Nombre de Kynea

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Un nombre de Kynea est un entier de la forme

4^n + 2^{n + 1} - 1.

Une formule équivalente est

(2^n + 1)^2 - 2.

Cela indique que le nombre de Kynea est la nième puissance de quatre, plus le (n + 1)ème nombre de Mersenne. Les premiers nombres de Kynea sont

7, 23, 79, 287, 1087, 4223, 16639, 66047, 263167, 1050623, 4198399, 16785407 suite A093069 de l'OEIS.

La représentation binaire du nième nombre de Kynea est un 1, suivi de n - 1 zéros consécutifs, suivi de n + 1 uns consécutifs, ou en écriture mathématique :

4^n + \sum_{i = 0}^n 2^i.

Donc, par exemple, 23 est 10111 en binaire, 79 est 1001111, etc. La différence entre le nième nombre de Kynea et le nième nombre de Carol est la (n + 2)ème puissance de deux.

Commençant par 7, un nombre de Kynea sur trois est un multiple de 7. Ainsi, pour un nombre de Kynea, pour être également un nombre premier, l'indice n ne peut être de la forme 3x + 1 pour x > 0.

Nombres de Kynea premiers[modifier | modifier le code]

(liste A091514).

n 1 2 3 5 8 9 12 15 17 18 21 23 27
p 7 23 79 1 087 66,047 263,167 16,785,407 1,073,807,359 17,180,131,327 68,720,001,023 4,398,050,705,407 70,368,760,954,879 18,014,398,777,917,439

En 2006, le plus grand nombre de Kynea premier avait l'indice n = 281 621, valant approximativement 5.46 × 10169552. Il fut trouvé par Cletus Emmanuel en novembre 2005, en utilisant le k-Sieve de Phil Carmody et OpenPFGW. C'est le 46e nombre de Kynea premier. Les nombres de Kynea furent étudiés par Cletus Emmanuel, qui les baptisa du nom de sa petite fille[1].

Sur les 25 premiers nombres de Kynea, seuls les 5 suivants ne sont ni premiers ni multiples de 7 :

k(6)=41*103

k(11)=1399*3001

k(14)=15913*16871

k(20)=47*353*66,271,697

k(24)=23*41*71*353*11,909,543

Références[modifier | modifier le code]

  1. [1]

Liens externes[modifier | modifier le code]