Nombre premier permutable

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En arithmétique, un nombre premier permutable est un nombre premier qui, dans une base donnée, reste premier après n'importe quelle permutation de ses chiffres.

Exemples et contre-exemples[modifier | modifier le code]

Trivialement :

  • un nombre à un seul chiffre est un nombre premier permutable dès qu'il est premier ;
  • un nombre répunit Rn(b) — constitué de n fois le chiffre 1 — est un nombre premier permutable dès qu'il est premier ;
  • si n est un nombre composé, Rn(b) n'est pas premier — donc pas premier permutable ;
  • un nombre uniforme non répunit à au moins deux chiffres — constitué de n (≥ 2) fois un chiffre > 1 — n'est jamais premier (il est divisible par Rn(b)) donc n'est jamais un nombre premier permutable ;
  • un nombre à au moins deux chiffres et dont au moins l'un des chiffres a un facteur premier p commun avec la base n'est jamais premier permutable (les permutés dans lesquels ce chiffre est le chiffre des unités sont divisibles par p). Par exemple en base deux, les nombres de Mersenne premiers sont les seuls premiers permutables et plus généralement en base paire — comme la base dix ou seize — un nombre > 2 ayant au moins un chiffre pair n'est pas premier permutable.

Premiers permutables en base dix[modifier | modifier le code]

En base dix, les 26 plus petits nombres premiers permutables sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 199, 311, 337, 373, 733, 919, 991, R19, R23, R317 et R1 031 (suite A003459 de l'OEIS), c'est-à-dire les 16 nombres suivants et leurs permutés : 2, 3, 5, 7, R2, 13, 17, 37, 79, 113, 199, 337, R19, R23, R317 et R1 031.

Il est conjecturé que tout autre nombre premier permutable est uniforme, donc répunit premier, et qu'il en existe une infinité.


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Permutable prime » (voir la liste des auteurs).