Nombre premier unique

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Un nombre premier p ≠ 2, 5 est appelé unique ssi il n'existe pas d'autre nombre premier q tel que la longueur de la période du développement décimal de son inverse, 1 / p, est équivalent à la longueur de la période de l'inverse de q, 1 / q.

Les nombres premiers uniques ont été décrits pour la première fois par Samuel Yates en 1980.

Il peut être montré qu'un nombre premier p est d'une période unique n ssi il existe un nombre naturel c tel que :

\frac{\Phi_n(10)}{\mathrm{pgcd}(\Phi_n(10),n)} = p^c

\Phi_n(x)\, est le n-ième polynôme cyclotomique.

On ne connaît pour le moment que 18 nombres premiers uniques. Il n'en existe pas d'autre inférieur à 1050. La table ci-dessous rassemble tous les nombres premiers uniques connus (dans l'encyclopédie électronique des suites entières suite A040017 et indique la longueur de leur période dans l'encyclopédie électronique des suites entières suite A051627} :

Longueur de la période Nombre premier
1 3
2 11
3 37
4 101
10 9 091
12 9 901
9 333 667
14 909 091
24 99 990 001
36 999 999 000 001
48 9 999 999 900 000 001
38 909 090 909 090 909 091
19 1 111 111 111 111 111 111
23 11 111 111 111 111 111 111 111
39 900 900 900 900 990 990 990 991
62 909 090 909 090 909 090 909 090 909 091
120 100 009 999 999 899 989 999 000 000 010 001
150 10 000 099 999 999 989 999 899 999 000 000 000 100 001

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