Nombre premier permutable

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En mathématiques, un nombre premier permutable est un nombre premier, qui, dans une base donnée, peut avoir ses chiffres inversés dans toute permutation possible et donner encore un nombre premier.

Liste de nombres premiers permutables[modifier | modifier le code]

En base 10, les premiers petits nombres premiers permutables sont (avec les permutations listées entre parenthèses)

2, 3, 5, 7, 11, 13 (31), 17 (71), 37 (73), 79 (97), 113 (131, 311), 199 (919, 991), 337 (373, 733)

Propriétés[modifier | modifier le code]

Tout nombre uniforme premier peut automatiquement être supposé un nombre premier permutable. En base 2, seul les nombres uniformes de classe U1 peuvent être des nombres premiers permutables, car tout 0 permuté à la place des unités donne un nombre pair; à moins que nous considérions 1 comme un nombre premier et 10 permutable avec 01. La généralisation peut être faite avec sureté pour tout système de numération basé sur un nombre pair (tel que les systèmes décimaux et hexadécimaux), les nombres premiers permutables peuvent seulement avoir des chiffres qui sont individuellement impairs, tout chiffre pair permuté à la place des unités donnera un nombre divisible par deux.

Il est conjecturé qu'il n'existe aucun nombre premier permutable en base 10 plus grand que 991 et ayant au moins deux chiffres distincts. Les seuls nombres premiers permutables autres que ceux listés sont donc uniformes et composés par conséquent uniquement du chiffre 1 (un nombre composé de n chiffres a est divisible par le nombre composé de n chiffres 1 et donc non premier si a \neq 1) ; on les nomme Répunits premiers.

Le répunit s'écrivant avec n 1 est noté R_n ; on a R_n = \frac{10^n - 1}{9} ou encore R_n = \sum_{k = 0}^{n-1}10^k.

On conjecture qu'il en existe une infinité et on peut montrer que n doit être premier (on peut citer R_2 = 11, R_{19}, R_{317}...).

Références[modifier | modifier le code]