Théorème taubérien de Wiener

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème taubérien de Wiener fait référence à plusieurs résultats analogues démontrés par Norbert Wiener en 1932[1]. Ils donnent des conditions nécessaires et suffisantes pour pouvoir approximer une fonction des espaces L1 ou L2 par des combinaisons linéaires de translations d'un fonction donnée[2].

La condition pour l'espace L1[modifier | modifier le code]

Soit f ∈ L1(R) une fonction intégrable. Le sous-espace vectoriel engendré par les translations de f, fa(x) = f(x+a), est dense dans L1(R) si et seulement si la transformée de Fourier de f ne s'annule pas dans R.

Reformulation taubérienne[modifier | modifier le code]

Le résultat suivant, équivalent à l'énoncé précédent, explique pourquoi le théorème de Wiener est un théorème taubérien :

Supposons que la transformée de Fourier de f ∈ L1 n'a pas de zéros réels, et que le produit de convolution f  * h tende vers zéro à l'infini pour une certaine fonction h ∈ L. Alors le produit de convolution g * h tend vers zéro à l'infini pour tout g ∈ L1.

Plus généralement, si  \lim_{x \to \infty} (f*h)(x) = A \int f(x) dx pour une certaine fonction f ∈ L1 dont la transformée de Fourier ne s'annule pas, alors on a également  \lim_{x \to \infty} (g*h)(x) = A \int g(x) dx pour tout g ∈ L1.

Version discrète[modifier | modifier le code]

Le théorème de Wiener possède un analogue dans l1(Z) : le sous-espace engendré par les translations,f ∈ l1(Z) est dense si et seulement si la transformée de Fourier discrète  \varphi(\theta) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(n) e^{-in\theta} \, ne s'annule pas dans R. Les énoncés suivants sont équivalents à ce résultat :

  • Soit f ∈ l1(Z) une suite dont la transformée de Fourier ne s'annule pas, et telle que le produit de convolution discret f * h tend vers 0 à l'infini pour une suite bornée h. Alors il en est de même de g * h pour toute suite g ∈ l1(Z).
  • Soit φ une fonction définie sur le cercle unité dont la série de Fourier converge absolument. Alors la série de Fourier de 1/φ converge absolument si et seulement si φ ne s'annule pas.

Israel Gelfand a montré[3] que ces résultats sont équivalents à la propriété suivante de l'algèbre de Wiener (en) A(T) :

Gelfand démontra cette équivalence en utilisant les propriétés des algèbres de Banach, obtenant ainsi une nouvelle démonstration du résultat de Wiener.

La condition pour l'espace L2[modifier | modifier le code]

Soit f ∈ L2(R) une fonction de carré intégrable. Le sous-espace vectoriel engendré par les translations de f, fa(x) = f(x+a), est dense dans L2(R) si et seulement si l'ensemble des zéros réels de la transformée de Fourier de f est négligeable, c'est-à-dire de mesure de Lebesgue nulle.

Le résultat correspondant pour les suites de l2(Z) est : Le sous-espace vectoriel engendré par les translations d'une suitef ∈ l2(Z) est dense si et seulement si l'ensemble des zéros de la transformée de Fourier  \varphi(\theta) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(n) e^{-in\theta} \, est négligeable.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Voir Wiener 1932.
  2. Voir Rudin 1991.
  3. (de) I. Gelfand, « Normierte Ringe », Rec. Math. [Mat. Sbornik] N. S., vol. 9 (51),‎ 1941, p. 3–24 et
    (de) « Über absolut konvergente trigonometrische Reihen und Integrale », Rec. Math. [Mat. Sbornik] N. S., vol. 9 (51),‎ 1941, p. 51–66

Références[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]