Nombre double de Mersenne

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En mathématiques, un nombre double de Mersenne est un nombre de Mersenne de la forme

M_{M_n} = 2^{2^n-1}-1

n est un entier positif.

Exemples de nombres doubles de Mersenne[modifier | modifier le code]

Les premiers petits nombres doubles de Mersenne sont :

M_{M_1} = M_1 = 1\,


M_{M_2} = M_3 = 7\,


M_{M_3} = M_7 = 127\, (qui est premier)


M_{M_4} = M_{15} = 32767 = 7 \times 31 \times 151\,


M_{M_5} = M_{31} = 2147483647\, (qui est premier)


M_{M_6} = M_{63} = 9223372036854775807 = 7^2 \times 73 \times 127 \times 337 \times 92737 \times 649657\,


M_{M_7} = M_{127} = 170141183460469231731687303715884105727\, (qui est premier)

Nombre double de Mersenne premier[modifier | modifier le code]

Un nombre double de Mersenne qui est premier est appelé logiquement un nombre double de Mersenne premier ou parfois un nombre premier double de Mersenne.

Puisqu'un nombre de Mersenne M_n\, ne peut être premier que si n est premier (condition nécessaire mais pas suffisante ; voir nombre de Mersenne pour une démonstration de ceci), un nombre double de Mersenne M_{M_n}\, est premier seulement si M_n\, est premier (condition également nécessaire mais non suffisante).

Les premières valeurs de n pour lesquelles ceci est vrai sont n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31. De celles-ci, M_{M_n}\, est connu pour être premier pour n = 2, 3, 5, 7 ; pour n = 13, 17, 19, et 31, des facteurs explicites ont été trouvés.

Si un autre nombre double de Mersenne premier est un jour trouvé, il sera presque certainement le plus grand nombre premier jamais connu.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Double Mersenne Number », MathWorld