frac6{\pi^2}\mathrm e^\gamma\le \limsup_{t \rightarrow \infty}\frac{\left|\textstyle\frac1{\zeta(1+\mathrm it)}\right|}{\ln \ln t} \le \frac{12}{\pi^2}\mathrm e^{2\gamma}.

Estimations sur Re(s) = 0[modifier | modifier le code]

Utilisant la formule des compléments et la relation fonctionnelle, on trouve pour t non nul

|\zeta(\mathrm it)| = \sqrt{\frac{t}{\pi \operatorname{sh}(\pi t)}}\operatorname{sh} \left(\frac{\pi |t|}{2}\right)|\zeta(1+\mathrm it)|

et de ce fait

|\zeta(\mathrm it)| = O\left(\sqrt{|t|}\ln^{2/3} |t|\right).

Estimations dans la région Re(s) < 0[modifier | modifier le code]

L'application de l'équation fonctionnelle et de la formule de Stirling, et le comportement asymptotique de sin(σ + it) permet de montrer que

|\zeta(\sigma+\mathrm it)| \ll \left(\frac{t}{2\pi}\right)^{\textstyle\frac{1}{2}-\sigma}

pour σ < 0.

Estimation dans la bande critique[modifier | modifier le code]

On peut estimer, uniformément dans la bande critique, ζ(s) par la formule

\zeta(\sigma+\mathrm it)=\sum_{n \le t}{\frac1{n^{\sigma+\mathrm it}}}+O\left(|t|^{-\sigma}\right).

De la méthode de Vinogradov-Korobov on déduit la majoration suivante : il existe deux constantes c et C strictement positives telles que pour tout σ ∈ [ 1/2 ; 1] et t > 3, on ait

|\zeta(\sigma+\mathrm it)| \le C t^{c(1-\sigma)^{3/2}} (\ln t)^{2/3}.

Dans l'état actuel des connaissances, d'après Ford[16], on peut prendre C = 76,2 et c = 4,45. La relation fonctionnelle permet d'estimer le module dans la bande σ ∈ [0 ; 1/2].

Le théorème de Valiron[modifier | modifier le code]

Quand on regarde les applications arithmétiques de la fonction ζ, on est frappé par l'usage quasi systématique des fonctions 1/ζ, ζ'/ζ, ou ln ζ mais la fonction ζ elle même apparaît rarement au numérateur. Comme la région importante est la bande critique 0 ≤ Re(s) ≤ 1, il est important de pouvoir traverser cette bande. Or la présence éventuelle de zéros sur le chemin complique singulièrement les calculs et les estimations. Le résultat suivant sert essentiellement à majorer la fonction 1/ζ sur des chemins bien répartis.

Dans sa thèse soutenue en 1914, Georges Valiron a montré qu'il existait une infinité de valeurs de t dans tout intervalle [T, T + 1] pour lesquelles on avait la minoration

|\zeta(\sigma+\mathrm it)| \ge t^{-\delta}.

pour un certain δ fixe strictement positif.

On ne connaît aucune valeur de δ qui convient. On sait seulement que 0 ≤ δ ≤ 1. Sous l'hypothèse de Riemann, on peut prendre δ aussi petit qu'on veut.

La relation fonctionnelle approchée[modifier | modifier le code]

Comme on a vu dans la partie consacrée à l'estimation dans la bande critique, il est possible de calculer la fonction ζ dans la bande critique en utilisant une somme partielle de la série de Dirichlet. La relation fonctionnelle se traduit alors dans une relation approchée reliant les séries de Dirichlet partielles pour les exposants s et 1 – s. C'est la relation fonctionnelle approchée :

Pour 0 < σ < 1 et xy = t avec x > h > 0, y > h > 0, on a

\zeta(s)=\sum_{n \le x}\frac1{n^s}+\chi(s)\sum_{n \le y}\frac1{n^{1-s}}+O(x^{-\sigma}\ln |t|)+\mathcal{O}(|t|^{\textstyle\frac{1}{2}-\sigma}y^{\sigma-1})

avec

\chi(s)=\frac{2^{s-1}\pi^s}{\Gamma(s)} \sec\left(\frac12 s\pi\right).

On peut, avec elle, obtenir une première estimation de |ζ( 1/2 + it)|, l'objectif étant de démontrer l'hypothèse de Lindelöf (voir plus loin).

La théorie de la fonction mu[modifier | modifier le code]

On utilise ici les résultats vus plus haut dans la partie « Estimation de la fonction dans les diverses régions du plan ».

L'estimation de ζ dans la partie Re(s) < 0 montre que la fonction t ↦ ζ(σ + it) est d'ordre fini : elle est majorée par une puissance de t = Im(s).

Dans la région Re(s) > σ0 > 1, la majoration est celle d'une constante.

Graphe de la fonction μ en fonction de σ. En noir, la partie connue. En jaune la partie supposée conformément à l'hypothèse de Lindelöf. En rouge la majoration par la convexité.

La théorie des séries de Dirichlet montre que dans la bande critique, la fonction est encore d'ordre fini sauf en s = 1. La question qui se pose alors est celle de l'estimation de cet exposant. On appelle traditionnellement μ(σ) la borne inférieure des exposants μ tels que |ζ(σ + it)| ≪ tμ.

Le théorème de Phragmén-Lindelöf[17] implique que la fonction μ est une fonction convexe décroissante de σ.

On a de plus :

  • μ(σ) = 1/2 – σ pour σ < 0 et
  • μ(σ) = 0 pour σ > 1.
  • La propriété de convexité impose, dans la bande critique, μ(σ) ≤ 1/2σ/2

mais on ignore la valeur exacte de μ(σ) pour 0 < σ < 1.

La convexité donne μ( 1/2) ≤ 1/4 = 0,25.

La relation fonctionnelle approchée (voir plus haut) donne : μ( 1/2) ≤ 1/6 < 0,16667.

On sait que μ( 1/2) ≤ 32/205 ≈ 0,156098 d'après M.N. Huxley[18].

Les zéros[modifier | modifier le code]

Les zéros triviaux[modifier | modifier le code]

Zéros triviaux de la fonction zêta.

Par la relation fonctionnelle, il apparaît que la fonction ζ s'annule pour tous les entiers de la forme –2k, (k > 0) par suite du facteur \sin (\textstyle \frac{\pi s}{2}), mais pas en s = 0 par suite du facteur Γ(1 – s). Ces zéros sont appelés les zéros triviaux.

La relation fonctionnelle permet de plus de montrer que chacun de ces zéros est simple puisque la valeur de la dérivée en –2k est :

 \zeta'(-2k)=(-1)^k\frac{(2k)!\zeta(2k+1)}{2^{2k+1}\pi^{2k}}\neq 0.

Les zéros non triviaux[modifier | modifier le code]

Représentation en bleu de la partie réelle et en rouge de la partie imaginaire de la fonction ζ( 1/2 + ix) sur l'intervalle [0 ; 100], où l'on voit clairement apparaître les premiers zéros non triviaux lorsque les deux courbes se croisent sur l'axe des abscisses.

Il existe d'autres zéros. On obtient de la relation fonctionnelle que la fonction ζ admet une infinité de zéros dans la bande Re(s) ∈ ]0, 1[. Pour cela, on remarque que la fonction

 \xi(s)=\frac12 s(s-1)\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)

vérifie

\displaystyle \xi(s)=\xi(1-s).

On en déduit que la fonction

 \Xi(s)=\xi\left(\frac12+\mathrm is\right)

est paire. On montre que les deux fonctions ξ et Ξ sont deux fonctions entières d'ordre 1 et, comme Ξ(s) est paire, la fonction s ↦ Ξ(s) est une fonction entière d'ordre 1/2 : elle admet donc, d'après la théorie générale des fonctions entières, une infinité de zéros. Ces zéros se traduisent par une infinité de zéros de ζ dans la bande Re(s) ∈]0, 1[. On ignore pour l'instant si l'hypothèse de Riemann (voir plus bas), qui affirme que tous ces zéros sont de partie réelle 1/2, est vraie.

Premiers zéros sur la droite critique
± k Partie imaginaire de ρk
1 ± 14,134 725 141 734 693 790
2 ± 21,022 039 638 771 554 993
3 ± 25,010 857 580 145 688 763
4 ± 30,424 876 125 859 513 210

Représentation sous forme de produit de facteurs primaires (produit de Hadamard)[modifier | modifier le code]

D'après le théorème de factorisation de Hadamard pour une fonction méromorphe, toute fonction méromorphe s'écrit sous forme de produit de facteurs dits primaires dans lesquels apparaissent les zéros et les pôles de la fonction. La représentation sous cette forme pour ζ prend la forme

\zeta(s) = \frac{\mathrm e^{(\ln(2\pi)-1-\frac\gamma2)s}}{2(s-1)\Gamma(1+\frac{s}2)} \prod_\rho \left(1 - \frac{s}{\rho} \right) \mathrm e^{s/\rho}

où le produit s'effectue sur les zéros ρ de ζ et γ est la constante d'Euler-Mascheroni.

Expressions de ζ'/ζ en fonction des zéros triviaux et non triviaux[modifier | modifier le code]

Indépendamment de l'expression en fonction des facteurs primaires de Weierstrass, la valeur ζ(s) peut se calculer en fonction des zéros non triviaux les plus proches du point s = σ + it. On démontre que seuls les zéros à une distance de t inférieure à 1 interviennent vraiment. Le reste s'exprime dans la notation « de Landau » .

Il faut faire attention au fait que les expressions faisant intervenir une somme sur les zéros ρ = β + iγ ne sont généralement pas commutativement convergentes et que l'ordre de sommation intervient : on somme symétriquement par rapport à 1/2. D'autre part, les zéros ρ sont comptés autant de fois que leur multiplicité dans ces sommes.

La première expression intéressante, déduite du produit de Hadamard précédent, est :

\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=\ln 2\pi -\frac12\gamma-1-\frac1{s-1}-\frac12\frac{\Gamma'(\frac12s+1)}{\Gamma(\frac12s+1)}+\sum_\rho\Big(\frac1{s-\rho}+\frac1{\rho}\Big).

La somme s'effectue sur les zéros ρ de ζ et γ est la constante d'Euler-Mascheroni.

On en déduit :

\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=\sum_\rho\Big(\frac1{s-\rho}+\frac1{\rho}\Big)+O(\ln |t|).

Cette formule montre alors, sans l'hypothèse de Riemann,

\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=\sum_{|t-\gamma| \le 1}\frac1{s-\rho}+O(\ln |t|).

Avec l'hypothèse de Riemann, la sommation peut être considérablement diminuée. On a

\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=\sum_{|t-\gamma| \le \frac1{\ln \ln t}}\frac1{s-\rho}+O(\ln |t|).

La bande critique et l'hypothèse de Riemann[modifier | modifier le code]

La série des points blancs marque les points où la fonction zêta s'annule.

On appelle bande critique la bande 0 < Re(s) < 1. Il existe donc une infinité de zéros dans la bande critique mais, actuellement, on ne sait pas exactement où. L'hypothèse de Riemann affirme qu'ils sont tous de partie réelle 1/2. On a vérifié numériquement sur plus de 1 500 000 000 zéros que leur partie réelle était bien 1/2[note 7].

Il a été démontré que l'axe Re(s) = 1/2 en avait une infinité, dont les 2/5 au moins sont simples. On sait également que la proportion des zéros de la forme β + iγ en dehors de l'axe 1/2 et tels que |γ| < T tend vers 0 quand T tend vers l'infini, cette proportion décroissant également à mesure que β s'écarte de 1/2.

On appelle traditionnellement N(T) le nombre de zéros de la fonction ζ de Riemann dans le rectangle vertical décrit par sa diagonale ]0, 1 + iT]. On note aussi N0(T) le nombre de zéros se trouvant sur le segment [ 1/2, 1/2 + iT]. On a alors les estimations suivantes :

N(T)=\frac T{2\pi}\ln\left(\frac{T}{2\pi\mathrm e}\right)+O\left(\ln T\right).

Ces estimations permettent de donner une estimation asymptotique pour le zéro de rang n, βn + iγn sous la forme

|\gamma_n| \approx \frac{2\pi n }{\ln n}.

Cette formule montre d'une part que l'ordre m(ρ) de chaque zéro ρ est majoré par

m(\rho) \le C\ln |\rho|

et d'autre part que la distance entre deux zéros tend vers 0. On a en effet

|\gamma_{n+1}-\gamma_n| = O\left(1/\ln n \right).

Pour les zéros de la droite critique, on sait qu'il existe une constante C telle que, pour tout T ≥ 2 on a

N_0(T)\geq C T\ln T\geq CN(T).

On ne connaît pas la valeur exacte de la constante C mais Conrey a démontré en 1989 que


\liminf_{T\to +\infty}\frac{N_0(T)}{N(T)}\geq 0,4077.

Autrement dit, plus de deux cinquièmes des zéros de ζ sont sur la droite critique Re(s) = 1/2.

La fonction S(T)[modifier | modifier le code]

Une analyse plus fine de la fonction N(T) montre qu'on a

 N(T)= 1+\frac1{\pi}\arg\Big(\pi^{-\mathrm iT/2}\Gamma(1/4+\mathrm iT/2)\Big)+S(T)

où la fonction S(T) est définie par

S(T)=\frac1{\pi}\arg\Big(\zeta(\textstyle\frac12+\mathrm iT)\Big),

les arguments étant définis par variation continue depuis la valeur 0 prise en un point réel strictement supérieur à 1, le long d'un chemin menant au point considéré et composé de deux segments, l'un vertical depuis le point réel, l'autre horizontal jusqu'au point voulu.

La formule de Stirling complexe donne alors

 N(T)= \frac{T}{2\pi}\ln \frac{T}{2\pi\mathrm e}+\frac78+S(T)+O\left(1/T\right).

On connaît relativement peu de chose sur S(T) sans aucune hypothèse. On a l'estimation

 S(T)= O\left(\ln T\right)

déjà ancienne et qu'on n'arrive pas à améliorer.

Sous l'hypothèse de Riemann, on a

 S(T)= O\left(\ln T/\ln \ln  T\right).

Dans les recherches sur S(T), on a réussi à avoir quelques précisions supplémentaires sur le comportement de S(T) qui reste mystérieux :

 \int_0^T S(u)\mathrm du = O\left(\ln T\right)

dont on déduit que la moyenne de S(T) est égale à zéro.

Cependant Selberg a montré que S(T) était minoré par une quantité tendant vers l'infini pour une infinité de valeurs de T. Sur ces valeurs de T, on a

 S(T)>A (\ln T)^{1/3}(\ln \ln T)^{-7/3}.

Selberg a également montré que

 \int_0^T S^2(u)\mathrm du = \frac1{2\pi^2}T\ln \ln T (1+o(1))\,\!

qui montre que la moyenne de S2(T) sur [0, T] est ( 1/2π2) ln ln T.

Edward Charles Titchmarsh a montré d'autre part que S(T) changeait de signes une infinité de fois.

La région sans zéro[modifier | modifier le code]

Région (en bleu) sans zéro de la fonction zêta.

La plus grande région connue qui ne contient aucun zéro de la fonction ζ est donnée asymptotiquement par la formule suivante[19],[20] :

\text{Re}(s) > 1 - \frac c{(\ln t)^{2/3}(\ln \ln t)^{1/3}}.

Les grandes conjectures[modifier | modifier le code]

L'hypothèse de Riemann[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Hypothèse de Riemann.

Cette hypothèse reste pour l'instant non démontrée. Elle exprime que tous les zéros qui se trouvent dans la bande critique sont de partie réelle égale à 1/2. Elle ne dit rien sur la multiplicité des zéros.

Cette hypothèse, formulée dès 1859 par Bernhard Riemann, a de très grandes conséquences dans le comportement asymptotique de nombreuses fonctions arithmétiques qui se trouvent liées à ζ.

Les conséquences sur le comportement de la fonction ζ sont nombreuses. On en donne quelques-unes dans ce qui suit.

Conséquences de l'hypothèse de Riemann sur la croissance de la fonction zêta[modifier | modifier le code]

L'hypothèse de Riemann entraine que l'on a δ = 0 dans le théorème de Valiron. En fait, on montre bien mieux sous l'hypothèse de Riemann car la fonction ln ζ est alors analytique régulière dans le demi-plan Re(s) > 1/2.

Sous l'hypothèse de Riemann, on a, uniformément pour tout σ tel que 1/2 < σ0 ≤ σ ≤ 1

 \ln \zeta(\sigma+\mathrm it) = O\Big((\ln t)^{2-2\sigma+\epsilon}\Big)

et même plus précisément, si l'on suppose \textstyle\frac{1}{2}+
\textstyle\frac1{\ln \ln t} \le \sigma \le 1, on a

 \ln \zeta(\sigma+\mathrm it) = O\Big(\ln \ln t(\ln t)^{2-2\sigma}\Big).

De cela on déduit, pour tout σ > 1/2, car l'exposant dans la formule précédente est inférieur à 0,

 \zeta(\sigma+\mathrm it) = O\left(t^\epsilon\right)\;\text{ et }\;\frac1{\zeta(\sigma+\mathrm it)} = O\left(t^\epsilon\right).

Autrement dit, l'hypothèse de Riemann implique l'hypothèse de Lindelöf (voir plus bas).

Il en résulte également l'estimation

 \lim_{T \rightarrow \infty}\frac1{T}\int_1^T\frac{\mathrm dt}{ |\zeta(\sigma+\mathrm it)|^2} = \frac{\zeta(2\sigma)}{\zeta(4\sigma)}.

On peut développer, sous l'hypothèse de Riemann, une théorie voisine de celle de la fonction \mu(\sigma) mais pour la fonction ζ' (voir #La théorie de la fonction mu).

En supposant σ > 1/2 et appelant ν(σ) le plus petit exposant α pour lequel on a \ln \zeta(\sigma+\mathrm it)=O\Big((\ln t)^\alpha\Big), on montre que ν(σ) est une fonction convexe décroissante de σ satisfaisant aux inégalités 1 – σ ≤ ν(σ) ≤ 2(1 – σ). On montre aussi que la fonction ν(σ) de \displaystyle\frac{\zeta'(\sigma+\mathrm it)}{\zeta(\sigma+\mathrm it)} est la même fonction ν(σ) que celle de ln ζ( σ+ it). Mais on ignore encore la valeur de ν(σ) pour tout σ ∈ ] 1/2, 1[. Pour σ ≥ 1, ν(σ) = 0.

L'hypothèse de Riemann et les zéros de la dérivée ζ'[modifier | modifier le code]

La question de la position des zéros de la dérivée ζ' est liée également à l'hypothèse de Riemann. Littlewood a démontré le théorème

« Ou bien la fonction ζ ou bien la fonction ζ' a une infinité de zéros dans la bande 1 – δ < σ < 1, δ étant une quantité positive arbitrairement petite. »

et Speiser a démontré que

« L'hypothèse de Riemann est équivalente à l'absence de zéro non trivial de la dérivée ζ' dans le demi-plan σ < 1/2. »

De même, Yıldırım[21] a démontré que

« L'hypothèse de Riemann implique que ζ''(s) et ζ'''(s) ne s'annulent pas dans la bande 0 < Re(s) < 1/2. »

L'hypothèse de Lindelöf et l'hypothèse de densité[modifier | modifier le code]

La conjecture de Lindelöf est l'assertion que pour tout ε > 0

|\zeta(\textstyle\frac{1}{2}+\mathrm it)| = O(t^\varepsilon)\ (t\rightarrow\infty).

Cela a entre autres pour conséquence immédiate que μ( 1/2) = 0. On connaît alors la valeur exacte de la fonction μ. Le graphe de μ est composé des deux seules demi-droites indiquées, qui se rejoignent en σ = 1/2 à la valeur 0.

Cette hypothèse a de nombreuses formulations équivalentes intéressantes. En voici deux :

  • Pour tout k ≥ 1, on a
    \frac1T\int_1^T{|\zeta(\textstyle\frac{1}{2}+iu)|^{2k}\mathrm du} = O(T^\epsilon)
  • Pour tout k ≥ 1, et tout σ > 1/2 on a
    \frac1T\int_1^T{|\zeta(\sigma+iu)|^{2k}\mathrm du} = O(T^\epsilon)

L'hypothèse de Lindelöf a pour conséquence la raréfaction des zéros à mesure qu'on s'écarte de l'axe 1/2. Cette dernière propriété est appelée hypothèse de densité quand on la considère par elle-même. Appelant N(σ, T) le nombre de zéros sur la droite Re(s) = σ et dont la partie imaginaire reste inférieure ou égale à T, on a, sous l'hypothèse de Lindelöf,

N(\sigma,T) \le O(T^{2(1-\sigma)+\epsilon}).

Par contre, on ignore si l'hypothèse de Lindelöf, qui a comme on vient de voir une influence sur la position des zéros, implique ou non l'hypothèse de Riemann.

Les hypothèses de Mertens[modifier | modifier le code]

Sur une table numérique allant jusqu'à 10 000 de la fonction de Mertens M(x), Mertens en 1897 conjectura que l'on a

|M(x)| \le \sqrt{x}.

Cette conjecture a été réfutée en 1985 par Odlyzko et te Riele. Cependant, la conjecture généralisée de Mertens, qui s'exprime sous la forme

|M(x)| \le A\sqrt{x}

pour un certain A > 1, n'est pas réfutée.

Une troisième formulation est la forme affaiblie :

\int_1^x{\frac{M^2(u)}{u^2}\mathrm du}=O(\ln x).

La forme généralisée implique la forme affaiblie. La forme affaiblie implique l'hypothèse de Riemann (et donc l'hypothèse de Lindelöf) et la simplicité des zéros.

La conjecture des paires corrélées[modifier | modifier le code]

La conjecture (faible) des paires corrélées exprime que, pour un nombre α > 0,

\sum_{0<\gamma,\gamma'<T, 0<\gamma-\gamma'< \frac{2\pi\alpha}{\ln T}}1=\frac{T\ln T}{2\pi}(1+o(1))\int_0^\alpha 1-\left(\frac{\sin(\pi u)}{\pi u}\right)^2 \mathrm du.

Cette dernière conjecture fait le lien avec la théorie des matrices aléatoires.

La conjecture de Hilbert-Polya[modifier | modifier le code]

Hilbert et Polya ont suggéré que la conjecture de Riemann serait démontrée si l'on pouvait trouver un opérateur hermitien Ĥ dont les valeurs propres (nécessairement réelles) soient exactement les parties imaginaires Ek des zéros non triviaux :

\ \hat{H} \ \psi_k \ = \ E_k \ \psi_k.

Un tel opérateur hermitien n'a pas encore été trouvé explicitement à ce jour. Néanmoins, cette équation aux valeurs propres suggère un lien avec un problème de mécanique quantique non relativiste qui est précisé dans le paragraphe suivant.

Propriétés statistiques des zéros non triviaux et chaos quantique[modifier | modifier le code]

Les propriétés statistiques des zéros non triviaux de la fonction ζ ressemblent asymptotiquement à celle des valeurs propres d'un grand ensemble de matrices aléatoires unitaires gaussiennes de l'ensemble GUE. Cette conjecture est basée sur de nombreux résultats numériques, et fortement supportée par un théorème rigoureux de Montgomery[22]. Ceci a conduit le physicien théoricien Michael Berry à conjecturer que les parties imaginaires Ek des zéros non triviaux pouvaient s'interpréter comme les valeurs propres d'un opérateur hamiltonien décrivant un système quantique non relativiste qui serait classiquement chaotique, et dont les orbites classiques ne possèdent pas la symétrie de renversement du temps[23],[24],[25]. Mieux, un opérateur hamiltonien semblant posséder les bonnes propriétés a été récemment exhibé par Berry et Keating[26],[27].

Les propriétés statistiques des zéros non triviaux continuent d'être l'objet d'intenses recherches, tant numériques qu'analytiques[28]. On pourra lire également : Philippe Biane ; La fonction zêta de Riemann et les probabilités, Journées X-UPS (2003), texte au format pdf.

Le problème des moments[modifier | modifier le code]

Malgré quelques progrès, on n'a pas réussi à résoudre la question de l'ordre de ζ dans la bande critique. Le problème de l'ordre moyen est lui, partiellement résolu. Il prend la forme de l'estimation de l'expression

\int_1^T|\zeta(\sigma+\mathrm it)|^2 \mathrm dt.

Cette estimation est donnée par un théorème général sur les séries de Dirichlet :

« Soient f(s)=\textstyle\sum_{n=1}^\infty{\frac{a_n}{n^s}} et g(s)=\textstyle\sum_{n=1}^\infty{\frac{b_n}{n^s}} deux séries de Dirichlet absolument convergentes, la première pour Re(s) > σ0 et la seconde pour Re(s) > σ1.

Alors, pour α > σ0 et β > σ1, on a

\lim_{T \rightarrow \infty}\frac1{2T}\int_{-T}^T f(\alpha+\mathrm it)g(\beta-\mathrm it) \mathrm dt=\sum_{n=1}^\infty{\frac{a_n b_n}{n^{\alpha+\beta}}}. »

En l'appliquant à la fonction ζ, on trouve immédiatement, pour σ > 1

\lim_{T \rightarrow \infty}\frac1{2T}\int_{-T}^T|\zeta(\sigma+\mathrm it)|^2 \mathrm dt=\zeta(2\sigma)\,\!

et

\lim_{T \rightarrow \infty}\frac1{2T}\int_{-T}^T|\zeta(\sigma+\mathrm it)|^4 \mathrm dt=\frac{\zeta^4(2\sigma)}{\zeta(4\sigma)}.\,\!

On a donc cherché à étendre ces formules pour σ ≤ 1.

Le problème général des moments est donc l'évaluation des intégrales dépendantes de k, pour σ ≥ 1/2

\lim_{T \rightarrow \infty}\frac1{T}\int_1^T|\zeta(\sigma+\mathrm it)|^{2k} \mathrm dt.\,\!

Les résultats, désormais classiques, sont les suivants :

  • Pour le moment d'ordre 2 en σ = 1/2
    \int_0^T|\zeta(\textstyle\frac{1}{2}+\mathrm it)|^{2} \mathrm dt=T \ln T+(2\gamma-1-\ln 2\pi)T+O\Big(\sqrt{T}\ln T\Big).
  • Pour le moment d'ordre 2 en σ > 1/2
    \lim_{T \rightarrow \infty}\frac1{T}\int_1^T|\zeta(\sigma+\mathrm it)|^2 \mathrm dt=\zeta(2\sigma).
  • Pour le moment d'ordre 4 en σ = 1/2
    \int_1^T|\zeta(\textstyle\frac{1}{2}+\mathrm it)|^4 \mathrm dt=\frac1{2\pi^2}T (\ln T)^4+O\Big(T(\ln T)^3\Big).\,\!
  • Pour le moment d'ordre 4 en σ > 1/2
    \lim_{T \rightarrow \infty}\frac1{T}\int_1^T|\zeta(\sigma+\mathrm it)|^4 \mathrm dt=\frac{\zeta^4(2\sigma)}{\zeta(4\sigma)}.\,\!

Carlson a montré que, si l'on appelle σk la borne inférieure des σ pour lesquels on a \lim_{T \rightarrow \infty}\frac1{T}\int_1^T|\zeta(\sigma+\mathrm it)|^{2k}\mathrm dt=O(1)\,\!, alors

\sigma_k \le \max\Big(1-\frac{1-\alpha}{1+\mu_k(\alpha)},\frac12,\alpha\Big)

pour 0 < α < 1, la quantité μk(α) étant l'équivalent de la fonction μ de ζ pour la fonction ζk.

Les moments d'ordre supérieur à 4 font encore l'objet d'intenses recherches. On sait qu'il existe une constante C(k) telle que

\int_0^T|\zeta(\textstyle\frac{1}{2}+\mathrm it)|^{2k} \mathrm dt \ll T^{(k+2)/4}(\ln T)^{C(k)}

pour 2 ≤ k ≤ 6 et on conjecture qu'il en est ainsi pour les k supérieurs à 6, en particulier 8.

L'importance du problème des moments est liée à l'hypothèse de Lindelöf (voir plus haut).

Applications diverses[modifier | modifier le code]

Régularisation Zêta[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Régularisation zêta.

Par l'intermédiaire de la fonction ζ de Riemann, on a développé une méthode de régularisation des suites divergentes qui a trouvé des applications en physique, notamment dans l'effet Casimir.

Développement en série entière de ln Γ(1+t)[modifier | modifier le code]

Une formule due à Euler donne pour | t | < 1

\ln \Gamma(1+t) = -\gamma t +\sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n \zeta(n)}{n}t^n.

Elle permet à Euler d'écrire[29]

\gamma=\sum_{n=2}^\infty{\frac{(-1)^n \zeta(n)}{n}}.

Legendre[30] écrit la formule d'Euler sous la forme plus commode numériquement

\ln \Gamma(1+t) = \frac12\ln \frac{\pi t}{\sin \pi t} +\frac12\ln \frac{1-t}{1+t}+(1-\gamma)t +\sum_{n=1}^\infty \frac{1- \zeta(2n+1)}{2n+1}t^n.

Suites de Farey[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Suite de Farey.

Fonction de comptage des nombres premiers et théorème des nombres premiers[modifier | modifier le code]

La fonction de comptage des nombres premiers est définie par

\pi(x)=\sum_{p \in \mathcal{P}, p\le x} 1.

La non-annulation de la fonction ζ sur Re(s) = 1 a pour conséquence la véracité de la conjecture de Legendre-Gauss :

\pi(x)\sim\int_2^x{\frac{\mathrm du}{\ln u}}.

La région sans zéro permet ensuite de majorer le reste :

\pi(x)=\int_2^x{\frac{\mathrm du}{\ln u}}+O\Big(x\exp(-c(\ln x)^{3/5}(\ln \ln x)^{-1/5})\Big),

ce qui est encore bien loin de ce qu'on sait démontrer si l'hypothèse de Riemann est vraie

\pi(x)=\int_2^x{\frac{\mathrm du}{\ln u}}+O(\sqrt{x}\ln x).

Le nombre premier de rang n[modifier | modifier le code]

En 1902, Cipolla montra le développement asymptotique

p_n = n\left\{\ln n + \ln \ln n -1+\frac{\ln \ln n-2}{\ln n}-\frac{(\ln \ln n)^2-6\ln n +11}{(\ln n)^2}+O\left(\left(\frac{\ln \ln n}{\ln n}\right)^3\right)\right\}

Grâce à une étude numérique de la fonction ζ, Rosser et Schoenfeld ont montré, pour n supérieur ou égal à 21, que

n\left(\ln n + \ln \ln n -\frac32\right) < p_n < n\left(\ln n + \ln \ln n -\frac12\right).

La borne inférieure a été améliorée par Dusart en 1999 qui montra, pour n >1,

n\Big(\ln n + \ln \ln n -1\Big) < p_n .

Historique[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Les séries de Dirichlet sont une généralisation des séries de Riemann avec un numérateur différent de 1 et qui forme une suite indicée par n.
  2. Cette méthode de prolongement s'étend aux séries de Dirichlet générales.
  3. Le pôle en 1 de ζ est annulé par le terme 1 – 21 – s ; on a \eta(1)=\textstyle\sum_{n=1}^\infty{\frac{(-1)^{n-1}}{n}}=\ln 2\ (la série harmonique alternée).
  4. Il existe d'autres démonstrations : on peut par exemple montrer que la série est en fait convergente pour Re(s) > 0 en appliquant la formule de Cahen pour l'abscisse de convergence simple, les sommes partielles des coefficients ne prenant que l'une des trois valeurs 0, 1, 2. On peut aussi effectuer sur la série un regroupement des termes de la forme \textstyle\frac{1}{(3n-2)^s}+\frac{1}{(3n-1)^s} en laissant le terme négatif à part. Ce faisant, la série est alors une série alternée dont les termes sont décroissants (cela se montre facilement car on a 3n – 2 < 3n – 1 < 3n < 3n + 1 < 3n + 2 donc \textstyle\frac1{3n-2} + \textstyle\frac{1}{3n-1} > \textstyle\frac{2}{3n} d'une part et \textstyle\frac{2}{3n} > \textstyle\frac{1}{3n+1} + \textstyle\frac{1}{3n+2} d'autre part) et qui converge donc par application du critère des séries alternées pour s réel. On montre facilement que la série ne converge pas en 0 car ses sommes partielles ne tendent pas vers 0.
  5. La présence du facteur 1 – 21 – s dans la formule de Ramaswami montre que le prolongement de ζ par cette formule souffre du même problème que celui par la fonction η de Dirichlet.
  6. L'expression : ζ(a) = η(a)/(1 – 21 – a) pour a ∈ ]0, +∞[\{1} donne le même résultat puisque l'expression η(a) de la fonction η de Dirichlet est positive par le théorème des séries alternées et que 1 – 21 – a est du même signe que a – 1.
  7. L'article détaillé hypothèse de Riemann précise bien qu'il ne s'agit pas d'une estimation approchée de cette partie réelle, mais d'une démonstration, sans aucune incertitude numérique

Références[modifier | modifier le code]

  1. G. H. Hardy et E. M. Wright, Une Introduction à la théorie des nombres.
  2. Ellison et Mendès France, p. 75
  3. H. von Mangoldt, Beweis der Gleichung \scriptstyle{\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{\mu(k)}k =0}. Berl. Ber. (1897), 835-852.
  4. E. Landau, Über die Äquivalenz zweier Hauptsätze der analytische Zahlentheorie. Wien. Ber. 120 (1911), 973-988.
  5. Tenenbaum 2008, p. 248
  6. On trouvera par exemple quatorze démonstrations (en anglais) de la valeur ζ(2) = π2/6 sur le site internet de Robin Chapman (en)
  7. Stéphane Fischler, « Irrationalité de valeurs de zêta », Séminaire Bourbaki, vol. 44, no 910,‎ novembre 2002 (lire en ligne)
  8. Voir Tenenbaum 2008, p. 253 ; P. Cartier, « An Introduction to Zeta-Functions », in (en) M. Waldschmidt, P. Moussa, J.-M. Luck et C. Itzykson (éds.), From Number Theory to Physics [détail des éditions], p. 5-12, et surtout 11-12, suivi ici.
  9. Lang 1970, p. 157
  10. (en) [[David Widder|D. V. Widder]], The Laplace transforms, p. 230
  11. Lang 1970, p. 158
  12. (en) Y. Matsuoka, « Generalized Euler Constants Associated with the Riemann Zeta Function », Number Theory and Combinatorics, World Scientific,‎ 1985, p. 279-295
  13. On peut aussi, comme le fait Tenenbaum 2008, p. 233-234 (p. 142 de l'édition en anglais), le déduire de la définition par une intégrale de contour.
  14. (en) I. M. Vinogradov, Elements of Number Theory, Dover,‎ 2003 (ISBN 978-0-48649530-9, lire en ligne), p. 38, (en) J. E. Nymann, « On the probability that k positive integers are relatively prime », J. Number Theor. (en), vol. 4, no 5,‎ 1972, p. 469-473 (lien DOI?)
  15. (de) Arnold Walfisz (en), Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie, Berlin, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften,‎ 1963
  16. (en) Kevin Ford, « Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zeta Function », Proc. London Math. Soc., vol. 85,‎ 2002, p. 565-633
  17. Voir par exemple: E.C. Titchmarsh. The Theory of functions. Oxford University Press 1932. Paragraphe 5.65
  18. (en) M.N. Huxley, « Exponential sums and the Riemann zeta function. V. », Proc. London Math. Soc. (3), vol. 90, no 1,‎ 2005, p. 1-41
  19. (en) Vinogradov, « A new estimate for |ζ(1 + it)| », Izv. Akad. Nauk SSSR Ser Math., vol. 22,‎ 1958, p. 161-164
  20. Titchmarsh et Heath-Brown 1987, p. 135
  21. (en) C. Yalçın Yıldırım, « A note on ζ''(s) and ζ'''(s) », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 124, no 8,‎ août 1996 (lire en ligne)
  22. (en) H. L. Montgomery, « The pair correlation of zeros of the zeta function », dans Analytic number theory (Proceedings of Symposium in Pure Mathemathics, vol. 24 (St. Louis Univ., St. Louis, Mo., 1972), AMS, Providence, R.I., 1973, p. 181-193
  23. Michael V. Berry ; Riemann's zeta function : a model for quantum chaos?, dans : T H Seligman and H Nishioka (eds.) ; Quantum chaos and statistical nuclear physics, Springer Lecture Notes in Physics No. 263, Springer-Verlag (1986) 1-17. Texte complet disponible au format pdf.
  24. Michael V. Berry ; Semiclassical formula for the number variance of the Riemann zeros, Nonlinearity 1 (1988) 399-407. Texte complet disponible au format pdf.
  25. Michael V. Berry ; Quantum mechanics, chaos and the Riemann zeros, dans : A O Barut, I D Feranchuk, Ya M Shnir and L M Tomil ‘chik (eds.) ; Quantum systems : new trends and methods, World Scientifc (1995) 387-392. Texte complet disponible au format pdf.
  26. Michael V. Berry & Jonathan P. Keating ; H = xp and the Riemann zeros, dans : I V Lerner et J P Keating (eds.) ; Supersymmetry and trace formulae : chaos and disorder, Plenum Press (New York — 1999), 355-367. Texte complet disponible au format pdf.
  27. Michael V. Berry & Jonathan P. Keating ; The Riemann Zeros and Eigenvalue Asymptotics, SIAM Review 41 (1999), 236-266. Texte complet disponible au format pdf.
  28. Propriétés statistiques de la fonction zêta :
    • Eugene B Bogomolny & Jonathan P. Keating ; Random matrix theory and the Riemann zeros I : three- and four-point correlations, Nonlinearity 8 (1995) 1115-1131.
    • Eugene B Bogomolny & Jonathan P. Keating ; Random matrix theory and the Riemann zeros II : n-point correlations, Nonlinearity 9 (1996), 911-935.
    • Oriol Bohigas, Patricio Lebœuf et M.-J. Sanchez ; Spectral spacing correlations for chaotic and disordered systems, Foundations of Physics 31 (2001) 489-517. Texte complet disponible sur l'ArXiv : nlin.CD/0012049.
    • Francesco Mezzadri ; Random matrix theory and the zeros of zeta'(s), Journal of Physics A : Mathematical ans General Vol. 36 (2003), 2945-2962. Texte complet disponible sur l'ArXiv : math-ph/0207044.
    • Jonathan P. Keating ; Random matrices and the Riemann zeta-function – a review, Applied Mathematics Entering the 21st Century : Invited Talks from the ICIAM 2003 Congress ; editors, James M. Hill and Ross Moore (SIAM) (2004), 210-225.
    • Eugene Bogomolny, Oriol Bohigas, Patricio Lebœuf & A. G. Monastra ; On the spacing distribution of the Riemann zeros : corrections to the asymptotic result, math/0602270.
  29. Commentarii Academiæ Scientiarum imperialis petropolitanæ, t. VII, 1734–1735, p. 156–157
  30. Exercices de Calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures, t. II, p. 65.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Traités généraux[modifier | modifier le code]

Livres en français[modifier | modifier le code]
  • André Blanchard, Initiation à la théorie analytique des nombres premiers
  • Jean-Benoît Bost, Pierre Colmez et Philippe Biane, La Fonction Zêta, Paris, Éditions de l'École polytechnique,‎ 2002 (ISBN 2-7302-1011-3)
    Suite d'articles sur différents points de la théorie analytique des nombres et de la fonction zêta. N'est pas destiné à une étude systématique de la fonction zêta de Riemann, en ligne Bost, Colmez et Biane sous forme pdf.
  • Pierre Colmez, Éléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres), Éditions de l'École Polytechnique,‎ 2009
    On y trouvera en particulier une démonstration du théorème des nombres premiers et de celui de la progression arithmétique.
  • William John Ellison et Michel Mendès France, Les nombres premiers [détail des éditions]
    Malgré son titre, il s'agit essentiellement de l'étude de la fonction zêta de Riemann. On y trouvera aussi une preuve élémentaire du théorème de Hadamard-La Vallée Poussin, une preuve du théorème de Dirichlet et la démonstration de la région sans zéro de Vinogradov-Korobov. À lire pour commencer. Il a aussi l'avantage d'être en français.
  • Jean Favard, Leçons sur les fonctions presque-périodiques, Paris, Gauthier-Villars,‎ 1933
    Pour comprendre la théorie de Bohr des séries de Dirichlet dont la fonction zêta fait partie puisqu'elle est presque périodique au sens de Bohr dans le demi-plan à droite du pôle 1.
  • Gérald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Belin,‎ 2008, 3e éd. (ISBN 978-2-7011-4750-5)
Livres en anglais[modifier | modifier le code]
  • Eberhard Freitag (de) et Rolf Busam, Complex Analysis, Springer, 2e édition, 2009 (ISBN 978-3-540-25724-0)
    La théorie analytique des nombres, de la définition des nombres complexes aux formes modulaires en passant par zeta.
  • Aleksandar Ivić, The Riemann Zeta-Function, John Wiley & Sons, 1985 (ISBN 0-471-80634-X)
    Concurrent du traité de Titchmarsh, un peu plus récent.
  • Karatsuba, Basic analytic number theory, Springer-Verlag, 1993 (ISBN 0-387-53345-1) (très bon traité)
  • Serge Lang, Algebraic Number Theory, Addison Wesley,‎ 1970
  • E. C. Titchmarsh et D. R. Heath-Brown, The Theory of the Riemann Zeta-Function, OUP,‎ 1987, 2e éd. (ISBN 0-19-853369-1)
    La bible sur la fonction zêta jusqu'à une époque récente, disons 1990. Reste irremplaçable sur certains sujets. La première édition de 1951 n'a pas beaucoup été complétée par la seconde de 1986. Heath-Brown s'est contenté d'indiquer pour chaque chapitre l'état des connaissances en 1986 sans démonstration en deux ou trois pages.
  • S. J. Patterson (de), An Introduction to the Theory of the Riemann Zeta-Function, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (No. 14), Cambridge University Press, 1995 (ISBN 0-521-49905-4)

Articles de revue[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

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Liens externes[modifier | modifier le code]